湘教版數學

學習必備精品知識點

初中數學知識點總結

一、基本知識

㈠、數與代數

A、數與式：

1、有理數

有理數：①整數→正整數/0/負整數

②分數→正分數/負分數

數軸：①畫一條水平直線，在直線上取一點表

示0（原點），選取某一長度作為單位長度，規定直線上

向右的方向為正方向，就得到數軸。②任何一個有理數

都可以用數軸上的一個點來表示。③如果兩個數只有符

號不同，那么我們稱其中一個數為另外一個數的相反數，

也稱這兩個數互為相反數。在數軸上，表示互為相反數

的兩個點，位于原點的兩側，并且與原點距離相等。④

數軸上兩個點表示的數，右邊的總比左邊的大。正數大

于0，負數小于0，正數大于負數。

絕對值：①在數軸上，一個數所對應的點與原

點的距離叫做該數的絕對值。②正數的絕對值是他的本

身、負數的絕對值是他的相反數、0的絕對值是0。兩個

負數比較大小，絕對值大的反而小。

有理數的運算：

加法：①同號相加，取相同的符號，把絕對值

相加。②異號相加，絕對值相等時和為0；絕對值不等

時，取絕對值較大的數的符號，并用較大的絕對值減去

較小的絕對值。③一個數與0相加不變。

減法：減去一個數，等于加上這個數的相反數。

乘法：①兩數相乘，同號得正，異號得負，絕

對值相乘。②任何數與0相乘得0。③乘積為1的兩個

有理數互為倒數。

除法：①除以一個數等于乘以一個數的倒數。

②0不能作除數。

乘方：求N個相同因數A的積的運算叫做乘方，

乘方的結果叫冪，A叫底數，N叫次數。

混合順序：先算乘法，再算乘除，最后算加減，

有括號要先算括號里的。

2、實數

無理數：無限不循環小數叫無理數

平方根：①如果一個正數X的平方等于A，那

么這個正數X就叫做A的算術平方根。②如果一個數X

學習必備精品知識點

的平方等于A，那么這個數X就叫做A的平方根。③一

個正數有2個平方根/0的平方根為0/負數沒有平方根。

④求一個數A的平方根運算，叫做開平方，其中A叫做

被開方數。

立方根：①如果一個數X的立方等于A，那么

這個數X就叫做A的立方根。②正數的立方根是正數、

0的立方根是0、負數的立方根是負數。③求一個數A

的立方根的運算叫開立方，其中A叫做被開方數。

實數：①實數分有理數和無理數。②在實數范

圍內，相反數，倒數，絕對值的意義和有理數范圍內的

相反數，倒數，絕對值的意義完全一樣。③每一個實數

都可以在數軸上的一個點來表示。

3、代數式

代數式：單獨一個數或者一個字母也是代數式。

合并同類項：①所含字母相同，并且相同字母

的指數也相同的項，叫做同類項。②把同類項合并成一

項就叫做合并同類項。③在合并同類項時，我們把同類

項的系數相加，字母和字母的指數不變。

4、整式與分式

整式：①數與字母的乘積的代數式叫單項式，

幾個單項式的和叫多項式，單項式和多項式統稱整式。

②一個單項式中，所有字母的指數和叫做這個單項式的

次數。③一個多項式中，次數最高的項的次數叫做這個

多項式的次數。

整式運算：加減運算時，如果遇到括號先去括

號，再合并同類項。

冪的運算：AM+AN=A（M+N）

（AM）N=AMN

（A/B）N=AN/BN除法一樣。

整式的乘法：①單項式與單項式相乘，把他們

的系數，相同字母的冪分別相乘，其余字母連同他的指

數不變，作為積的因式。②單項式與多項式相乘，就是

根據分配律用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的

積相加。③多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每

一項乘另外一個多項式的每一項，再把所得的積相加。

公式兩條：平方差公式/完全平方公式

整式的除法：①單項式相除，把系數，同底數

冪分別相除后，作為商的因式；對于只在被除式里含有

的字母，則連同他的指數一起作為商的一個因式。②多

項式除以單項式，先把這個多項式的每一項分別除以單

學習必備精品知識點

項式，再把所得的商相加。

分解因式：把一個多項式化成幾個整式的積的

形式，這種變化叫做把這個多項式分解因式。

方法：提公因式法、運用公式法、分組分解法、

十字相乘法。

分式：①整式A除以整式B，如果除式B中含

有分母，那么這個就是分式，對于任何一個分式，分母

不為0。②分式的分子與分母同乘以或除以同一個不等

于0的整式，分式的值不變。

分式的運算：

乘法：把分子相乘的積作為積的分子，把分母

相乘的積作為積的分母。

除法：除以一個分式等于乘以這個分式的倒數。

加減法：①同分母的分式相加減，分母不變，

把分子相加減。②異分母的分式先通分，化為同分母的

分式，再加減。

分式方程：①分母中含有未知數的方程叫分式

方程。②使方程的分母為0的解稱為原方程的增根。

B、方程與不等式

1、方程與方程組

一元一次方程：①在一個方程中，只含有一個

未知數，并且未知數的指數是1，這樣的方程叫一元一

次方程。②等式兩邊同時加上或減去或乘以或除以（不

為0）一個代數式，所得結果仍是等式。

解一元一次方程的步驟：去分母，移項，合并

同類項，未知數系數化為1。

二元一次方程：含有兩個未知數，并且所含未

知數的項的次數都是1的方程叫做二元一次方程。

二元一次方程組：兩個二元一次方程組成的方

程組叫做二元一次方程組。

適合一個二元一次方程的一組未知數的值，叫

做這個二元一次方程的一個解。

二元一次方程組中各個方程的公共解，叫做這

個二元一次方程的解。

