凸函數(shù)的性質(zhì)

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凹凸函數(shù)的性質(zhì)

李聯(lián)忠1文麗瓊2

1營(yíng)山中學(xué)四川營(yíng)山6377002營(yíng)山駱市中學(xué)四川營(yíng)山638150

摘要：若函數(shù)f(x)為凹函數(shù)，則

n

fff

n

f

xxxxxxnn

)()()(

)(2121

???

?

?????

若函數(shù)f(x)為凸函數(shù)，則

n

fff

n

f

xxxxxxnn

)()()(

)(2121

???

?

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從而使一些重要不等式的證明更簡(jiǎn)明。

中圖分類(lèi)號(hào)：文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)號(hào)：文章編號(hào)：

高二數(shù)學(xué)不等式，教材上只要求學(xué)生掌握兩個(gè)數(shù)的均值不等式，教材上的閱

讀材料中，證明了三個(gè)數(shù)的均值不等式，從而推廣到多個(gè)數(shù)的情形。學(xué)有余力的

學(xué)生，會(huì)去證多個(gè)數(shù)的情形。仿照書(shū)上去證，幾乎不可能。下面介紹凹凸函數(shù)的

性質(zhì)，并用來(lái)證明之，較簡(jiǎn)便易行。

凹函數(shù)定義若函數(shù)f(x)上每一點(diǎn)的切線都在函數(shù)圖像的下方，則函數(shù)f(x)

叫做凹函數(shù)。如圖（一）

凸函數(shù)定義若函數(shù)f(x)上每一點(diǎn)的切線都在函數(shù)圖像的上方，則函數(shù)f(x)

叫做凸函數(shù)。如圖（二）

性質(zhì)定理若函數(shù)f(x)是凹函數(shù)，則

n

fff

n

f

xxxxxxnn

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)(2121

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若函數(shù)f(x)是凸函數(shù)，則

n

fff

n

f

xxxxxxnn

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)(2121

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證明：若函數(shù)f(x)是凹函數(shù)，如下圖

.

;.

點(diǎn)P（)(,2121

n

f

n

xxxxxxnn

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）在f(x)上

設(shè)過(guò)P點(diǎn)的切線方程為：y=ax+b則

b

n

a

n

f

xxxxxxnn?

???

??

?????

2121)(（1）

∵f(x)是凹函數(shù)，切線在函數(shù)圖像下方

∴bafxx??

11

)(;bafxx??

22

)(;…;bafxxnn

??)(

∴b

n

a

n

fffxxxxxxnn?

???

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2121

)()()(

(2)

由（1），（2）得

n

fff

n

f

xxxxxxnn

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)(2121

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?

?????

若函數(shù)f(x)為凸函數(shù)，如下圖

點(diǎn)P（)(,2121

n

f

n

xxxxxxnn

????????

）在f(x)上

設(shè)過(guò)P點(diǎn)的切線方程為：y=ax+b則

b

n

a

n

f

xxxxxxnn?

???

??

?????

2121)(（1）

∵f(x)是凸函數(shù)，切線在函數(shù)圖像上方

∴bafxx??

11

)(;bafxx??

22

)(;…;bafxxnn

??)(

.

;.

∴b

n

a

n

fffxxxxxxnn?

???

??

?????

2121

)()()(

(2)

由（1），（2）得

n

fff

n

f

xxxxxxnn

)()()(

)(2121

???

?

?????

定理證明過(guò)程要結(jié)合圖像形象理解，也便于掌握。下面證明均值不等式和高

斯不等式。

均值不等式：n

n

nxxx

xxx

n

????

???

?

?

21

21（0,,,

21

＞xxxn

?）

證明：∵y=lgx是凸函數(shù)

∴

nn

xxxxxxnn

)lg()lg()lg(

)lg(2121

???

?

?????

∴n

n

nxxx

xxx

n

????

???

?

?

21

21lg)lg(即

n

n

nxxx

xxx

n

????

???

?

?

21

21（0,,,

21

＞xxxn

?）

高斯不等式：

xxxxxx

n

nn

111

2121

2

????

???

?

?

（0,,,

21

＞xxxn

?）

證明：∵

x

y

1

?

(x>0)是凹函數(shù)

∴

n

n

xxx

xx

xn

n

111

)

1

21

2

1

(

???

?

???

?

?／

即

xxxxxx

n

nn

111

2121

2

????

???

?

?

（0,,,

21

＞xxxn

?）

以上兩個(gè)不等式的證明，非常簡(jiǎn)明，下面再舉幾個(gè)性質(zhì)定理應(yīng)用的例子。

例1A、B、C為三角形三內(nèi)角，求證sinA+sinB+sinC≤

2

33

證明：∵A、B、C為三角形三內(nèi)角

∴A+B+C=πA>0B>0C>0

又∵y=sinx(0

∴

3

sin

3

sinsinsinCBACBA??

?

??

.

;.

∴

3

sin

3

sinsinsinπ

?

??CBA

即

SinA+sinB+sinC≤

2

33

例2求證

n

nxxx

n

xxxn

22

2

2

1

2

)(21

???

?

?????

證明：∵xy2?

為凹函數(shù)

∴

n

nxxx

n

xxxn

22

2

2

1

2

)(21

???

?

?????

例3求證

n

nxxx

n

xxxk

n

kk

k

22

2

2

1

2

)(21

???

?

?????

（k∈N?

）

證明：∵xky2?（k∈N?

）為凹函數(shù)

∴

n

nxxx

n

xxxk

n

kk

k

22

2

2

1

2

)(21

???

?

?????

通過(guò)以上例子，可以看出，關(guān)鍵在于找到合適的凹函數(shù)或凸函數(shù)，再用性質(zhì)定

理，問(wèn)題可得解決。