三角和差公式

和差化積和積化和差公式

1、正弦、余弦的和差化積

2

sin

2

sin2coscos

????

??

?

?

?

???

【注意右式前的負號】

證明過程sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的證明過程

?sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，

sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ，

將以上兩式的左右兩邊分別相加，得

sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ，

設α+β=θ，α-β=φ

那么

2

??

?

?

?，

2

??

?

?

?

把α，β的值代入，即得

sinθ+sinφ=2sin

?

?

2

??

cos

2

???

2、正切和差化積

tanα±tanβ=

??

??

coscos

)sin(

?

?

cotα±cotβ=

??

??

sinsin

)sin(

?

?

tanα+cotβ=

??

??

sincos

)cos(

?

?

tanα-cotβ=

??

??

sincos

)cos(

?

?

?

證明：左邊=tanα±tanβ=

?

?

?

?

cos

sin

cos

sin

?

=

??

????

coscos

sincoscossin

?

???

=

??

??

coscos

)sin(

?

?

=右邊

在應用和差化積時，必須是一次同名三角函數方可實行。若是異名，必須用誘導公式化

為同名；若是高次函數，必須用降冪公式降為一次

3、積化和差公式

??????

2

coscos

sinsin

????

??

???

??（注意：此時差的余弦在和的余

弦前面）

或寫作：

??????

2

coscos

sinsin

????

??

???

???（注意：此時公式前有負號）

證明

積化和差恒等式可以通過展開角的和差恒等式的右手端來證明。

即只需要把等式右邊用兩角和差公式拆開就能證明：

其他的3個式子也是相同的證明方法。

結果除以2

這一點最簡單的記憶方法是通過三角函數的值域判斷。sin和cos的值域都是[-1,1]，

其和差的值域應該是[-2,2]，而積的值域確是[-1,1]，因此除以2是必須的。

也可以通過其證明來記憶，因為展開兩角和差公式后，未抵消的兩項相同而造成有系數

2，如：

cos(α-β)-cos(α+β)

=1/2[(cosα·cosβ+sinα·sinβ)-(cosα·cosβ-sinα·sinβ)]

=2sinα·sinβ

故最后需要除以2。