數學證明方法

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高中數學正弦定理的五種證明方法

——王彥文青銅峽一中

1.利用三角形的高證明正弦定理

（1）當

?

ABC是銳角三角形時，設邊AB上的高是CD，根據銳角三角函數的定義，

有

?sinCDaB

,

sinCDbA?

。

由此，得

sinsin

ab

AB

?

，

同理可得

sinsin

cb

CB

?

，

故有

sinsin

ab

AB

?

sin

c

C

?

.從而這個結論在銳角三角形中成立.

（2）當

?

ABC是鈍角三角形時，過點C作AB邊上的高，交AB的延長線于點D，

根據銳角三角函數的定義，有

????sinsinCDaCBDaABC

，

sinCDbA?

。由此，

得

?

?sinsin

ab

AABC

，

同理可得

?

?sinsin

cb

CABC

故有

?

?sinsin

ab

AABCsin

c

C

?

.

由(1)(2)可知，在

?

ABC中，

sinsin

ab

AB

?

sin

c

C

?

成立.

從而得到：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比值相等，即

sinsin

ab

AB

?

sin

c

C

?

.

2.利用三角形面積證明正弦定理

已知△ABC,設BC＝a,CA＝b,AB＝c,作AD⊥BC,垂足為D.則Rt△ADB

中,

AB

AD

B?sin

,∴AD=AB·sinB=csinB.

∴S

△ABC

=

BacADasin

2

1

2

1

??

.同理,可證S△ABC

=

AbcCabsin

2

1

sin

2

1

?

.

∴S

△ABC

=

BacAbcCabsin

2

1

sin

2

1

sin

2

1

??

.∴absinc=bcsinA=acsinB,

在等式兩端同除以ABC,可得

b

B

a

A

c

Csinsinsin

??

.即

C

c

B

b

A

a

sinsinsin

??

.

3.向量法證明正弦定理

(1)△ABC為銳角三角形,過點A作單位向量j垂直于

AC

,則j與

AB

的夾角為

90°-A,j與

CB

的夾角為90°-C.由向量的加法原則可得

ABCBAC??

,

ab

D

A

B

C

A

B

C

D

b

a

D

C

B

A

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為了與圖中有關角的三角函數建立聯系,我們在上面向量等式的兩邊同取與向量

j的數量積運算,得到

ABjCBACj????)(

由分配律可得

ABjCBjAC????

.B

∴|j|

AC

Cos90°+|j|

CB

Cos(90°-C)=|j|

AB

Cos(90°-A).j

∴asinC=csinA.∴

C

c

A

a

sinsin

?

.A

另外,過點C作與

CB

垂直的單位向量j,則j與

AC

的夾角為90°+C,j與

AB

的

夾角為90°+B,可得

B

b

C

c

sinsin

?

.

(此處應強調學生注意兩向量夾角是以同起點為前提,防止誤解為j與

AC

的夾

角為90°-C,j與

AB

的夾角為90°-B)∴

C

c

B

b

A

a

sinsinsin

??

.

(2)△ABC為鈍角三角形,不妨設A＞90°,過點A作與

AC

垂直的單位向量j,則

j與

AB

的夾角為A-90°,j與CB的夾角為90°-C.

由

ABCBAC??

,得j·

AC

+j·

CB

=j·

AB

,

j

即a·Cos(90°-C)=c·Cos(A-90°),∴asinC=csinA.∴

C

c

A

a

sinsin

?

另外,過點C作與

CB

垂直的單位向量j,則j與

AC

的夾角為90°+C,j與

AB

夾角為90°+B.同理,可得

C

c

B

b

sinsin

?

.∴

C

c

B

b

simA

a

sinsin

??

4.外接圓證明正弦定理

在△ABC中,已知BC=a,AC=b,AB=c,作△ABC的外接圓,O為圓心,

連結BO并延長交圓于B′,設BB′=2R.則根據直徑所對的圓周角是直角以及同弧

所對的圓周角相等可以得到

∠BAB′=90°，∠C=∠B′，

∴sinC=sinB′=

R

c

BC

2

sinsin?

?

?

.∴

R

C

c

2

sin

?

.

A

C

C

BA

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同理,可得

R

B

b

R

A

a

2

sin

,2

sin

??

.∴

R

C

c

B

b

A

a

2

sinsinsin

???

.

這就是說,對于任意的三角形,我們得到等式

C

c

B

b

A

a

sinsinsin

??

.

法一(平面幾何)：在△ABC中，已知

,,ACbBCaC???及

，求c。

過A作

sinsinADBCDADACCBCC??于，是＝

，

coscos,CDACbc??

在Rt

ABD?

中，2222222(sin)(cos)2cosABADBDbcabcababc????????，

法二（平面向量）：

222()()22||||ABABACBCACBCACACBCBCACACBC????????????