解二元一次方程組的方法：代入消元法/加減消

元法。

一元二次方程：只有一個未知數，并且未知數

的項的最高系數為2的方程

1）一元二次方程的二次函數的關系

大家已經學過二次函數（即拋物線）了，對他

學習必備精品知識點

也有很深的了解，好像解法，在圖象中表示等等，其實

一元二次方程也可以用二次函數來表示，其實一元二次

方程也是二次函數的一個特殊情況，就是當Y的0的時

候就構成了一元二次方程了。那如果在平面直角坐標系

中表示出來，一元二次方程就是二次函數中，圖象與X

軸的交點。也就是該方程的解了

2）一元二次方程的解法

大家知道，二次函數有頂點式（-b/2a,4ac-b2/4a），

這大家要記住，很重要，因為在上面已經說過了，一元

二次方程也是二次函數的一部分，所以他也有自己的一

個解法，利用他可以求出所有的一元一次方程的解

(1）配方法

利用配方，使方程變為完全平方公式，在用直

接開平方法去求出解

(2)分解因式法

提取公因式，套用公式法，和十字相乘法。在

解一元二次方程的時候也一樣，利用這點，把方程化為

幾個乘積的形式去解

(3)公式法

這方法也可以是在解一元二次方程的萬能方法

了，方程的根X

1

={-b+√[b2-4ac)]}/2a，

X

2

={-b-√[b2-4ac)]}/2a

3）解一元二次方程的步驟：

（1）配方法的步驟：

先把常數項移到方程的右邊，再把二次項的系

數化為1，再同時加上1次項的系數的一半的平方，最

后配成完全平方公式

(2)分解因式法的步驟：

把方程右邊化為0，然后看看是否能用提取公

因式，公式法（這里指的是分解因式中的公式法）或十

字相乘，如果可以，就可以化為乘積的形式

(3)公式法

就把一元二次方程的各系數分別代入，這里二

次項的系數為a，一次項的系數為b，常數項的系數為c

4）韋達定理

利用韋達定理去了解，韋達定理就是在一元二

次方程中，二根之和=-b/a，二根之積=c/a

也可以表示為x

1

+x

2

=-b/a,x

1

x

2

=c/a。利用韋達定

理，可以求出一元二次方程中的各系數，在題目中很常

用

學習必備精品知識點

5）一元一次方程根的情況

利用根的判別式去了解，根的判別式可在書面

上可以寫為“△”，讀作“diaota”，而△=b2-4ac，這里可以

分為3種情況：

I當△>0時，一元二次方程有2個不相等的實

數根；

II當△=0時，一元二次方程有2個相同的實數

根；

III當△<0時，一元二次方程沒有實數根（在這

里，學到高中就會知道，這里有2個虛數根）

2、不等式與不等式組

不等式：①用符號〉，=，〈號連接的式子叫不等

式。②不等式的兩邊都加上或減去同一個整式，不等號

的方向不變。③不等式的兩邊都乘以或者除以一個正數，

不等號方向不變。④不等式的兩邊都乘以或除以同一個

負數，不等號方向相反。

不等式的解集：①能使不等式成立的未知數的

值，叫做不等式的解。②一個含有未知數的不等式的所

有解，組成這個不等式的解集。③求不等式解集的過程

叫做解不等式。

一元一次不等式：左右兩邊都是整式，只含有

一個未知數，且未知數的最高次數是1的不等式叫一元

一次不等式。

一元一次不等式組：①關于同一個未知數的幾

個一元一次不等式合在一起，就組成了一元一次不等式

組。②一元一次不等式組中各個不等式的解集的公共部

分，叫做這個一元一次不等式組的解集。③求不等式組

解集的過程，叫做解不等式組。

一元一次不等式的符號方向：

在一元一次不等式中，不像等式那樣，等號是

不變的，他是隨著你加或乘的運算改變。

在不等式中，如果加上同一個數（或加上一個

正數），不等式符號不改向；例如：A>B,A+C>B+C

在不等式中，如果減去同一個數（或加上一個

負數），不等式符號不改向；例如：A>B，A-C>B-C

在不等式中，如果乘以同一個正數，不等號不

改向；例如：A>B，A*C>B*C（C>0）

在不等式中，如果乘以同一個負數，不等號改

向；例如：A>B，A*C

如果不等式乘以0，那么不等號改為等號

學習必備精品知識點

所以在題目中，要求出乘以的數，那么就要看

看題中是否出現一元一次不等式，如果出現了，那么不

等式乘以的數就不等為0，否則不等式不成立；

3、函數

變量：因變量，自變量。

在用圖象表示變量之間的關系時，通常用水平

方向的數軸上的點自變量，用豎直方向的數軸上的點表

示因變量。

一次函數：①若兩個變量X，Y間的關系式可

以表示成Y=KX+B（B為常數，K不等于0）的形式，

則稱Y是X的一次函數。②當B=0時，稱Y是X的正

比例函數。

一次函數的圖象：①把一個函數的自變量X與

對應的因變量Y的值分別作為點的橫坐標與縱坐標，在

直角坐標系內描出它的對應點，所有這些點組成的圖形

叫做該函數的圖象。②正比例函數Y=KX的圖象是經過

原點的一條直線。③在一次函數中，當K〈0，B〈O，

則經234象限；當K〈0，B〉0時，則經124象限；當

K〉0，B〈0時，則經134象限；當K〉0，B〉0時，則

經123象限。④當K〉0時，Y的值隨X值的增大而增

大，當X〈0時，Y的值隨X值的增大而減少。

㈡空間與圖形

A、圖形的認識

1、點，線，面

點，線，面：①圖形是由點，線，面構成的。

②面與面相交得線，線與線相交得點。③點動成線，線

動成面，面動成體。

展開與折疊：①在棱柱中，任何相鄰的兩個面

的交線叫做棱，側棱是相鄰兩個側面的交線，棱柱的所

有側棱長相等，棱柱的上下底面的形狀相同，側面的形

