九年級下冊數學

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人教版九年級數學下冊知識點總結

第二十六章二次函數................................................1

26．1二次函數及其圖像.........................................1

26．2用函數觀點看一元二次方程.................................6

26．3實際問題與二次函數.......................................6

第二十七章相似....................................................6

27．1圖形的相似...............................................6

27．2相似三角形...............................................7

27．3位似.....................................................8

第二十八章銳角三角函數............................................8

28．1銳角三角函數.............................................9

28．2解直角三角形............................................10

第二十九章投影與視圖.............................................12

29．1投影....................................................12

29．2三視圖..................................................12

第二十六章二次函數

26．1二次函數及其圖像

二次函數（quadraticfunction）是指未知數的最高次數為二次的多項式函

數。二次函數可以表示為f(x)=ax^2+bx+c(a不為0)。其圖像是一條主軸平行于

y軸的拋物線。

一般的，自變量x和因變量y之間存在如下關系：

一般式

y=ax∧2;+bx+c(a≠0,a、b、c為常數)，頂點坐標為(-b/2a，-(4ac-b

2

∧2)/4a)；

頂點式

y=a(x+m)∧2+k(a≠0,a、m、k為常數)或y=a(x-h)∧２+k(a≠0,a、h、

k為常數)，頂點坐標為（-m，k）對稱軸為x=-m，頂點的位置特征和圖像

的開口方向與函數ｙ＝ax∧２的圖像相同，有時題目會指出讓你用配方法

把一般式化成頂點式；

交點式

y=a(x-x1)(x-x2)[僅限于與x軸有交點A（x1，0）和B（x2，0）的

拋物線]；

重要概念：a，b，c為常數，a≠0，且a決定函數的開口方向，a>0時，

開口方向向上，a<0時，開口方向向下。a的絕對值還可以決定開口大小,a

的絕對值越大開口就越小,a的絕對值越小開口就越大。

牛頓插值公式（已知三點求函數解析式）

y=(y3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2)+(y2(x-x1)(x-x3))/((x2-x1)(x2-

x3)+(y1(x-x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3)。由此可引導出交點式的系數

a=y1/(x1*x2)(y1為截距)

求根公式

二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。

求根公式

x是自變量，y是x的二次函數

x1,x2=[-b±(√(b^2-4ac))]/2a

3

(即一元二次方程求根公式）（如右圖）

求根的方法還有因式分解法和配方法

在平面直角坐標系中作出二次函數y=2x的平方的圖像，

可以看出，二次函數的圖像是一條永無止境的拋物線。

不同的二次函數圖像

如果所畫圖形準確無誤，那么二次函數將是由一般式平移得到的。

注意：草圖要有1本身圖像，旁邊注明函數。

2畫出對稱軸，并注明X=什么

3與X軸交點坐標，與Y軸交點坐標，頂點坐標。拋物線的性質

軸對稱

1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x=-b/2a。

對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。

特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0）

頂點

2.拋物線有一個頂點P，坐標為P(-b/2a，4ac-b^2;)/4a)

當-b/2a=0時，P在y軸上；當Δ=b^2;-4ac=0時，P在x軸上。

開口

3.二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小。

當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口。

|a|越大，則拋物線的開口越小。

決定對稱軸位置的因素

4.一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置。

當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；因為若對稱軸在左邊

4

則對稱軸小于0，也就是-b/2a<0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同號

當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右。因為對稱軸在右邊則

對稱軸要大于0，也就是-b/2a>0,所以b/2a要小于0，所以a、b要異號

可簡單記憶為左同右異，即當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y

軸左；當a與b異號時

（即ab＜0），對稱軸在y軸右。

事實上，b有其自身的幾何意義：拋物線與y軸的交點處的該拋物線切

線的函數解析式（一次函數）的

斜率k的值。可通過對二次函數求導得到。

決定拋物線與y軸交點的因素

5.常數項c決定拋物線與y軸交點。

拋物線與y軸交于（0，c）

拋物線與x軸交點個數

6.拋物線與x軸交點個數

Δ=b^2-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點。

Δ=b^2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。

_______

Δ=b^2-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數（x=

-b±√b^2－4ac的值的相反數，乘上

虛數i，整個式子除以2a）

當a>0時，函數在x=-b/2a處取得最小值f(-b/2a)=4ac-b²/4a；

在{x|x<-b/2a}上是減函數，在

{x|x>-b/2a}上是增函數；拋物線的開口向上；函數的值域是

{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不變

當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸，這時，函數是偶函數，解析式變

形為y=ax^2+c(a≠0)

