錐形體積公式

圓錐體體積公式的證明

第一篇：圓錐體體積公式的證明

圓錐體體積公式的證明

證明需要幾個(gè)步驟來(lái)解決：

1)圓柱體的微分單元是三棱柱,而圓錐體的微分單元是三棱錐。

所以,只要證明三棱錐的體積，是等底等高的三棱柱的體積的1/3，

即可知題目所求正確。

2）如圖，一個(gè)三棱柱可以切分成三個(gè)三棱錐：

(上圖中,第二個(gè)“等底等高”的“高”是橫著的，而“底”是豎著

的。)

現(xiàn)在需要證明，這三個(gè)三棱錐，體積都是相等的，也就是各自的

體積都是圖中三棱柱的體積的1/3.證明需要的命題是：底面全等，且

高度相等的三棱錐，體積必然相同。

3）如圖，底面全等，且高度相等的三棱錐，體積必然相同。這個(gè)

命題的證明，需要基本的一個(gè)原理：祖暅原理。

注釋：祖暅原理

祖暅原理也就是“等積原理”。它是由我國(guó)南北朝杰出的數(shù)學(xué)家、

祖沖之(429-500)的兒子祖暅(gèng)首先提出來(lái)的。

祖暅原理的內(nèi)容是：夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，被平行

于這兩個(gè)平行平面的任何平面所截，如果截得兩個(gè)截面的面積總相等，

那么這兩個(gè)幾何體的體積相等。

在西方，直到17世紀(jì)，才由意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列里

（Cavalieri.B,1589-1647)發(fā)現(xiàn)。于1635年出版的《連續(xù)不可分幾何》

中，提出了等積原理，所以西方人把它稱之為“卡瓦列里原理”。其

實(shí)，他的發(fā)現(xiàn)要比我國(guó)的祖暅晚1100多年。

祖暅原理的思想

我們都知道“點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，面動(dòng)成體”這句話，直線由

點(diǎn)構(gòu)成，點(diǎn)的多少表示直線的長(zhǎng)短；面由線構(gòu)成，也就是由點(diǎn)構(gòu)成，

點(diǎn)的多少表示面積的大小；幾何體由面構(gòu)成，就是由線構(gòu)成，最終也

就是由點(diǎn)構(gòu)成，點(diǎn)的多少也表示了體積的大小，要想讓兩個(gè)幾何體的

體積相等，也就是讓構(gòu)成這兩個(gè)幾何體的點(diǎn)的數(shù)量相同，祖暅原理就

運(yùn)用到了它。

兩個(gè)幾何體夾在兩平行平面中間，可以理解為這兩個(gè)幾何體平行

面間的的高度相等。兩平行面之間的距離一定，若視距離為一條線段，

那么這個(gè)距離上就有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，過(guò)一個(gè)點(diǎn)，可以畫出一個(gè)平行于兩平

行面的截面，若兩幾何體在被過(guò)每一點(diǎn)的平行截面截出的截面面積兩

兩相等，則說(shuō)明兩幾何體在同一高度下的每?jī)蓚€(gè)截面上的點(diǎn)的數(shù)量相

同。有無(wú)數(shù)個(gè)截面，同一高度每?jī)蓚€(gè)幾何體的截面上的點(diǎn)的數(shù)量相同，

則說(shuō)明，這兩個(gè)幾何體所擁有的點(diǎn)數(shù)量相同，那么也就是說(shuō)，它們的

體積相同。所以我們可以用這種思想來(lái)理解祖暅原理。

這個(gè)原理說(shuō)：如果兩個(gè)高度相等的立體，在任何同樣高度下的截

面面積都相等，那么，這兩個(gè)立體的體積就相等。

所以，下圖可證明：若兩三棱錐的底面（三角形）全等，高度相

等，那么它們?cè)谌魏胃叨壬系慕孛妫ㄈ切危┮脖厝蝗取Ｓ谑强梢?/p>

根據(jù)祖暅原理斷言：

等底等高的三棱錐，體積都相等：

三棱柱的體積，與立方體的體積一樣，是底面積乘以高，（三棱

柱可來(lái)自于半個(gè)立方體）：

知道有關(guān)三角形的相似、比例、全等的一些定理，就可深入完成

題目的證明。

=====

下面這個(gè)圖,說(shuō)明了一個(gè)直接的、有趣的推論：

注意上面這個(gè)圖，在推算球體的體積的時(shí)候，還可以用到。

下面再給幾個(gè)有趣的推論，直到求出球體的體積和表面積公式:

1)金字塔錐的體積也是:(1/3)x底面積x高.這是由于金字塔錐是兩

個(gè)三棱錐構(gòu)成的:

2）下面的圖說(shuō)明，球體的微分單元是金字塔錐體。

由此可知，球體的體積=（1/3）x球的表面積x球半徑.上面的公

式說(shuō)明，球體的體積和表面積，只要知道其中一個(gè)信息，那么就可知

道另一個(gè)信息。實(shí)際上，根據(jù)球體半徑推算球體的體積，可以更先一

步。

3）球體的體積。

先看半球的體積：

這還要用到祖暅原理。上圖中，左邊的內(nèi)部被挖空一個(gè)圓錐體的

圓柱體，我們前面見(jiàn)過(guò)，右邊是一個(gè)半球，高度（球半徑）與左邊的

挖空?qǐng)A柱體高度相同，都是R.根據(jù)圖，在任何一個(gè)高度h上的水平截

面，左邊的被截環(huán)（綠色）面積是：πR圖里，被截的圓（綠色）面積

是:πr2=π(R2-h2).可見(jiàn)，兩形體在任何高度上的截面面積都是相等的。

于是，根據(jù)祖暅原理，上面兩形體的體積相同。

左邊形體的體積=圓柱體的體積-圓錐體的體積=(2/3)πR3.-πh2.