狀都是長方體。②N棱柱就是底面圖形有N條邊的棱柱。

截一個幾何體：用一個平面去截一個圖形，截

出的面叫做截面。

視圖：主視圖，左視圖，俯視圖。

多邊形：他們是由一些不在同一條直線上的線

段依次首尾相連組成的封閉圖形。

弧、扇形：①由一條弧和經過這條弧的端點的

兩條半徑所組成的圖形叫扇形。②圓可以分割成若干個

扇形。

2、角

學習必備精品知識點

線：①線段有兩個端點。②將線段向一個方向

無限延長就形成了射線。射線只有一個端點。③將線段

的兩端無限延長就形成了直線。直線沒有端點。④經過

兩點有且只有一條直線。

比較長短：①兩點之間的所有連線中，線段最

短。②兩點之間線段的長度，叫做這兩點之間的距離。

角的度量與表示：①角由兩條具有公共端點的

射線組成，兩條射線的公共端點是這個角的頂點。②一

度的1/60是一分，一分的1/60是一秒。

角的比較：①角也可以看成是由一條射線繞著

他的端點旋轉而成的。②一條射線繞著他的端點旋轉，

當終邊和始邊成一條直線時，所成的角叫做平角。始邊

繼續旋轉，當他又和始邊重合時，所成的角叫做周角。

③從一個角的頂點引出的一條射線，把這個角分成兩個

相等的角，這條射線叫做這個角的平分線。

平行：①同一平面內，不相交的兩條直線叫做

平行線。②經過直線外一點，有且只有一條直線與這條

直線平行。③如果兩條直線都與第3條直線平行，那么

這兩條直線互相平行。

垂直：①如果兩條直線相交成直角，那么這兩

條直線互相垂直。②互相垂直的兩條直線的交點叫做垂

足。③平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂

直。

垂直平分線：垂直和平分一條線段的直線叫垂

直平分線。

垂直平分線垂直平分的一定是線段，不能是射

線或直線，這根據射線和直線可以無限延長有關，再看

后面的，垂直平分線是一條直線，所以在畫垂直平分線

的時候，確定了2點后（關于畫法，后面會講）一定要

把線段穿出2點。

垂直平分線定理：

性質定理：在垂直平分線上的點到該線段兩端

點的距離相等；

判定定理：到線段2端點距離相等的點在這線

段的垂直平分線上

角平分線：把一個角平分的射線叫該角的角平

分線。

定義中有幾個要點要注意一下的，就是角的角

平分線是一條射線，不是線段也不是直線，很多時，在

題目中會出現直線，這是角平分線的對稱軸才會用直線

學習必備精品知識點

的，這也涉及到軌跡的問題，一個角個角平分線就是到

角兩邊距離相等的點

性質定理：角平分線上的點到該角兩邊的距離

相等

判定定理：到角的兩邊距離相等的點在該角的

角平分線上

正方形：一組鄰邊相等的矩形是正方形

性質：正方形具有平行四邊形、菱形、矩形的一切性質

判定：1、對角線相等的菱形2、鄰邊相等的矩

形

3、相交線與平行線

角：①如果兩個角的和是直角,那么稱和兩個角

互為余角；如果兩個角的和是平角，那么稱這兩個角互

為補角。②同角或等角的余角/補角相等。③對頂角相等。

④同位角相等/內錯角相等/同旁內角互補，兩直線平行，

反之亦然。

4、三角形

三角形：①由不在同一直線上的三條線段首尾

順次相接所組成的圖形叫做三角形。②三角形任意兩邊

之和大于第三邊。三角形任意兩邊之差小于第三邊。③

三角形三個內角的和等于180度。④三角形分銳角三角

形/直角三角形/鈍角三角形。⑤直角三角形的兩個銳角互

余。⑥三角形中一個內角的角平分線與他的對邊相交，

這個角的頂點與交點之間的線段叫做三角形的角平分

線。⑦三角形中，連接一個頂點與他對邊中點的線段叫

做這個三角形的中線。⑧三角形的三條角平分線交于一

點，三條中線交于一點。⑨從三角形的一個頂點向他的

對邊所在的直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三

角形的高。⑩三角形的三條高所在的直線交于一點。

圖形的全等：全等圖形的形狀和大小都相同。

兩個能夠重合的圖形叫全等圖形。

全等三角形：①全等三角形的對應邊/角相等。

②條件：SSS、AAS、ASA、SAS、HL。

勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于

斜邊的平方，反之亦然。

5、四邊形

平行四邊形的性質：①兩組對邊分別平行的四

邊形叫做平行四邊形。②平行四邊形不相鄰的兩個頂點

連成的線段叫他的對角線。③平行四邊形的對邊/對角相

等。④平行四邊形的對角線互相平分。

學習必備精品知識點

平行四邊形的判定條件：兩條對角線互相平分

的四邊形、一組對邊平行且相等的四邊形、兩組對邊分

別相等的四邊形/定義。

菱形：①一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。

②領心的四條邊相等，兩條對角線互相垂直平分，每一

組對角線平分一組對角。③判定條件：定義/對角線互相

垂直的平行四邊形/四條邊都相等的四邊形。

矩形與正方形：①有一個內角是直角的平行四

邊形叫做矩形。②矩形的對角線相等，四個角都是直角。

③對角線相等的平行四邊形是矩形。④正方形具有平行

四邊形，矩形，菱形的一切性質。⑤一組鄰邊相等的矩

形是正方形。

梯形：①一組對邊平行而另一組對邊不平行的

四邊形叫梯形。②兩條腰相等的梯形叫等腰梯形。③一

條腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。④等腰梯形同一底