特殊值的形式

7.特殊值的形式

5

①當x=１時y=a+b+c

②當x=-1時y=a-b+c

③當x=2時y=4a+2b+c

④當x=-2時y=4a-2b+c

二次函數的性質

8.定義域：R

值域：（對應解析式，且只討論a大于0的情況，a小于0的情況請讀

者自行推斷）①[(4ac-b^2)/4a，

正無窮）；②[t，正無窮）

奇偶性：當b=0時為偶函數，當b≠0時為非奇非偶函數。

周期性：無

解析式：

①y=ax^2+bx+c[一般式]

⑴a≠0

⑵a＞0，則拋物線開口朝上；a＜0，則拋物線開口朝下；

⑶極值點：（-b/2a，(4ac-b^2)/4a）；

⑷Δ=b^2-4ac,

Δ＞0，圖象與x軸交于兩點：

（[-b-√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）；

Δ＝0，圖象與x軸交于一點：

（-b/2a，0）；

Δ＜0，圖象與x軸無交點；

②y=a(x-h)^2+k[頂點式]

此時，對應極值點為（h，k），其中h=-b/2a，k=(4ac-b^2)/4a；

③y=a(x-x1)(x-x2)[交點式（雙根式）]（a≠0）

對稱軸X=(X1+X2)/2當a>0且X≧(X1+X2)/2時，Y隨X的增大而增大，

當a>0且X≦（X1+X2）/2時Y隨X

的增大而減小

此時，x1、x2即為函數與X軸的兩個交點，將X、Y代入即可求出解析

6

式（一般與一元二次方程連

用）。

交點式是Y=A(X-X1)(X-X2)知道兩個x軸交點和另一個點坐標設交

點式。兩交點X值就是相應X1X2值。

26．2用函數觀點看一元二次方程

1.如果拋物線yaxbxc???2與x軸有公共點，公共點的橫坐標是x

0

，那么當

xx?

0

時，函數的值是0，因此xx?

0

就是方程

axbxc20???的一個根。

2.二次函數的圖象與x軸的位置關系有三種：沒有公共點，有一個公共點，

有兩個公共點。這對應著一元二次方程根的三種情況：沒有實數根，有兩個相等

的實數根，有兩個不等的實數根。

26．3實際問題與二次函數

在日常生活、生產和科研中，求使材料最省、時間最少、效率最高等問題，有些

可歸結為求二次函數的最大值或最小值。

第二十七章相似

27．1圖形的相似

概述

如果兩個圖形形狀相同,但大小不一定相等,那么這兩個圖形相似。（相

似的符號：∽）

判定

如果兩個多邊形滿足對應角相等，對應邊的比相等，那么這兩個多邊

形相似。

相似比

7

相似多邊形的對應邊的比叫相似比。相似比為1時，相似的兩個圖形

全等。

性質

相似多邊形的對應角相等，對應邊的比相等。相似多邊形的周長比等

于相似比。

相似多邊形的面積比等于相似比的平方。

27．2相似三角形

判定

1.兩個三角形的兩個角對應相等

2.兩邊對應成比例,且夾角相等

3.三邊對應成比例

4.平行于三角形一邊的直線和其他兩邊或兩邊延長線相交，所構成的

三角形與原三角形相似。

例題

∵∠A=∠A';∠B=∠B'

∴△ABC∽△A'B'C'