而右邊的

所以，右邊的半球的體積也是=(2/3)πR3.可知整個(gè)球體的體積公

式是：

V=(4/3)πR3.再根據(jù)球的體積與表面積的關(guān)系公式，可得球體的

表面積公式為：

S=4πR2.(我們用直觀方法得出了球的體積公式。學(xué)了微積分的人

容易知道用下圖的微積分算法求出球的體積公式）

第二篇：圓錐體體積教學(xué)設(shè)計(jì)

《圓錐體體積》教學(xué)設(shè)計(jì)

蒲縣城關(guān)小學(xué)

韓淑麗教學(xué)內(nèi)容：

小學(xué)數(shù)學(xué)蘇教版第12冊(cè)內(nèi)容.教學(xué)目標(biāo)：

1.通過(guò)動(dòng)手操作實(shí)驗(yàn)，推導(dǎo)出圓錐體體積的計(jì)算方法，并能運(yùn)用

公式計(jì)算圓錐體的體積.2.通過(guò)學(xué)生動(dòng)腦、動(dòng)手，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力

和空間想象能力.3.培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力和小組合作學(xué)習(xí)的能力.教學(xué)

重點(diǎn)和難點(diǎn)：掌握?qǐng)A錐體體積公式的推導(dǎo).教具準(zhǔn)備：

1、等底等高的圓柱體和圓錐體6套，大小不同的圓柱體和圓錐體

6套、6水槽紅顏色水.直尺6把.2.多媒體課件設(shè)計(jì)

教學(xué)過(guò)程：

一.復(fù)習(xí)鋪墊：

1.怎樣計(jì)算圓柱的體積？

指名回答,教師板書：圓柱體的體積=底面積×高.2.一個(gè)圓柱的底

面積是60平方分米，高15分米，它的體積是多少立方分米？

指兩名板演,全班齊練,集體訂正.3.圓錐有什么特征？

學(xué)生回答后，教師用課件演示：屏摹上顯示一個(gè)圓錐體，將它的

底面、側(cè)面、高和頂點(diǎn)閃爍.二.引入新課

今天我們就利用這些知識(shí)探討新的——怎樣計(jì)算圓錐的體積（板

書課題）

三.教學(xué)新課

1.探討圓錐的體積公式

教師：怎樣探討圓錐的體積計(jì)算公式呢？在回答這個(gè)問(wèn)題之前，

請(qǐng)同學(xué)們先想一想，我們是怎樣知道圓柱體積公式的：

學(xué)生回答，教師板書：

圓柱——（轉(zhuǎn)化）——長(zhǎng)方體

圓柱體積公式——（推導(dǎo)）——長(zhǎng)方體體積公式

教師：借鑒這種方法，為了我們研究圓錐體體積的方便，每個(gè)組

都準(zhǔn)備了一個(gè)圓柱體和一個(gè)圓錐體.你們小組比比看，這兩個(gè)形體有什

么相同的地方？學(xué)生操作比較.（1）

提問(wèn)學(xué)生：你發(fā)現(xiàn)到什么？（這個(gè)圓柱體和這個(gè)圓錐體的形狀有

什么關(guān)系）

(學(xué)生得出：底面積相等，高也相等。)

底面積相等，高也相等，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言說(shuō)就叫“等底等高”.(板書：

等底等高)

（2）為什么？既然這兩個(gè)形體是等底等高的，那么我們就跟求圓

柱體體積一樣，就用“底面積×高”來(lái)求圓錐體體積行不行？為什么?

教師：圓錐體的體積小，那你估計(jì)一下這兩個(gè)形體的體積大小有

什么樣的關(guān)系？(指名發(fā)言)

用水和圓柱體、圓錐體做實(shí)驗(yàn)。怎樣做這個(gè)實(shí)驗(yàn)由小組同學(xué)自己

商量，但最后要向同學(xué)們匯報(bào)，你們組做實(shí)驗(yàn)的圓柱體和圓錐體在體

積大小上有什么樣的倍數(shù)關(guān)系.（2）

學(xué)生分組做實(shí)驗(yàn).誰(shuí)來(lái)匯報(bào)一下，你們組是怎樣做實(shí)驗(yàn)的？

你們做實(shí)驗(yàn)的圓柱體和圓錐體在體積大小上發(fā)現(xiàn)有什么倍數(shù)關(guān)系？

(學(xué)生發(fā)言：圓柱體的體積是圓錐體體積的3倍)

同學(xué)們得出這個(gè)結(jié)論非常重要，其他組也是這樣的嗎？

我們學(xué)過(guò)用字母表示數(shù)，誰(shuí)來(lái)把這個(gè)公式整理一下？(指名發(fā)言)

（3）學(xué)生操作：出示另外一組大小不同的圓柱體和圓錐體進(jìn)行體

積大小的比較，通過(guò)比較你發(fā)現(xiàn)什么？

學(xué)生回答后，教師整理歸納：不是任何一個(gè)圓錐體的體積都是任

何一個(gè)圓柱體體積的.(老師拿起一個(gè)小圓錐、一個(gè)大圓柱)如果老師把

這個(gè)大圓錐體里裝滿了砂子，往這個(gè)小圓柱體里倒，倒三次能倒?jié)M嗎？

(不能)

為什么你們做實(shí)驗(yàn)的圓錐體里裝滿了水往圓柱體里倒，倒三次能

倒?jié)M呢？(因?yàn)槭堑鹊椎雀叩膱A柱體和圓錐體。)

在等底等高的情況下.(老師在體積公式與“等底等高”四個(gè)字上連

線.)

