完全平方式概念

完全平方公式（1）

一、內容簡介

本節課的主題：通過一系列的探究活動，引導學生從計算結果中總結出完全平方公式的兩種形式。

關鍵信息：

1、以教材作為出發點，依據《數學課程標準》，引導學生體會、參與科學探究過程。首先提出

等號左邊的兩個相乘的多項式和等號右邊得出的三項有什么關系。通過學生自主、獨立的發現問

題，對可能的答案做出假設與猜想，并通過多次的檢驗，得出正確的結論。學生通過收集和處理

信息、表達與交流等活動，獲得知識、技能、方法、態度特別是創新精神和實踐能力等方面的發

展。

2、用標準的數學語言得出結論，使學生感受科學的嚴謹，啟迪學生的數學思維。

二、學習者分析：

1、在學習本課之前應具備的基本知識和技能：

①同類項的定義。

②合并同類項法則。

③多項式乘以多項式法則。

2、學生對將要習的內容已經具備的知識水平：

在學習完全平方公式之前，學生已經能夠整理出公式的右邊形式。這節課的目的就是讓學生從特

殊性的計算上升到一般性的規律,得出公式，并能正確的應用公式。

三、教學目標及其對應的課程標準：

（一）教學目標：

1、經歷探索完全平方公式的過程，進一步發展推理能力。

2、會推導完全平方公式，并能運用公式進行簡單的計算。

3、了解(a+b)2=a2+2ab+b2的幾何背景。

（二）知識與技能：經歷由一般的多項式乘法向乘法公式過渡的探究過程，進一步培養學生歸納

總結的能力,并給公式的應用打下基礎。

（三）數學思考：能收集、選擇、處理數學信息，并做出合理的推斷或大膽的猜測；

（四）解決問題：能結合具體情景發現并提出數學問題；嘗試從不同角度尋求解決問題的方法，

并能有效地解決問題。

（五）情感與態度：敢于面對數學活動中的困難并有獨立克服困難勇氣和運用知識解決問題的成

功體驗，有學好數學的自信心；通過觀察、實驗、歸納、類比、推斷可以獲得數學猜想，體驗數

學活動充滿著探索性和創造性，感受證明的必要性、證明過程的嚴謹性以及結論的確定性；在獨

立思考的基礎上，積極參與對數學問題的討論，敢于發表自己的觀點，并尊重與理解他人的見解；

能從交流中獲益。

四、教學重點；完全平方公式的準確應用。

五、教學難點；掌握公式中字母表達式的意義及靈活運用公式進行計算。

六、教育理念和教學方式：

1、教師是學生學習的組織者、促進者、合作者：本節的教學過程，要為學生的動手實踐，自主

探索與合作交流提供機會，搭建平臺；尊重學生的個人感受和獨特見解；幫助學生發現他們所學

東西的個人意義和社會價值，學生是學習的主人，在教師指導下主動的、富有個性的學習，用自

己的身體去親自經歷，用自己的心靈去親自感悟。當學生迷路的時候，教師不輕易告訴方向，而

是引導他怎樣去辨明方向；當學生登山畏懼了的時候，教師不是拖著他走，而是喚起他內在的精

神動力，鼓勵他不斷向上攀登。

2、采用“問題情景—探究交流—得出結論—強化訓練”的模式展開教學。充分利用動手實踐的

機會，盡可能增加教學過程的趣味性，強調學生的動手操作和主動參與，通過豐富多彩的集體討

論、小組活動，以合作學習促進自主探究。

3、教學評價方式：

（1）通過課堂觀察，關注學生在觀察、歸納、應用等活動中的主動參與程度與合作交流意識，

及時給與鼓勵、強化、指導和矯正。

（2）通過判斷和舉例，給學生更多機會，反饋知識與技能的掌握情況，使老師可以及時診斷學

情，調查教學。

（3）通過課后訪談和作業分析，及時查漏補缺，確保達到預期的教學效果。

七、教學媒體：投影儀

八、教學和活動過程：

1、整個教學過程敘述：

教材“完全平方公式”內容共含兩課時。本節是其中的第一課時，需40分鐘完成。

2、具體教學過程設計如下：

〈一〉、提出問題

[引入]同學們，前面我們學習了多項式乘多項式法則和合并同類項法則，你會計算下列各題

嗎?

(x+3)2=_______________，(x-3)2=_______________，

這些式子的左邊和右邊有什么規律?再做幾個試一試:

(2m+3n)2=_______________，(2m-3n)2=_______________，

〈二〉、分析問題

1、[學生回答]分組交流、討論多項式的結構特點

(2m+3n)2=(2m)2+2·2m·3n+(3n)2=4m2+12mn+9n2，

(2m-3n)2=(2m)2-2·2m·3n+(3n)2=4m2-12mn+9n2，

（1）原式的特點。兩數和的平方。

（2）結果的項數特點。等于它們平方的和，加上它們乘積的兩倍

（3）三項系數的特點（特別是符號的特點）。

（4）三項與原多項式中兩個單項式的關系。

2、[學生回答]總結完全平方公式的語言描述：

兩數和的平方，等于它們平方的和，加上它們乘積的兩倍；

初中數學的教學設計和反思

教師的教學能力包括教學設計能力、教學實施能力、教學反思能力，其中，教學設計能力和教學

實施能力是教師的基本能力，教學反思能力則是教師教育能力的核心和進一步發展的關鍵。

初中數學教學設計的步驟

（1）評測學生需求，識別教學目標，進行目標分析，設計目標要求：

在新理念下，課堂教學目標不再停留在以往僅僅關注知識技能等結果性目標，而是全面考察過程

性目標和結果性目標，對數學來說，要將教學目標細化為知識技能，數學思考，解決問題，情感

態度價值觀等多方面的具體目標。

（2）分析學生學習情況與教學環境，撰寫行動目標，進行任務分析，要搞清學生的起點是什么？

在達到可能的學習目標時，學生主要的認知障礙和可能的認知途徑是怎樣的？學生達成目標的主

要途徑和方法又是怎樣的？

（3）設計教學思路和實施步驟

設計具體的教學過程，創設哪些具體的情景？通過哪些線索開展教學活動？學生可能提出哪

些問題？附設計說明。

（4）開發評測工具，設計并從事規范化評估

為了達到教學目標，教學設計時，必須考慮評估學生是否達到教學目標的具體標準是什么？通過

哪些指導性策略和具體的指導性材料能夠促進和改善學生的學習行為？

（5）設計與從事綜述性評估，進行教后反思

主要思考：是否達到預期目標？沒有達到的話，其中的原因是什么？能提供改進的方案嗎？有哪

些突發的靈感？課堂上有沒有印象最深的討論以及學生獨特的想法？等等．

在新的教育理念下，初中數學教學設計的著眼點，應放在如何將外在的教育理念物化為自己的數

學教學設計行為和課堂教學行為，如何創設恰當的問題情景，如何激發學生強烈的探究欲望上；

應放在師與生、生與生之間有效的互動上；應放在如何更好地組織引導，激勵學生進行自主學習、

探究學習等數學活動上；應放在如何在數學知識與技能的學習過程中有效地實現過程與方法、情

感態度價值觀目標；應放在如何使學生真正理解數學知識上；應放在如何培養學生的探索意識、

創新能力上。數學教學設計的過程，既是教學內容分析、學情分析的過程，也是數學教學目標分

析的過程，既是教學策略設計的過程，也是教學過程的設計過程，同時，也要關注教學反思問題，

以便于及時反思自己的教學行為，適時改進教學。

3、[學生回答]完全平方公式的數學表達式：兩數差的平方，等于它們平方的和，減去它們乘

積的兩倍

(a+b)2=a2+2ab+b2；

(a-b)2=a2-2ab+b2.

4、完全平方公式的幾何背景：

用不同的形式表示圖形的總面積

并進行比較，你發現了什么？

(a+b)2=a2+2ab+b2

你能運用公式計算下列各式嗎?

(-x-3)2=______________，(-x+3)2=_______________。

(-2m-3n)2=______________，(-2m+3n)2=_______________。

上面各式的計算結果:

(-x-3)2=(-x)2-2·(-x)·3+32=x2+6xn+9___，

(-x+3)2=(-x)2+2·(-x)·3+32=x2-6x+9____。

(-2m-3n)2=(2m)2-2·(-2m)·3n+(3n)2=4m2+12mn+9n2，

(-2m+3n)2=(2m)2+2·(-2m)·3n+(3n)2=4m2-12mn+9n2。

你從上面的計算結果中發現了什么規律?根據這個規律,完全平方公式又如何敘述?

〈三〉、運用公式，解決問題

1、口答：（搶答形式，活躍課堂氣氛，激發學生的學習積極性）

(m+n)2=____________,(m-n)2=_______________,

(-m+n)2=____________,(-m-n)2=______________,

(a+3)2=______________,(-c+5)2=______________,

(-7-a)2=______________,(0.5-a)2=______________.

2、判斷：

()①(a-2b)2=a2-2ab+b2

()②(2m+n)2=2m2+4mn+n2

()③(-n-3m)2=n2-6mn+9m2

()④(5a+0.2b)2=25a2+5ab+0.4b2

()⑤(5a-0.2b)2=5a2-5ab+0.04b2

()⑥(-a-2b)2=(a+2b)2

()⑦(2a-4b)2=(4a-2b)2

()⑧(-5m+n)2=(-n+5m)2

3①(x+y)2=______________;②(-y-x)2=_______________;

③(2x+3)2=_____________;④(3a-2)2=_______________;

⑤(4x-5y)2=______________;⑥(0.5m+n)2=___________;

〈四〉、[學生小結]

你認為完全平方公式在應用過程中，需要注意那些問題？

(1)公式右邊共有3項。

(2)兩個平方項符號永遠為正。

(3)中間項的符號由等號左邊的兩項符號是否相同決定。

(4)中間項是等號左邊兩項乘積的2倍。

〈五〉、練習填空

（1）（-3a+2b）2=________________________________

（2）(-5-m)2=__________________________________

（3）(-0.5m+2n)2=_______________________________

（4）(3/5a-1/2b)2=________________________________

（5）(mn-3)2=__________________________________

（6）(ab3-1.5)2=_________________________________

（7）(2xy2+x2y)2=_______________________________

（8）(2n3-4m2)=________________________________

〈六〉、自我評價

[小結]通過本節課的學習，你有什么收獲和感悟？

本節課，我們自己通過計算、分析結果，總結出了完全平方公式。在知識探索的

過程中，同學們積極思考，大膽探索，團結協作共同取得了進步。

〈七〉[作業]p34隨堂練習p36習題