上的兩個內角相等，對角線星等，反之亦然。

多邊形：①N邊形的內角和等于（N-2）180度。

②多邊心內角的一邊與另一邊的反向延長線所組成的角

叫做這個多邊形的外角，在每個頂點處取這個多邊形的

一個外角，他們的和叫做這個多邊形的內角和（都等于

360度）

平面圖形的密鋪：三角形，四邊形和正六邊形

可以密鋪。

中心對稱圖形：①在平面內，一個圖形繞某個

點旋轉180度，如果旋轉前后的圖形互相重合，那么這

個圖形叫做中心對稱圖形，這個點叫做他的對稱中心。

②中心對稱圖形上的每一對對應點所連成的線段都被對

稱中心平分。

B、圖形與變換：

1、圖形的軸對稱

軸對稱：如果一個圖形沿一條直線折疊后，直

線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱

圖形，這條直線叫做對稱軸。

軸對稱圖形：①角的平分線上的點到這個角的

兩邊的距離相等。②線段垂直平分線上的點到這條線段

兩個端點的距離相等。③等腰三角形的“三線合一”。

軸對稱的性質：對應點所連的線段被對稱軸垂

直平分，對應線段/對應角相等。

2、圖形的平移和旋轉

平移：①在平面內，將一個圖形沿著某個方向

學習必備精品知識點

移動一定的距離，這樣的圖形運動叫做平移。②經過平

移，對應點所連的線段平行且相等，對應線段平行且相

等，對應角相等。

旋轉：①在平面內，將一個圖形繞一個定點沿

某個方向轉動一個角度，這樣的圖形運動叫做旋轉。②

經過旋轉，圖形商店每一個點都繞旋轉中心沿相同方向

轉動了相同的角度，任意一對對應點與旋轉中心的連線

所成的角都是旋轉角，對應點到旋轉中心的距離相等。

3、圖形的相似

比：①A/B=C/D，那么AD=BC，反之亦然。②

A/B=C/D，那么A土B/B=C土D/D。③A/B=C/D=。。。

=M/N，那么A+C+…+M/B+D+…N=A/B。

黃金分割：點C把線段AB分成兩條線段AC

與BC，如果AC/AB=BC/AC，那么稱線段AB被點C黃

金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，AC與AB的

比叫做黃金比（根號5-1/2）。

相似：①各角對應相等，各邊對應成比例的兩

個多邊形叫做相似多邊形。②相似多邊形對應邊的比叫

做相似比。

相似三角形：①三角對應相等，三邊對應成比

例的兩個三角形叫做相似三角形。②條件：AAA、SSS、

SAS。

相似多邊形的性質：①相似三角形對應高，對

應角平分線，對應中線的比都等于相似比。②相似多邊

形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方。

圖形的放大與縮小：①如果兩個圖形不僅是相

似圖形，而且每組對應點所在的直線都經過同一個點，

那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中

心，這時的相似比又稱為位似比。②位似圖形上任意一

對對應點到位似中心的距離之比等于位似比。

C、圖形的坐標

平面直角坐標系：在平面內，兩條互相垂直且

有公共原點的數軸組成平面直角坐標系。水平的數軸叫

做X軸或橫軸，鉛直的數軸叫做Y軸或縱軸，X軸與Y

軸統稱坐標軸，他們的公共原點O稱為直角坐標系的原

點。他們分4個象限。XA，YB記作（A，B）。

D、證明

定義與命題：①對名稱與術語的含義加以描述，

作出明確的規定，也就是給出他們的定義。②對事情進

行判斷的句子叫做命題（分真命題與假命題）。③每個命

學習必備精品知識點

題是由條件和結論兩部分組成。④要說明一個命題是假

命題，通常舉出一個離子，使之具備命題的條件，而不

具有命題的結論，這種例子叫做反例。

公理：①公認的真命題叫做公理。②其他真命

題的正確性都通過推理的方法證實，經過證明的真命題

稱為定理。③同位角相等，兩直線平行，反之亦然；SAS、

ASA、SSS，反之亦然；同旁內角互補，兩直線平行，反

之亦然；內錯角相等，兩直線平行，反之亦然；三角形

三個內角的和等于180度；三角形的一個外交等于和他

不相鄰的兩個內角的和；三角心的一個外角大于任何一

個和他不相鄰的內角。④由一個公理或定理直接推出的

定理，叫做這個公理或定理的推論。

㈢統計與概率

1、統計

科學記數法：一個大于10的數可以表示成

A*10N的形式，其中1小于等于A小于10，N是正整數。

扇形統計圖：①用圓表示總體，圓中的各個扇

形分別代表總體中的不同部分，扇形的大小反映部分占

總體的百分比的大小，這樣的統計圖叫做扇形統計圖。

②扇形統計圖中，每部分占總體的百分比等于該部分所

對應的扇形圓心角的度數與360度的比。

各類統計圖的優劣：條形統計圖：能清楚表示

出每個項目的具體數目；折線統計圖：能清楚反映事物

的變化情況；扇形統計圖：能清楚地表示出各部分在總

體中所占的百分比。

近似數字和有效數字：①測量的結果都是近似

的。②利用四舍五入法取一個數的近似數時，四舍五入

到哪一位，就說這個近似數精確到哪一位。③對于一個

近似數，從左邊第一個不是0的數字起，到精確到的數

位止，所有的數字都叫做這個數的有效數字。

平均數：對于N個數X

1

，X

2

…X

N

，我們把

（X

1

+X

2

+…+X

N

）/N叫做這個N個數的算術平均數，記

為X（上邊一橫）。

加權平均數：一組數據里各個數據的重要程度

未必相同，因而，在計算這組數據的平均數時往往給每

個數據加一個權，這就是加權平均數。