現(xiàn)在我們得到的這個(gè)結(jié)論就更完整了。(指名反復(fù)敘述公式.)

教師:同學(xué)們圓錐體里裝滿了水往圓柱體里倒,只倒一次,看看能不能

想辦法推出計(jì)算公式?讓學(xué)生動(dòng)腦動(dòng)手?

得出用尺子量圓錐里的水倒進(jìn)圓柱里,水高是原來(lái)水高的1/3.小結(jié):

今后我們求圓錐體體積就用這種方法來(lái)計(jì)算。

(4)應(yīng)用鞏固

1.出示例題學(xué)生讀題，理解題意，自己解決問(wèn)題。

例一個(gè)圓錐形的零件，底面積是19平方厘米，高是12厘米，這

個(gè)零件的體積是多少？

學(xué)生完成后，進(jìn)行小組交流.你是怎樣想的和怎樣解決問(wèn)題。（提

問(wèn)學(xué)生多人）

教師板書:

1/3×19×12=76（立方厘米）

答：它的體積是76立方米

2.練習(xí)題。

一個(gè)圓錐體，半徑為6cm，高為18cm。體積是多少？(學(xué)生在黑

板上只列式，反饋。)

3.出示例2：要求學(xué)生自己讀題，理解題意思.在打谷場(chǎng)上，有一

個(gè)近似于圓錐形的小麥堆，測(cè)得底面直徑是4米，高是1.2米，每立方

米小麥約重735千克，這堆小麥約有多少千克？（得數(shù)保留整千克）

（1）提問(wèn)：從題目中你知道什么？

（2）學(xué)生獨(dú)立完成后教師提問(wèn)。并回答同學(xué)的質(zhì)疑：3.14×（）

×1.2

表示什么？為什么要先求圓錐的體積？得數(shù)保留整千克數(shù)是什么

意思？….4.比較：例1和例2有什么地方不同？

1）直接告訴了我們底面積，而（2）沒(méi)有直接告訴，要求我們先

求出底面積，再求出圓錐體積；（2）例1是直接求體積，例2是求出

體積后再求重量.我們已經(jīng)學(xué)會(huì)了求圓錐體的體積，現(xiàn)在我們來(lái)解決有

關(guān)圓錐體體積的問(wèn)題.四.鞏固練習(xí)：

1、一個(gè)圓錐形沙堆，高是1.5米，底面半徑是2米，每立方米沙

重1.8噸.這堆沙約重多少噸？

2.選擇題.每道題下面有3個(gè)答案，你認(rèn)為哪個(gè)答案正確就用手指

數(shù)表示.(1)一個(gè)圓錐體的體積是a立方米，和它等底等高的圓柱體體積

是（）

⑴立方米

②3a立方米

③

9立方米

(2)把一段圓鋼切削成一個(gè)最大的圓錐體，圓柱體體積是6立方米，

圓錐體體積是（）立方米

（1）6立方米（2）3立方米

（3）2立方米

3.學(xué)生操作：

看看我們的教室是什么體？(長(zhǎng)方體)

要在我們的教室里放一個(gè)盡可能大的圓錐體，想一想，怎樣放體

積最大？(小組討論)

指名發(fā)言.當(dāng)爭(zhēng)論不出結(jié)果時(shí)，讓學(xué)生以小組為單位動(dòng)手測(cè)量數(shù)

據(jù)：教室長(zhǎng)12m，寬6m，高4m.并板書出來(lái)，再比較怎樣放體

積最大的圓錐體.五.小結(jié)：

這節(jié)課你有什么收獲？哪個(gè)同學(xué)、哪個(gè)小組學(xué)習(xí)最佳？

六.作業(yè)：

1、書本44頁(yè)第3、4、5.2、回去觀察你生活身邊有哪圓錐物體？

測(cè)量計(jì)算它們的體積.下節(jié)課交流匯報(bào).教學(xué)設(shè)想與反思：

我認(rèn)為這節(jié)課的設(shè)計(jì)與教學(xué)具有下面的特點(diǎn)：

一、這節(jié)課，沒(méi)有像傳統(tǒng)教學(xué)那樣，直接拿出等底等高的圓柱和

圓錐容器的教具，讓學(xué)生觀察倒水實(shí)驗(yàn)，而是通過(guò)師生交流、問(wèn)答、

猜想等形式，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，激發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的探究欲望。學(xué)

生迫切希望通過(guò)實(shí)驗(yàn)來(lái)證實(shí)自己的猜想，所以做起實(shí)驗(yàn)就興趣盎然.特

別是用不同的方法推到出計(jì)算公式,開(kāi)闊學(xué)生思維,提高學(xué)生學(xué)習(xí)積極性.