2

22cos(180)2cosBBCbabBa?????，即：2222coscababc???

法三（解析幾何）：把頂點C置于原點，CA落在x軸的正半軸上，由于

△ABC的AC=b，CB=a，AB=c，則A，B，C點的坐標分別為A(b，0)，B(acosC，

asinC)，C(0，0)．

|AB|2=(acosC－b)2+(asinC－0)2

=a2cos2C－2abcosC+b2+a2sin2C

=a2+b2－2abcosC，

即c2=a2+b2－2abcosC．

.

法五（用相交弦定理證明余弦定理）:

如圖，在三角形ABC中，∠A=α，AB=a，BC=b，AC=c。

現在以B為圓心，以長邊AB為半徑做圓，這里要用長

邊的道理在于，這樣能保證C點在圓內。BC的延長線交

圓B于點D和E

這樣以來，DC=a-b，CE=a+b，AC=c。因為AG=2acosα，

所以CG=2acosα-c。根據相交弦定理有：

DC×CE=AC×CG，帶入以后就是

(a-b)(a+b)=c(2acosα-c)

化簡以后就得b2=a2+c2+2accosα。也就是我們的余弦定理。

如圖，在△ABC中，AB＝4cm，AC＝3cm，角平分線AD＝2cm，求此三角形

A

C

B

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面積.

分析：由于題設條件中已知兩邊長，故而聯想面積公式S

△ABC

＝

1

2

AB·AC·sinA，需求出sinA，而△ABC面積可以轉化為S

△ADC

＋S

△ADB

，而S

△ADC

＝

1

2

AC·ADsin

A

2

，S

△ADB

＝

1

2

AB·AD·sin

A

2

，因此通過S

△ABC

＝S

△ADC

＋S

△ADB

建立關于含

有sinA，sin

A

2

的方程，而sinA＝2sin

A

2

cos

A

2

，sin2

A

2

＋cos2

A

2

＝1，故sinA

可求，從而三角形面積可求.

解：在△ABC中，S

△ABC

＝S

△ADB

＋S

△ADC

，

∴

1

2

AB·ACsinA＝

1

2

·AC·AD·sin

A

2

＋

1

2

·AB·ADsin

A

2

∴

1

2

·4·3sinA＝

1

2

·3·2sin

A

2

，∴6sinA＝7sin

A

2

∴12sin

A

2

cos

A

2

＝7sin

A

2

∵sin

A

2

≠0，∴cos

A

2

＝

7

12

，又0＜A＜π，∴0＜

A

2

＜

π

2

∴sin

A

2

＝1－cos2

A

2

＝

95

12

，

∴sinA＝2sin

A

2

cos

A

2

＝

795

72

，

∴S

△ABC

＝

1

2

·4·3sinA＝

795

12

（cm2）.

在△ABC中，AB＝5，AC＝3，D為BC中點，且AD＝4，求BC邊長.

解：設BC邊為x，則由D為BC中點，可得BD＝DC＝

x

2

，

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在△ADB中，cosADB＝

AD2＋BD2－AB2

2AD·BD

＝

42＋（

x

2

）2－52

2×4×

x

2

在△ADC中，cosADC＝

AD2＋DC2－AC2

2AD·DC

＝

42＋（

x

2

）2－32

2×4×

x

2

又∠ADB＋∠ADC＝180°

∴cosADB＝cos（180°－∠ADC）＝－cosADC.

∴

42＋（

x

2

）2－52

2×4×

x

2

＝－

42＋（

x

2

）2－32

2×4×

x

2

解得，x＝2

所以，BC邊長為2.

2.在△ABC中，已知角B＝45°，D是BC邊上一點，AD＝5，AC＝7，DC＝3，

求AB.

解：在△ADC中，

cosC＝

AC2＋DC2－AD2

2AC·DC

＝

72＋32－52

2×7×3

＝

11

14

，

又0＜C＜180°，∴sinC＝

53

14

在△ABC中，

AC

sinB

＝

AB

sinC

∴AB＝

sinC

sinB

AC＝

53

14

·2·7＝

56

2

.

3.在△ABC中，已知cosA＝

3

5

，sinB＝

5

13

，求cosC的值.

解：∵cosA＝

3

5

＜

2

2

＝cos45°，0＜A＜π

∴45°＜A＜90°，∴sinA＝

4

5

第6頁共6頁

∵sinB＝

5

13

＜

1

2

＝sin30°，0＜B＜π

∴0°＜B＜30°或150°＜B＜180°

若B＞150°，則B＋A＞180°與題意不符.

∴0°＜B＜30°cosB＝

12

13

∴cos（A＋B）＝cosA·cosB－sinA·sinB＝

3

5

·

12

13

－

4

5

·

5

13

＝

16

65

又C＝180°－（A＋B）.

∴cosC＝cos［180°－（A＋B）］＝－cos（A＋B）＝－

16

65

.