中位數與眾數：①N個數據按大小順序排列，

處于最中間位置的一個數據（或最中間兩個數據的平均

數）叫做這組數據的中位數。②一組數據中出現次數最

大的那個數據叫做這個組數據的眾數。③優劣：平均數：

學習必備精品知識點

所有數據參加運算，能充分利用數據所提供的信息，因

此在現實生活中常用，但容易受極端值影響；中位數：

計算簡單，受極端值影響少，但不能充分利用所有數據

的信息；眾數：各個數據如果重復次數大致相等時，眾

數往往沒有特別的意義。

調查：①為了一定的目的而對考察對象進行的

全面調查，稱為普查，其中所要考察對象的全體稱為總

體，而組成總體的每一個考察對象稱為個體。②從總體

中抽取部分個體進行調查，這種調查稱為抽樣調查，其

中從總體中抽取的一部分個體叫做總體的一個樣本。③

抽樣調查只考察總體中的一小部分個體，因此他的優點

是調查范圍小，節省時間，人力，物力和財力，但其調

查結果往往不如普查得到的結果準確。為了獲得較為準

確的調查結果，抽樣時要主要樣本的代表性和廣泛性。

頻數與頻率：①每個對象出現的次數為頻數，

而每個對象出現的次數與總次數的比值為頻率。②當收

集的數據連續取值時，我們通常先將數據適當分組，然

后再繪制頻數分布直方圖。

2、概率

可能性：①有些事情我們能確定他一定會發生，

這些事情稱為必然事件；有些事情我們能肯定他一定不

會發生，這些事情稱為不可能事件；必然事件和不可能

事件都是確定的。②有很多事情我們無法肯定他會不會

發生，這些事情稱為不確定事件。③一般來說，不確定

事件發生的可能性是有大小的。

概率：①人們通常用1（或100%）來表示必然

事件發生的可能性，用0來表示不可能事件發生的可能

性。②游戲對雙方公平是指雙方獲勝的可能性相同。③

必然事件發生的概率為1，記作P（必然事件）=1；不可

能事件發生的概率為0，記作P（不可能事件）=0；如果

A為不確定事件，那么0〈P（A）〈1。

二、基本定理

1、過兩點有且只有一條直線

2、兩點之間線段最短

3、同角或等角的補角相等

4、同角或等角的余角相等

5、過一點有且只有一條直線和已知直線垂直

6、直線外一點與直線上各點連接的所有線段

中，垂線段最短

學習必備精品知識點

7、平行公理經過直線外一點，有且只有一條

直線與這條直線平行

8、如果兩條直線都和第三條直線平行，這兩條

直線也互相平行

9、同位角相等，兩直線平行

10、內錯角相等，兩直線平行

11、同旁內角互補，兩直線平行

12、兩直線平行，同位角相等

13、兩直線平行，內錯角相等

14、兩直線平行，同旁內角互補

15、定理三角形兩邊的和大于第三邊

16、推論三角形兩邊的差小于第三邊

17、三角形內角和定理三角形三個內角的和等

于180°

18、推論1直角三角形的兩個銳角互余

19、推論2三角形的一個外角等于和它不相鄰

的兩個內角的和

20、推論3三角形的一個外角大于任何一個和

它不相鄰的內角

21、全等三角形的對應邊、對應角相等

22、邊角邊公理(SAS)有兩邊和它們的夾角對

應相等的兩個三角形全等

23、角邊角公理(ASA)有兩角和它們的夾邊對

應相等的兩個三角形全等

24、推論(AAS)有兩角和其中一角的對邊對應

相等的兩個三角形全等

25、邊邊邊公理(SSS)有三邊對應相等的兩個

三角形全等

26、斜邊、直角邊公理(HL)有斜邊和一條直角

邊對應相等的兩個直角三角形全等

27、定理1在角的平分線上的點到這個角的兩

邊的距離相等

28、定理2到一個角的兩邊的距離相同的點，

在這個角的平分線上

29、角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有

點的集合

30、等腰三角形的性質定理等腰三角形的兩個

底角相等(即等邊對等角）

31、推論1等腰三角形頂角的平分線平分底邊

并且垂直于底邊

學習必備精品知識點

32、等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線

和底邊上的高互相重合

33、推論3等邊三角形的各角都相等，并且每

一個角都等于60°

34、等腰三角形的判定定理如果一個三角形有

兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（等角對等

邊）

35、推論1三個角都相等的三角形是等邊三角

形

36、推論2有一個角等于60°的等腰三角形是

等邊三角形

37、在直角三角形中，如果一個銳角等于30°

那么它所對的直角邊等于斜邊的一半

38、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一

半

39、定理線段垂直平分線上的點和這條線段兩

個端點的距離相等

40、逆定理和一條線段兩個端點距離相等的

點，在這條線段的垂直平分線上

41、線段的垂直平分線可看作和線段兩端點距

離相等的所有點的集合

42、定理1關于某條直線對稱的兩個圖形是全

等形

43、定理2如果兩個圖形關于某直線對稱，那

么對稱軸是對應點連線的垂直平分線

44、定理3兩個圖形關于某直線對稱，如果它

們的對應線段或延長線相交，那么交點在對稱軸上

45、逆定理如果兩個圖形的對應點連線被同一

條直線垂直平分，那么這兩個圖形關于這條直線對稱

46、勾股定理直角三角形兩直角邊a、b的平

方和、等于斜邊c的平方，即a2+b2=c2

