拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

鄧學(xué)棟上傳

-1-

第-1-頁共1頁

拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

1.已知拋物線的焦點坐標(biāo)是F(0,-2),則它的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

A.y2=8xB.y2=-8xC.x2=8yD.x2=-8y

2.如果拋物線y2=ax的準(zhǔn)線是直線x=1,那么它的焦點坐標(biāo)為()

A.(1,0)B.(2,0)C.(3,0)D.(-1,0)

3.(2013·遵義高二檢測)以坐標(biāo)軸為對稱軸,以原點為頂點且過圓x2+y2-2x+

6y+9=0的圓心的拋物線的方程是()

A.y=3x2或y=-3x2B.y=3x2

C.y2=-9x或y=3x2D.y=-3x2或y2=9x

4.拋物線y2=12x上與焦點的距離等于8的點的橫坐標(biāo)是()

A.5B.4C.3D.2

5.(2013·汝陽高二檢測)一個動圓的圓心在拋物線y2=8x上,且動圓恒與直線x+2=0相切,則

動圓必過定點()

A.(0,2)B.(0,-2)C.(2,0)D.(4,0)

6.(2013·安陽高二檢測)拋物線y=4x2上的一點M到焦點的距離為1,則點M的縱坐標(biāo)

是.

7.已知拋物線y2=2px的準(zhǔn)線與圓(x-3)2+y2=16相切,則p的值為.

8.(2012·陜西高考)如圖是拋物線形拱橋,當(dāng)水面在l時,拱頂離水面2米,水面寬4米,水

位下降1米后,水面寬米.

9.已知拋物線的頂點在原點,它的準(zhǔn)線過錯誤！未找到引用源。-錯誤！未找到引用源。=1

的左焦點,而且與x軸垂直,又拋物線與此雙曲線交于點(錯誤！未找到引用源。,錯誤！未

找到引用源。),求拋物線和雙曲線的方程.

10.平面上動點P到定點F(1,0)的距離比到y(tǒng)軸的距離大1,求動點P的軌跡方程.

11.已知拋物線的方程為x2=8y,F是焦點,點A(-2,4),在此拋物線上求一點P,使|PF|+|PA|的

值最小.

鄧學(xué)棟上傳

-2-

第-2-頁共2頁

答案解析

1.【解析】選D.由條件可知,拋物線的焦點在y軸負(fù)半軸上,且錯誤！未找到引用源。=2,∴

p=4,所以它的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=-8y.

【舉一反三】把題中條件改為“準(zhǔn)線方程為x=-7”,它的標(biāo)準(zhǔn)方程如何?

【解析】由條件可知錯誤！未找到引用源。=7,即p=14.∵準(zhǔn)線方程為x=-7,∴焦點是x軸正

半軸上的(7,0)點,故方程為y2=28x.

2.【解析】選D.由y2=ax的準(zhǔn)線方程為x=-錯誤！未找到引用源。得,-錯誤！未找到引用源。

=1,

∴a=-4,從而拋物線方程為y2=-4x,其焦點為(-1,0).

3.【解析】選D.圓x2+y2-2x+6y+9=0的圓心為(1,-3),設(shè)拋物線方程為y2=ax或x2=by,把(1,-3)

代入并解得a=9,b=-錯誤！未找到引用源。,∴方程為y2=9x或y=-3x2.

4.【解析】選A.由題知拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-3,設(shè)P(x,y),則x+3=8,∴x=5.

5.【解題指南】利用拋物線的定義求解.

【解析】選C.∵y2=8x的準(zhǔn)線方程為x=-2,且動圓的圓心在拋物線上.根據(jù)拋物線的定義,動

圓圓心到直線x=-2的距離等于到焦點的距離,∴動圓必過定點即焦點(2,0).

【變式備選】若動點P到定點(1,1)的距離與到直線2x+y-1=0的距離相等,則P點的軌跡是

()

A.拋物線B.線段

C.直線D.射線

【解析】選A.因為點(1,1)不在直線2x+y-1=0上,故點的軌跡是以點(1,1)為焦點,以直線

2x+y-1=0為準(zhǔn)線的拋物線,故選A.