二、以實(shí)驗(yàn)要求為主線，既動(dòng)手操作，又動(dòng)腦思考，努力探索圓錐體

制的計(jì)算方法。這樣的學(xué)習(xí)，學(xué)生學(xué)得活，記得牢，既發(fā)揮教師的主

導(dǎo)作用，又體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位。學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中，始終是一個(gè)

探索者、研究者、發(fā)現(xiàn)者，并獲得了富有成效的學(xué)習(xí)體驗(yàn).只是，這節(jié)

課學(xué)生是在教師預(yù)設(shè)引導(dǎo)中探究。為什么要學(xué)的疑念，怎樣學(xué)的策略，

可能還不夠突顯，與學(xué)生生活聯(lián)系還不是很緊密的。

學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)不強(qiáng)，都有待探究.

第三篇：圓錐體體積教學(xué)設(shè)計(jì)專題

《圓錐的體積》教學(xué)設(shè)計(jì)

圓錐是小學(xué)幾何初步知識(shí)的最后一個(gè)內(nèi)容，是學(xué)生在學(xué)習(xí)了平面

圖形和長(zhǎng)方體、正方體、圓柱體這三種立體圖形的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的。

教材包括理解圓錐體積的計(jì)算公式和圓錐體積計(jì)算公式的具體運(yùn)用。

學(xué)生掌握這些內(nèi)容，不僅有利于全面掌握長(zhǎng)方體、正方體、圓柱體和

圓錐之間的本質(zhì)聯(lián)系、提高幾何體知識(shí)掌握水平，為今后的學(xué)習(xí)打下

基礎(chǔ)，同時(shí)提高了運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法解決一些簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題

的能力。

教學(xué)目標(biāo)：

1．使學(xué)生知識(shí)圓錐體積公式的推導(dǎo)過(guò)程，能運(yùn)用公式計(jì)算圓錐的

體積。

2．培養(yǎng)學(xué)生的空間想象，動(dòng)手操作，概括推理和創(chuàng)新能力，能運(yùn)

用所學(xué)的知識(shí)解決生活中的實(shí)際問(wèn)題。

3．使學(xué)生能感受到數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng)體驗(yàn)數(shù)學(xué)

活動(dòng)中的探索與創(chuàng)造，本著實(shí)事求是的態(tài)度，養(yǎng)成質(zhì)疑和獨(dú)立思考的

良好習(xí)慣。

教學(xué)重點(diǎn)：圓錐體積計(jì)算公式

教學(xué)難點(diǎn)：圓錐體積計(jì)算公式的推導(dǎo)過(guò)程

教學(xué)關(guān)鍵：學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)操作，理解“圓錐的體積等于它等底等

高圓錐體積的三分之一”

教學(xué)教具：

1．多媒體課件。

2．學(xué)具（4人為一小組）每小組準(zhǔn)備用硬紙自制等底等高，等高

不等底，等底不等高的圓柱和圓錐各一對(duì)，黃沙一小袋。

教學(xué)方法及組織形式：

主動(dòng)探究性學(xué)習(xí)，異質(zhì)分組教學(xué)