47、勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長a、

b、c有關系a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形

48、定理四邊形的內角和等于360°

49、四邊形的外角和等于360°

50、多邊形內角和定理n邊形的內角的和等于

（n-2）×180°

51、推論任意多邊的外角和等于360°

52、平行四邊形性質定理1平行四邊形的對角

相等

學習必備精品知識點

53、平行四邊形性質定理2平行四邊形的對邊

相等

54、推論夾在兩條平行線間的平行線段相等

55、平行四邊形性質定理3平行四邊形的對角

線互相平分

56、平行四邊形判定定理1兩組對角分別相等

的四邊形是平行四邊形

57、平行四邊形判定定理2兩組對邊分別相等

的四邊形是平行四邊形

58、平行四邊形判定定理3對角線互相平分的

四邊形是平行四邊形

59、平行四邊形判定定理4一組對邊平行相等

的四邊形是平行四邊形

60、矩形性質定理1矩形的四個角都是直角

61、矩形性質定理2矩形的對角線相等

62、矩形判定定理1有三個角是直角的四邊形

是矩形

63、矩形判定定理2對角線相等的平行四邊形

是矩形

64、菱形性質定理1菱形的四條邊都相等

65、菱形性質定理2菱形的對角線互相垂直，

并且每一條對角線平分一組對角

66、菱形面積=對角線乘積的一半，即S=（a×b）

÷2

67、菱形判定定理1四邊都相等的四邊形是菱

形

68、菱形判定定理2對角線互相垂直的平行四

邊形是菱形

69、正方形性質定理1正方形的四個角都是直

角，四條邊都相等

70、正方形性質定理2正方形的兩條對角線相

等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角

71、定理1關于中心對稱的兩個圖形是全等的

72、定理2關于中心對稱的兩個圖形，對稱點

連線都經過對稱中心，并且被對稱中心平分

73、逆定理如果兩個圖形的對應點連線都經過

某一點，并且被這一點平分，那么這兩個圖形關于這一

點對稱

74、等腰梯形性質定理等腰梯形在同一底上的

兩個角相等

學習必備精品知識點

75、等腰梯形的兩條對角線相等

76、等腰梯形判定定理在同一底上的兩個角相

等的梯形是等腰梯形

77、對角線相等的梯形是等腰梯形

78、平行線等分線段定理如果一組平行線在一

條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線

段也相等

79、推論1經過梯形一腰的中點與底平行的直

線，必平分另一腰

80、推論2經過三角形一邊的中點與另一邊

平行的直線，必平分第三邊

81、三角形中位線定理三角形的中位線平行

于第三邊，并且等于它的一半

82、梯形中位線定理梯形的中位線平行于兩

底，并且等于兩底和的一半L=（a+b）÷2S=L×h

83、(1)比例的基本性質：

如果a:b=c:d,那么ad=bc

如果ad=bc,那么a:b=c:d

84、(2)合比性質：

如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d

85、(3)等比性質：

如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),

那么(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b

86、平行線分線段成比例定理三條平行線截兩

條直線，所得的對應線段成比例

87、推論平行于三角形一邊的直線截其他兩

邊（或兩邊的延長線），所得的對應線段成比例

88、定理如果一條直線截三角形的兩邊（或

兩邊的延長線）所得的對應線段成比例，那么這條直線

平行于三角形的第三邊

89、平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊相

交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對應

成比例

90、定理平行于三角形一邊的直線和其他兩

邊（或兩邊的延長線）相交，所構成的三角形與原三角

形相似

91、相似三角形判定定理1兩角對應相等，

兩三角形相似（ASA）

92、直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角

三角形和原三角形相似

學習必備精品知識點

93、判定定理2兩邊對應成比例且夾角相等，

兩三角形相似（SAS）

94、判定定理3三邊對應成比例，兩三角形

相似（SSS）

95、定理如果一個直角三角形的斜邊和一條

直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成

比例，那么這兩個直角三角形相似

96、性質定理1相似三角形對應高的比，對

應中線的比與對應角平分線的比都等于相似比

97、性質定理2相似三角形周長的比等于相似

比

98、性質定理3相似三角形面積的比等于相似

比的平方

99、任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值，

任意銳角的余弦值等于它的余角的正弦值

100、任意銳角的正切值等于它的余角的余切

值，任意銳角的余切值等于它的余角的正切值

101、圓是定點的距離等于定長的點的集合