性質

1.相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外

接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比。

2.相似三角形周長的比等于相似比。

3.相似三角形面積的比等于相似比的平方

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27．3位似

如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且每組對應點的連線交于一點，

對應邊互相平行，那么這兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心，

這時的相似比又稱為位似比。

性質

位似圖形的對應點和位似中心在同一直線上，它們到位似中心的距離

之比等于相似比。

位似多邊形的對應邊平行或共線。

位似可以將一個圖形放大或縮小。

位似圖形的中心可以在任意的一點，不過位似圖形也會隨著位似中心的位

變而位變。

根據一個位似中心可以作兩個關于已知圖形一定位似比的位似圖形,

這兩個圖形分布在位似中心的兩側,并且關于位似中心對稱。

注意

1、位似是一種具有位置關系的相似，所以兩個圖形是位似圖形，必定

是相似圖形，而相似圖形不一定是位似圖形；

2、兩個位似圖形的位似中心只有一個；

3、兩個位似圖形可能位于位似中心的兩側，也可能位于位似中心的一

側；

4、位似比就是相似比．利用位似圖形的定義可判斷兩個圖形是否位似；

5、平行于三角形一邊的直線和其它兩邊相交，所構成的三角形與原三

角形位似。

第二十八章銳角三角函數

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28．1銳角三角函數

銳角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,余切（cot）以及正

割（c），（余割csc）都叫做角A的銳角三角函數。

正弦（sin）等于對邊比斜邊，

余弦（cos）等于鄰邊比斜邊

正切（tan）等于對邊比鄰邊；

余切（cot）等于鄰邊比對邊

正割（c)等于斜邊比鄰邊

余割(csc)等于斜邊比對邊

正切與余切互為倒數

互余角的三角函數間的關系。

sin(90°-α)=cosα,cos(90°-α)=sinα,

tan(90°-α)=cotα,cot(90°-α)=tanα.

同角三角函數間的關系

平方關系：

sin^2(α)+cos^2(α)=1

tan^2(α)+1=c^2(α)

cot^2(α)+1=csc^2(α)

·積的關系：

sinα=tanα·cosα

cosα=cotα·sinα

tanα=sinα·cα

cotα=cosα·cscα

cα=tanα·cscα

cscα=cα·cotα

·倒數關系：

tanα·cotα=1

sinα·cscα=1

cosα·cα=1

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直角三角形ABC中,

角A的正弦值就等于角A的對邊比斜邊,

余弦等于角A的鄰邊比斜邊

正切等于對邊比鄰邊,

余切等于鄰邊比對邊

三角函數值

（1）特殊角三角函數值

（2）0°～90°的任意角的三角函數值，查三角函數表。

（3）銳角三角函數值的變化情況

（i）銳角三角函數值都是正值

（ii）當角度在0°～90°間變化時，

正弦值隨著角度的增大（或減小）而增大（或減小）

余弦值隨著角度的增大（或減小）而減小（或增大）

正切值隨著角度的增大（或減小）而增大（或減小）

余切值隨著角度的增大（或減小）而減小（或增大）

（iii）當角度在0°≤α≤90°間變化時，

0≤sinα≤1,1≥cosα≥0,

當角度在0°<α<90°間變化時，

tanα>0,cotα>0.

特殊的三角函數值

0°30°45°60°90°

01/2√2/2√3/21←sinα

1√3/2√2/21/20←cosα

0√3/31√3None←tanα

None√31√3/30←cotα

28．2解直角三角形

勾股定理，只適用于直角三角形（外國叫“畢達哥拉斯定理”）

a^2+b^2=c^2,其中a和b分別為直角三角形兩直角邊，c為斜邊。

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勾股弦數是指一組能使勾股定理關系成立的三個正整數。比如：3，4，

5。他們分別是3，4和5的倍數。

常見的勾股弦數有：3，4，5；6，8，10；等等.

直角三角形的特征

⑴直角三角形兩個銳角互余；

⑵直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；

⑶直角三角形中30°所對的直角邊等于斜邊的一半；

⑷勾股定理：直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，即：

在Rt△ABC中，若∠C＝90°，則a2+b2=c2；

⑸勾股定理的逆定理：如果三角形的一條邊的平方等于另外兩條邊的

平方和，則這個三角形是直角三角形，即：在△ABC中，若a2+b2=c2，

則∠C＝90°；

⑹射影定理：AC2=ADAB,BC2=BDAB,CD2=DADB．

銳角三角函數的定義：

如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，

∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a,b,c,

則sinA=

a

c

,cosA=

b

c

,tanA=

a

b

,cotA=

b

a

特殊角的三角函數值：（并會觀察其三角函數值隨

?