教學(xué)過(guò)程：

（一）聯(lián)系生活，激趣設(shè)疑

1．出示課件，激趣引入

師：同學(xué)們，老師請(qǐng)你們看一個(gè)畫面：一個(gè)夏天的中午媽媽帶小

麗到公園里玩，那里的風(fēng)景可真美，就是天氣有點(diǎn)熱，她們決定買冰

淇淋。小麗來(lái)到冷飲店，看見(jiàn)兩種冰淇淋。一種圓柱形的，2元一支；

一種圓錐形的0.5元一支。小麗，不知買哪一種既經(jīng)濟(jì)又實(shí)惠的冰淇淋，

同學(xué)們，你們能幫幫他嗎？

2．引入新知

（這時(shí)學(xué)生爭(zhēng)論不休）

師：同學(xué)們都很棒，為了幫助小麗解決這個(gè)問(wèn)題，這節(jié)課我們就

來(lái)學(xué)習(xí)“圓錐的體積”的計(jì)算好嗎？（板書課題）

（二）自主探究，合作交流

1．猜想。

師：好，請(qǐng)同學(xué)們回憶一下，我們已經(jīng)學(xué)過(guò)哪些物體的體積計(jì)算

方法呢？

師：那你認(rèn)為哪一種物體的體積計(jì)算方法可能與圓錐有關(guān)呢？能

說(shuō)出你猜測(cè)的依據(jù)嗎？

你們能大膽的猜測(cè)一下，圓錐體和圓柱體體積之間會(huì)存在著什么

樣的關(guān)系呢？誰(shuí)愿意試一試呢？

師：那有了猜測(cè)，下一步我們就要?jiǎng)邮植僮鬟M(jìn)行實(shí)驗(yàn)，來(lái)驗(yàn)證我

們的猜測(cè)。

師：那么請(qǐng)各組先拿出自己準(zhǔn)備的圓錐與圓柱，觀察比較他們的

底與高的大小關(guān)系。

1、各小組進(jìn)行觀察討論。

2、各小組進(jìn)行交流，教師做適當(dāng)?shù)陌鍟?/p>

通過(guò)學(xué)生的交流出現(xiàn)以下幾種情況：一是圓柱與圓錐等底不等高；

二是圓柱與圓錐等高不等底；三是圓柱與圓錐不等底不等高；四是圓

柱與圓錐等底等高。

3、師啟發(fā)談話：現(xiàn)在我們面前擺了這么多的圓柱和圓錐，我們是

否有必要把每一種情況都進(jìn)行研究？能否找到一種既簡(jiǎn)便又容易操作

且能代表所有圓柱和圓錐關(guān)系的一組呢？（選擇等底等高的圓錐體與

圓柱體）

師：下面請(qǐng)同學(xué)們四人一組利用你桌子上的學(xué)具，找出兩組等底

等高的圓錐與圓柱，共同探討它們之間的體積關(guān)系驗(yàn)證我們的猜想，

不過(guò)在實(shí)驗(yàn)前先閱讀實(shí)驗(yàn)要求，（課件演示）只有目標(biāo)明確，才能更

好的合作。開(kāi)始吧！

要求：

1、實(shí)驗(yàn)材料，任選沙、米、水中的一種。

2、實(shí)驗(yàn)方法可選擇用圓錐向圓柱里倒，到滿為止；或用圓柱向圓

錐里倒，到空為止。

（生進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操作、小組交流）

師：

1、誰(shuí)來(lái)匯報(bào)一下，你們組是怎樣做實(shí)驗(yàn)的？

2、通過(guò)做實(shí)驗(yàn)，你們發(fā)現(xiàn)它們有什么關(guān)系？

師：為了使大家剛才做的實(shí)驗(yàn)更清楚，更準(zhǔn)確請(qǐng)看大屏幕，看數(shù)

學(xué)小博士是怎樣做的？（課件演示）

3．推導(dǎo)圓錐的體積。

(1)師：根據(jù)實(shí)驗(yàn)和課件演示，你們一定有辦法推導(dǎo)出圓錐的體積

公式。

(2)課件演示。

智慧老人眨著眼睛向小朋友提出一個(gè)問(wèn)題：“圓錐的體積是圓柱

體積的三分之一”這句話對(duì)嗎？

師：我們知道了怎樣求圓錐的體積，那么假如圓柱形冰淇淋和圓

錐形的冰淇淋是等底等高，你們說(shuō)小麗買哪種合算呢？（這時(shí)同學(xué)們

異口同聲回答答案）。

師：所以，數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，生活離不開(kāi)數(shù)學(xué)，生活中有很多問(wèn)

題都可以用我們所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決。

（三）鞏固練習(xí)（課件出示）

1、判斷對(duì)錯(cuò)，并說(shuō)明理由。

①圓錐的體積等于圓柱體積的.（）

②圓柱體的體積大于與它等底等高的圓錐的體積（）

③圓錐的高是圓柱的高的3倍，他們的體積一定相等。（）

2、一個(gè)近似圓錐形的煤堆，測(cè)得它的底面半徑是1.5米，高是

1.1米。這堆煤的體積是多少？如果每立方米的煤約重1.4噸，這堆煤

大約重多少噸？（得數(shù)保留整數(shù)）

3、你能求出圓錐形冰淇淋的體積嗎？

（1）半徑3厘米

高6厘米

（2）直徑6厘米

高6厘米

（3周長(zhǎng)18.84厘米

高6厘米

（四）評(píng)價(jià)體驗(yàn)

這節(jié)課你們有什么收獲？能告訴老師嗎？

（五）探究延伸

如何測(cè)量一個(gè)雞蛋的體積

教學(xué)目標(biāo)

1.通過(guò)動(dòng)手操作實(shí)驗(yàn)，推導(dǎo)出圓錐體體積的計(jì)算方法，并能運(yùn)用

公式計(jì)算圓錐體的體積。

2.通過(guò)學(xué)生動(dòng)腦、動(dòng)手，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和空間想象能力。

教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

圓錐體體積公式的推導(dǎo)。

教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

（一）復(fù)習(xí)準(zhǔn)備

1.我們每組桌上都擺著幾何形體，哪種形體的體積我們已經(jīng)學(xué)過(guò)

了？舉起來(lái)。

這是什么體？（圓錐體）

（板書：圓錐）

上節(jié)課我們已經(jīng)認(rèn)識(shí)了圓錐體，這里有幾個(gè)畫好的幾何形體。

（出示幻燈）

一起說(shuō)，幾號(hào)圖形是圓錐體？（2號(hào)）

（指著圓錐體的底面）這部分是圓錐體的什么？（底面）

（指著頂點(diǎn)）這呢？

哪是圓錐體的高？（指名回答。）

（用幻燈出示幾個(gè)圖形。）

在這幾個(gè)圓錐體中，幾號(hào)線段是圓錐體的高，就舉幾號(hào)卡片。

（學(xué)生舉卡片反饋）

你為什么選2號(hào)線段呢？為什么不選3號(hào)、4號(hào)呢？（指名回答）

那么這個(gè)圓錐體的高在哪呢？（在幻燈上打出圓錐體的高。）

看來(lái)，同學(xué)們對(duì)于圓錐體的特征掌握得很好，這節(jié)課我們就重點(diǎn)