102、圓的內部可以看作是圓心的距離小于半徑

的點的集合

103、圓的外部可以看作是圓心的距離大于半徑

的點的集合

104、同圓或等圓的半徑相等

105、到定點的距離等于定長的點的軌跡，是以

定點為圓心，定長為半徑的圓

106、和已知線段兩個端點的距離相等的點的軌

跡，是著條線段的垂直平分線

107、到已知角的兩邊距離相等的點的軌跡，是

這個角的平分線

108、到兩條平行線距離相等的點的軌跡，是和

這兩條平行線平行且距離相等的一條直線

109、定理不在同一直線上的三點確定一個圓。

110、垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦并

且平分弦所對的兩條弧

111、推論1

①平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且

平分弦所對的兩條弧

②弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對

的兩條弧

③平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，

學習必備精品知識點

并且平分弦所對的另一條弧

112、推論2圓的兩條平行弦所夾的弧相等

113、圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形

114、定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所

對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等

115、推論在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、

兩條弧、兩條弦或兩弦的弦心距中有一組量相等那么它

們所對應的其余各組量都相等

116、定理一條弧所對的圓周角等于它所對的

圓心角的一半

117、推論1同弧或等弧所對的圓周角相等；

同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等

118、推論2半圓（或直徑）所對的圓周角是

直角；90°的圓周角所對的弦是直徑

119、推論3如果三角形一邊上的中線等于這

邊的一半，那么這個三角形是直角三角形

120、定理圓的內接四邊形的對角互補，并且

任何一個外角都等于它的內對角

121、①直線L和⊙O相交d﹤r

②直線L和⊙O相切d=r

③直線L和⊙O相離d﹥r

122、切線的判定定理經過半徑的外端并且垂

直于這條半徑的直線是圓的切線

123、切線的性質定理圓的切線垂直于經過切

點的半徑

124、推論1經過圓心且垂直于切線的直線必

經過切點

125、推論2經過切點且垂直于切線的直線必

經過圓心

126、切線長定理從圓外一點引圓的兩條切線，

它們的切線長相等圓心和這一點的連線平分兩條切線的

夾角

127、圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等

128、弦切角定理弦切角等于它所夾的弧對的

圓周角

129、推論如果兩個弦切角所夾的弧相等，那

么這兩個弦切角也相等

130、相交弦定理圓內的兩條相交弦，被交點

分成的兩條線段長的積相等

131、推論如果弦與直徑垂直相交，那么弦的

學習必備精品知識點

一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項

132、切割線定理從圓外一點引圓的切線和割

線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例

中項

133、推論從圓外一點引圓的兩條割線，這一

點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等

134、如果兩個圓相切，那么切點一定在連心線

上

135、①兩圓外離d﹥R+r

②兩圓外切d=R+r

③兩圓相交R-r﹤d﹤R+r(R﹥r)

④兩圓內切d=R-r(R﹥r)

⑤兩圓內含d﹤R-r(R﹥r)

136、定理相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的

公共弦

137、定理把圓分成n(n≥3):

⑴依次連結各分點所得的多邊形是這個圓的內

接正n邊形

⑵經過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點

為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形

138、定理任何正多邊形都有一個外接圓和一

個內切圓，這兩個圓是同心圓

139、正n邊形的每個內角都等于（n-2）×180°

／n

140、定理正n邊形的半徑和邊心距把正n邊

形分成2n個全等的直角三角形

141、正n邊形的面積Sn=pnrn／2p表示正

n邊形的周長

142、正三角形面積√3a／4a表示邊長

143、如果在一個頂點周圍有k個正n邊形的角，

由于這些角的和應為360°，因此k×(n-2)180°／n=360°化

為（n-2）(k-2)=4

144、弧長計算公式：L=n兀R／180

145、扇形面積公式：S扇形=n兀R^2／360=LR

／2

146、內公切線長=d-(R-r)外公切線長=

d-(R+r)