6.【解題指南】運用方程的思想,列方程組求解.

【解析】拋物線y=4x2的焦點坐標(biāo)為(0,錯誤！未找到引用源。),設(shè)M(x0,y0),

則錯誤！未找到引用源。解得y0=錯誤！未找到引用源。.

答案:錯誤！未找到引用源。

7.【解析】∵拋物線方程為y2=2px,∴其焦點在x軸上,又∵圓(x-3)2+y2=16與x軸的交點為

(-1,0)和(7,0),由題意知準(zhǔn)線方程為x=-1或x=7,即焦點為(1,0)或(-7,0),

∴錯誤！未找到引用源。=1或-7,解得p=2或-14.

答案:2或-14

鄧學(xué)棟上傳

-3-

第-3-頁共3頁

8.【解題指南】建立平面直角坐標(biāo)系,求出拋物線方程,根據(jù)方程求解.

【解析】建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,如圖所示,設(shè)拋物線方程為x2=-2py(p>0),則點(2,-2)在此拋物

線上,代入可求出拋物線的方程是x2=-2y,當(dāng)y=-3時,x2=-2×(-3)=6,所以x=±錯誤！未找到

引用源。,水面寬是2錯誤！未找到引用源。米.

答案:2錯誤！未找到引用源。

9.【解析】設(shè)拋物線方程為:y2=2px(p>0),將點(錯誤！未找到引用源。,錯誤！未找到引用

源。)代入方程得p=2,所以拋物線方程為:y2=4x.準(zhǔn)線方程為:x=-1,由此知道雙曲線方程

中:c=1;焦點為(-1,0),(1,0),點(錯誤！未找到引用源。,錯誤！未找到引用源。)到兩焦點

距離之差為2a=1,∴雙曲線的方程為:錯誤！未找到引用源。-錯誤！未找到引用源。=1.

10.【解題指南】可以利用直接法求出動點P的軌跡方程,也可以用定義法求軌跡方程.

【解析】方法一:設(shè)點P的坐標(biāo)為(x,y),

則有錯誤！未找到引用源。=|x|+1.

兩邊平方并化簡,得y2=2x+2|x|,

所以y2=錯誤！未找到引用源。

即點P的軌跡方程為y2=錯誤！未找到引用源。

方法二:由題意,動點P到定點F(1,0)的距離比到y(tǒng)軸的距離大1,由于點F(1,0)到y(tǒng)軸的距

離為1,故當(dāng)x<0時,直線y=0(x<0)上的點適合條件;當(dāng)x≥0時,可以看作是點P到點F(1,0)

與到直線x=-1的距離相等,故點P在以點F為焦點,x=-1為準(zhǔn)線的拋物線上,其軌跡方程為

y2=4x(x≥0).

綜上,點P的軌跡方程為y2=錯誤！未找到引用源。

【誤區(qū)警示】解答本題時,方法一中,距離很容易因忘加絕對值號而出錯,方法二也很容易因

思考不全面而漏掉x<0的情況.

11.【解題指南】根據(jù)拋物線的定義把|PF|轉(zhuǎn)化為點P到準(zhǔn)線的距離,畫出草圖,通過觀察圖

形,利用“數(shù)形結(jié)合”的思想即可求出點P的坐標(biāo).

【解析】∵(-2)2<8×4,∴點A(-2,4)在拋物線x2=8y的內(nèi)部.

鄧學(xué)棟上傳

-4-

第-4-頁共4頁

如圖,設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為l,過點P作PQ⊥l于點Q,過點A作AB⊥l于點B,

由拋物線的定義可知:|PF|+|PA|=|PQ|+|PA|≥|AQ|≥|AB|,當(dāng)且僅當(dāng)P,Q,A三點共線

時,|PF|+|PA|取得最小值,即為|AB|.

∵A(-2,4),∴不妨設(shè)|PF|+|PA|的值最小時,點P的坐標(biāo)為(-2,y0),代入x2=8y得y0=錯誤！

未找到引用源。,故使|PF|+|PA|的值最小的拋物線上的點P的坐標(biāo)為(-2,錯誤！未找到引

用源。).