研究圓錐的體積。

（板書，在“圓錐”二字的后面寫“的體積”。）

（復(fù)習(xí)內(nèi)容緊扣重點(diǎn)，由實(shí)物到實(shí)間圖形，采用對(duì)比的方法，不

斷加深學(xué)生對(duì)形體的認(rèn)識(shí)。）

（二）學(xué)習(xí)新課

（老師拿出一大一小兩個(gè)圓錐體問(wèn)學(xué)生）這兩個(gè)圓錐體哪個(gè)體積

大，哪個(gè)體積小？

（再拿出不等底、不等高，但體積相等的一個(gè)圓柱體和一個(gè)圓錐

體）這兩個(gè)形體哪個(gè)體積大，哪個(gè)體積小？（引起學(xué)生爭(zhēng)論，說(shuō)法不

一。）

看來(lái)我們只憑眼睛看是不能準(zhǔn)確地得出誰(shuí)的體積大，誰(shuí)的體積小，

必須通過(guò)測(cè)量計(jì)算出它們的體積。圓柱體的體積我們已經(jīng)學(xué)過(guò)了，等

我們學(xué)完了圓錐的體積再來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。

為了我們研究圓錐體體積的方便，每個(gè)組都準(zhǔn)備了一個(gè)圓柱體和

一個(gè)圓錐體。你們小組比比看，這兩個(gè)形體有什么相同的地方？

（學(xué)生得出：底面積相等，高也相等。）

底面積相等，高也相等，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言說(shuō)就叫“等底等高”。