的變化情況）

1．

解直角三角形（Rt△ABC,∠C＝90°）

⑴三邊之間的關系：a2+b2=c2．

?

sin?cos?tan?cot?

30

°

1

2

3

2

3

3

3

45

°

2

2

2

2

11

60

°

3

2

1

2

3

3

3

A

B

C

D

A

B

Ca

c

b

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⑵兩銳角之間的關系：∠A＋∠B＝90°．．

⑶邊角之間的關系：sinA=

Aa

c

?的對邊

＝

斜邊

,cosA=

Ab

c

?的鄰邊

＝

斜邊

．

tanA=

Aa

Ab

?

?

的對邊

＝

的鄰邊

,cotA=

Ab

Aa

?

?

的鄰邊

＝

的對邊

．

⑷解直角三角形中常見類型：

①已知一邊一銳角．

②已知兩邊．

③解直角三角形的應用．

第二十九章投影與視圖

29．1投影

一般地，用光線照射物體，在某個平面（地面、墻壁等）上得到的影

子叫做物體的投影（projection），照射光線叫做投影線，投影所在的平面

叫做投影面。

有時光線是一組互相平行的射線，例如太陽光或探照燈光的一束光中

的光線。由平行光線形成的投影是平行投影（parallelprojection).

由同一點（點光源發(fā)出的光線）形成的投影叫做中心投影（center

projection)。投影線垂直于投影面產生的投影叫做正投影。

投影線平行于投影面產生的投影叫做平行投影。

物體正投影的形狀、大小與它相對于投影面的位置有關。

29．2三視圖

三視圖是觀測者從三個不同位置觀察同一個空間幾何體而畫出的圖形。

將人的視線規(guī)定為平行投影線，然后正對著物體看過去，將所見物體

的輪廓用正投影法繪制出來該圖形稱為視圖。一個物體有六個視圖：從物

體的前面向后面投射所得的視圖稱主視圖——能反映物體的前面形狀，從

物體的上面向下面投射所得的視圖稱俯視圖——能反映物體的上面形狀，

從物體的左面向右面投射所得的視圖稱左視圖——能反映物體的左面形

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狀，

還有其它三個視圖不是很常用。三視圖就是主視圖、俯視圖、左視圖的總

稱。

特點：一個視圖只能反映物體的一個方位的形狀，不能完整反映物體的結

構形狀。三視圖是從三個不同方向對同一個物體進行投射的結果，另外還

有如剖面圖、半剖面圖等做為輔助，基本能完整的表達物體的結構。

主視、俯視長對正

物體的投影

主視、左視高平齊

左視、俯視寬相等

在許多情況下，只用一個投影不加任何注解，是不能完整清晰地表達

和確定形體的形狀和結構的。如圖所示，三個形體在同一個方向的投影完

全相同，但三個形體的空間結構卻不相同。可見只用一個方向的投影來表

達形體形狀是不行的。一般必須將形體向幾個方向投影，才能完整清晰地

表達出形體的形狀和結構。

一個視圖只能反映物體的一個方位的形狀，不能完整反映物體的結構

形狀。三視圖是從三個不同方向對同一個物體進行投射的結果，另外還有

如剖面圖、半剖面圖等做為輔助，基本能完整的表達物體的結構。

畫法：根據各形體的投影規(guī)律，逐個畫出形體的三視圖。畫形體的順序：

一般先實（實形體）后空（挖去的形體）；先大（大形體）后小（小形體）；

先畫輪廓，后畫細節(jié)。畫每個

形體時，要三個視圖聯系起來畫，并從反映形體特征的視圖畫起，再按投

影規(guī)律畫出其他兩個視圖。對稱圖形、半圓和大于半圓的圓弧要畫出對稱

中心線，回轉體一定要畫出軸線。對稱中心線和軸線用細點劃線畫出。