（板書：等底等高）

既然這兩個(gè)形體是等底等高的，那么我們就跟求圓柱體體積一樣，

就用“底面積×高”來(lái)求圓錐體體積行不行？（不行）

為什么？（因?yàn)閳A錐體的體積小）

（把圓錐體套在透明的圓柱體里）是啊，圓錐體的體積小，那你

估計(jì)一下這兩個(gè)形體的體積大小有什么樣的倍數(shù)關(guān)系？（指名發(fā)言）

的大米、水和圓柱體、圓錐體做實(shí)驗(yàn)。怎樣做這個(gè)實(shí)驗(yàn)由小組同學(xué)自

己商量，但最后要向同學(xué)們匯報(bào)，你們組做實(shí)驗(yàn)的圓柱體和圓錐體在

體積大小上有什么樣的倍數(shù)關(guān)系。注意，用大米做實(shí)驗(yàn)的同學(xué)不要浪

費(fèi)一粒糧食。

（學(xué)生分組做實(shí)驗(yàn)。）

誰(shuí)來(lái)匯報(bào)一下，你們組是怎樣做實(shí)驗(yàn)的？

你們做實(shí)驗(yàn)的圓柱體和圓錐體在體積大小上有什么倍數(shù)關(guān)系？

（學(xué)生發(fā)言。）

同學(xué)們得出這個(gè)結(jié)論非常重要，其他組也是這樣的嗎？

我們學(xué)過(guò)用字母表示數(shù)，誰(shuí)來(lái)把這個(gè)公式整理一下？（指名發(fā)言）

（不是）

是啊，（老師拿起一個(gè)小圓錐、一個(gè)大圓柱）如果老師把這個(gè)大

圓錐體里裝滿了米，往這個(gè)小圓柱體里倒，倒三次能倒?jié)M嗎？（不能）

為什么你們做實(shí)驗(yàn)的圓錐體里裝滿了水或米往圓柱體里倒，倒三

次能倒?jié)M呢？

（因?yàn)槭堑鹊椎雀叩膱A柱體和圓錐體。）

呢？（在等底等高的情況下。）

（老師在體積公式與“等底等高”四個(gè)字上連線。）

現(xiàn)在我們得到的這個(gè)結(jié)論就更完整了。（指名反復(fù)敘述公式。）

今后我們求圓錐體體積就用這種方法來(lái)計(jì)算。

（老師在教學(xué)中，注意調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，采用分組觀察，

操作，討論等方法，突出了學(xué)生的主體作用。）

（三）鞏固反饋

1.口答。

填空：

2.板書例題。

例一個(gè)圓錐體，它的底面積10cm2，高6cm，它的體積是多少？

（指名回答，老師板書。）

=20（cm3）

答：它的體積是20cm3。

3.練習(xí)題。

一個(gè)圓錐體，半徑為6cm，高為18cm。體積是多少？（學(xué)生在

黑板上只列式，反饋。）

4.我們已經(jīng)學(xué)會(huì)了求圓錐體的體積，現(xiàn)在我們會(huì)求前面遺留問(wèn)題

中的比大小的圓錐體體積了。

（幻燈出示其中之一）這個(gè)圓錐體，直徑為10cm，高為12cm，

求體積。

（學(xué)生在小黑板上只寫結(jié)果，舉黑板反饋。）

你們求出這個(gè)圓錐體的體積是314cm3。現(xiàn)在告訴你們另一個(gè)圓

柱體的體積我已經(jīng)計(jì)算出來(lái)了，它的體積也是314cm3。這兩個(gè)形體

體積怎樣？（一樣）剛才我們留下的問(wèn)題就解決了，看來(lái)判斷問(wèn)題必

須要有科學(xué)依據(jù)。

5.選擇題。每道題下面有3個(gè)答案，你認(rèn)為哪個(gè)答案正確就舉起幾

號(hào)卡片。

（1）一個(gè)圓錐體的體積是a（dm3），和它等底等高的圓柱體體

積是（）（dm3）。

②3a（dm3）

③a3（dm3）

（舉卡片反饋，訂正。）

（2）把一段圓鋼切削成一個(gè)最大的圓錐體，圓柱體體積是6cm3，

圓錐體體積是（）cm3。

（學(xué)生舉卡片反饋，訂正。）

6.剛才都是老師給你們數(shù)據(jù)，求圓錐體體積，你們能不能直接告

訴我你們桌上的圓錐體體積是多少呢？（不能）

為什么？（因?yàn)椴恢赖酌娣e和高。）

需要測(cè)量什么？（底面半徑和高。）

怎么測(cè)量？（小組討論。）

（指名發(fā)言）

今天回家后，把你們測(cè)量的數(shù)據(jù)寫在本子上，再計(jì)算出體積。

這節(jié)課我們學(xué)了什么知識(shí)？

出思考題：

現(xiàn)在我們比一比誰(shuí)的空間想象能力強(qiáng)。

看看我們的教室是什么體？（長(zhǎng)方體）

要在我們的教室里放一個(gè)盡可能大的圓錐體，想一想，怎樣放體

積最大？（小組討論）

指名發(fā)言。當(dāng)爭(zhēng)論不出結(jié)果時(shí)，老師給數(shù)據(jù)：教室長(zhǎng)12m，寬

6m，高4m。并板書出來(lái)，再比較怎樣放體積最大。

（四）指導(dǎo)看書，布置作業(yè)

（略）

課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明

本節(jié)課的主要特點(diǎn)有以下幾點(diǎn)：

一是始終注意激發(fā)學(xué)生的求知欲。新課一開(kāi)始就讓學(xué)生觀察，猜

測(cè)兩組圓錐的大小，激發(fā)學(xué)習(xí)的欲望。在公式推導(dǎo)過(guò)程中又引導(dǎo)學(xué)生

估計(jì)兩個(gè)等底等高的圓柱和圓錐的體積之間的倍數(shù)關(guān)系，使學(xué)生的學(xué)

習(xí)興趣進(jìn)一步高漲。在應(yīng)用公式的教學(xué)中，又把問(wèn)題轉(zhuǎn)向了課初學(xué)生

猜測(cè)體積大小的兩個(gè)圓錐，并引導(dǎo)學(xué)生邊測(cè)量，邊計(jì)算，終于使懸念

得出了滿意的結(jié)果，使學(xué)生獲得了成功的喜悅。

二是在教學(xué)中重視以學(xué)生為學(xué)習(xí)活動(dòng)的主體，整個(gè)公式的推導(dǎo)，

是建立在學(xué)生分組觀察、實(shí)驗(yàn)操作、測(cè)量的基礎(chǔ)上的，學(xué)生不僅參與

了獲取知識(shí)的全過(guò)程，更重要的是參與了獲取知識(shí)的思維過(guò)程。

三是教學(xué)層次清楚，步步深入，重點(diǎn)突出。

四是練習(xí)有坡度，形式多，教學(xué)反饋及時(shí)、準(zhǔn)確、全面、有效。

第四篇：圓錐體體積教學(xué)設(shè)計(jì)

《圓錐的體積》教學(xué)設(shè)計(jì)

合方小學(xué)祝艷欣

【教材分析】:

《圓錐的體積》是人教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)下冊(cè)第二單元第42-43

頁(yè)內(nèi)容，圓錐在日常生活和生產(chǎn)中應(yīng)用非常廣泛,《圓錐的體積》是在

學(xué)生學(xué)習(xí)了圓柱的體積和認(rèn)識(shí)圓錐的基礎(chǔ)上進(jìn)行的教學(xué)，是小學(xué)階段

學(xué)習(xí)幾何知識(shí)的最后部分，是幾何知識(shí)的綜合運(yùn)用。掌握這部分知識(shí)，

不僅有利于學(xué)生全面掌握長(zhǎng)方體、正方體、圓柱和圓錐之間的本質(zhì)聯(lián)

系、提高解決實(shí)際問(wèn)題的能力,發(fā)展學(xué)生的空間觀念,還可為以后學(xué)習(xí)復(fù)

雜形體知識(shí)打下扎實(shí)基礎(chǔ)。

【教學(xué)目標(biāo)】:

1、理解并掌握?qǐng)A錐的體積公式，能夠正確運(yùn)用公式計(jì)算圓錐的體

積，解決生活中的一些實(shí)際問(wèn)題。

2、通過(guò)猜測(cè)、操作、驗(yàn)證結(jié)論的科學(xué)探究過(guò)程，在自主研究的基

礎(chǔ)上理解并掌握?qǐng)A錐的體積公式。

3、增強(qiáng)自主探究新知的意識(shí)，體驗(yàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的價(jià)值，發(fā)展數(shù)學(xué)思

考能力；培養(yǎng)學(xué)生樂(lè)于學(xué)習(xí)、勇于探索的情趣。

【現(xiàn)代教學(xué)手段運(yùn)用】

通過(guò)多媒體課件的運(yùn)用，為學(xué)生提供更為豐富的學(xué)習(xí)資源，改變

學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

【教學(xué)重點(diǎn)】

探索并掌握?qǐng)A錐體積的計(jì)算公式，會(huì)正確地計(jì)算。

【教學(xué)難點(diǎn)】:

理解和掌握等底等高的圓錐和圓柱體積之間的關(guān)系，以及圓錐體

積公式的推導(dǎo)過(guò)程。

【教學(xué)準(zhǔn)備】:

多媒體課件、等底等高和不等底不等高的圓柱體和圓錐體容器、

沙子。

【教學(xué)過(guò)程】:

一、創(chuàng)設(shè)情境，懸疑激趣。

1、比比誰(shuí)最聰明

狐貍和小白兔來(lái)幫山羊伯伯搬運(yùn)蓋房的木材，狐貍搶先選擇了圓

柱形木材，小白兔笑了笑，選擇了圓錐形木材，狐貍占到便宜了嗎？

（課件出示：圓柱形木材和圓錐形木材底面半徑都是3分米，高都是2

分米）

2、揭示課題，明確本節(jié)課的學(xué)習(xí)任務(wù)：

（1）、先讓學(xué)生想解決的辦法：對(duì)于誰(shuí)更聰明，我們?cè)趺磥?lái)判斷

呢？你有什么方法？（讓學(xué)生知道要判斷誰(shuí)更聰明需求出它們的體積）

（2）、這節(jié)課我們就一起來(lái)研究圓錐體積的計(jì)算方法。

二、探究新知

1、自主探索，獲取知識(shí)

（1）、確定類比對(duì)象。“你認(rèn)為圓錐的體積可能與哪種立體圖形

的體積有關(guān)？”

（2）、回憶:長(zhǎng)方體、正方體和圓柱的體積都可以用一個(gè)什么公

式表示？

（3）、想一想：圓錐的體積能不能用“底面積x高”來(lái)計(jì)算？

（4）、學(xué)生實(shí)驗(yàn)

第一、比較圓柱和圓錐是否等底等高？

第二、在“等底等高”的條件下通過(guò)裝沙子實(shí)驗(yàn)比較圓錐與圓柱

的體積。

第三、在“不等底不等高”的條件下做裝沙子實(shí)驗(yàn)比較圓錐與圓

柱的體積。

（6）、匯報(bào)實(shí)驗(yàn)結(jié)果。學(xué)生的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下：

①用底面積相等高也相等的圓柱和圓錐，圓錐體容器裝滿沙土往

圓柱體容器里倒，倒了三次，正好裝滿。

②用不等底或高不相等的圓柱和圓錐，圓錐體容器裝滿沙土往圓

柱體容器里倒，不是三次正好裝滿。

2、得出結(jié)論：只有等底等高的圓柱和圓錐才存在著一定的倍數(shù)關(guān)

系。

3、播放課件（重點(diǎn)理解：等底等高）

4、推導(dǎo)公式

（1）根據(jù)等底、等高的圓柱體和圓錐體體積之間的倍數(shù)關(guān)系，你

能得出圓錐體的體積公式嗎？

（2）播放課件：圓錐體的體積可以怎么表示？

（3）想一想，討論一下。

通過(guò)得出的公式你知道要求圓錐的體積必須知道什么嗎？

三、運(yùn)用公式，解決實(shí)際問(wèn)題。

1、一個(gè)圓錐形的零件，底面積是19平方厘米，高是12厘米。這

個(gè)零件的體積是多少？（直接放手讓學(xué)生嘗試練習(xí)）

2、解決開(kāi)始時(shí)提出的問(wèn)題，現(xiàn)在你知道狐貍和小白兔誰(shuí)最聰明了

嗎？

3、出示課件

（一）填空(口答)：

1、圓錐的體積=（），用字母表示是（）。

2、圓柱體積的與和它（）的圓錐的體積相等。

3、一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐等底等高，圓柱的體積是3立方分米，圓

錐的體積是（）立方分米。

4、一個(gè)圓錐的底面積是3平方厘米，高是6厘米，體積是（）立

方厘米。

（二）判斷：

1、圓柱體的體積一定比圓錐體的體積大（）

2、圓錐的體積等于和它等底等高的圓柱體的（）

（）

4、等底等高的圓柱和圓錐，如果圓柱體的體積是27立方米，那

么圓錐的體積是9立方米。（）

4、在打谷場(chǎng)上，有一個(gè)近似于圓錐的小麥堆，測(cè)得底面直徑是４

米，高是1.2米。每立方米小麥約重735千克，這堆小麥約有多少千

克？（得數(shù)保留整千克）

3、正方體、長(zhǎng)方體、圓錐體的體積都等于底面積×高。

四、全課總結(jié)，課外延伸。

讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)這節(jié)課的收獲，并在課后從生活中找一個(gè)圓錐形物體，

想辦法計(jì)算出它的體

積。

五、板書設(shè)計(jì)

圓錐的體積

圓錐的體積=等底等高的圓柱體積的三分之一

=底面積×高×1/3

V=1/3sh

第五篇：《圓錐體體積的練習(xí)》教學(xué)反思

《圓錐體體積的練習(xí)》教學(xué)反思

圓錐的體積練習(xí)內(nèi)容包括利用公式直接計(jì)算圓錐的體積，利用公

式求圓錐形物體的容積。能靈活地運(yùn)用公式解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，

提高解決問(wèn)題的能力。

我在教學(xué)時(shí)，發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生對(duì)于直接利用公式計(jì)算的題目掌握

的很好了。并且我要求學(xué)生在做圖形題時(shí)，審題要做到以下幾點(diǎn)：

1.弄清物體的形狀，題目給出的數(shù)量單位是否統(tǒng)一。

2.弄清題目給出了哪些已知條件？通過(guò)這些條件你能提出哪些問(wèn)

題？

3.弄清問(wèn)題求什么？與已知條件之間有什么聯(lián)系？找出數(shù)量關(guān)系。

4.根據(jù)數(shù)量關(guān)系列式解答。

但是也有一些不足，例如：已知底面周長(zhǎng)和高求體積；或已知體

積和底面半徑求高這種變式題，還有部分學(xué)生不熟練。