三、常用數學公式

公式分類公式表達式

學習必備精品知識點

乘法與因式分解a2-b2=(a+b)(a-b)

a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)

a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)

三角不等式|a+b|≤|a|+|b|

|a-b|≤|a|+|b|

|a|≤b<=>-b≤a≤b

|a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a|

一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a

-b-√(b2-4ac)/2a

根與系數的關系X

1

+X

2

=-b/a

X

1

*X

2

=c/a注：韋達定理

判別式

b2-4ac=0注：方程有兩個相等的實根

b2-4ac>0注：方程有兩個不等的實根

b2-4ac<0注：方程沒有實根，有共軛復數根

某些數列前n項和

1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2

1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2

2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)

12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6

13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4

1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

注：其中R表示三角形的外接圓半徑

余弦定理b2=a2+c2-2accosB

注：角B是邊a和邊c的夾角

四、基本方法

1、配方法

所謂配方，就是把一個解析式利用恒等變形的

方法，把其中的某些項配成一個或幾個多項式正整數次

冪的和形式。通過配方解決數學問題的方法叫配方法。

其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是數學中

一種重要的恒等變形的方法，它的應用十分非常廣泛，

在因式分解、化簡根式、解方程、證明等式和不等式、

學習必備精品知識點

求函數的極值和解析式等方面都經常用到它。

2、因式分解法

因式分解，就是把一個多項式化成幾個整式乘

積的形式。因式分解是恒等變形的基礎，它作為數學的

一個有力工具、一種數學方法在代數、幾何、三角等的

解題中起著重要的作用。因式分解的方法有許多，除中

學課本上介紹的提取公因式法、公式法、分組分解法、

十字相乘法等外，還有如利用拆項添項、求根分解、換

元、待定系數等等。

3、換元法

換元法是數學中一個非常重要而且應用十分廣

泛的解題方法。我們通常把未知數或變數稱為元，所謂

換元法，就是在一個比較復雜的數學式子中，用新的變

元去代替原式的一個部分或改造原來的式子，使它簡化，

使問題易于解決。

4、判別式法與韋達定理

一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c屬于R，a≠0）

根的判別，△=b2-4ac，不僅用來判定根的性質，而且作

為一種解題方法，在代數式變形，解方程(組)，解不等式，

研究函數乃至幾何、三角運算中都有非常廣泛的應用。

韋達定理除了已知一元二次方程的一個根，求

另一根；已知兩個數的和與積，求這兩個數等簡單應用

外，還可以求根的對稱函數，計論二次方程根的符號，

解對稱方程組，以及解一些有關二次曲線的問題等，都

有非常廣泛的應用。

5、待定系數法

在解數學問題時，若先判斷所求的結果具有某

種確定的形式，其中含有某些待定的系數，而后根據題

設條件列出關于待定系數的等式，最后解出這些待定系

數的值或找到這些待定系數間的某種關系，從而解答數

學問題，這種解題方法稱為待定系數法。它是中學數學

中常用的方法之一。

6、構造法

在解題時，我們常常會采用這樣的方法，通過

對條件和結論的分析，構造輔助元素，它可以是一個圖

形、一個方程(組)、一個等式、一個函數、一個等價命題

等，架起一座連接條件和結論的橋梁，從而使問題得以

解決，這種解題的數學方法，我們稱為構造法。運用構

造法解題，可以使代數、三角、幾何等各種數學知識互

相滲透，有利于問題的解決。

學習必備精品知識點

7、反證法

反證法是一種間接證法，它是先提出一個與命

題的結論相反的假設，然后，從這個假設出發，經過正

確的推理，導致矛盾，從而否定相反的假設，達到肯定

原命題正確的一種方法。反證法可以分為歸謬反證法(結

論的反面只有一種)與窮舉反證法(結論的反面不只一

種)。用反證法證明一個命題的步驟，大體上分為：(1)

反設；(2)歸謬；(3)結論。

反設是反證法的基礎，為了正確地作出反設，

掌握一些常用的互為否定的表述形式是有必要的，例如：

是、不是；存在、不存在；平行于、不平行于；垂直于、

不垂直于；等于、不等于；大(小)于、不大(小)于；都是、

不都是；至少有一個、一個也沒有；至少有n個、至多

有(n一1)個；至多有一個、至少有兩個；唯一、至少有

兩個。

歸謬是反證法的關鍵，導出矛盾的過程沒有固

定的模式，但必須從反設出發，否則推導將成為無源之

水，無本之木。推理必須嚴謹。導出的矛盾有如下幾種

類型：與已知條件矛盾；與已知的公理、定義、定理、

公式矛盾；與反設矛盾；自相矛盾。

8、面積法

平面幾何中講的面積公式以及由面積公式推出

的與面積計算有關的性質定理，不僅可用于計算面積，

而且用它來證明平面幾何題有時會收到事半功倍的效

果。運用面積關系來證明或計算平面幾何題的方法，稱

為面積方法，它是幾何中的一種常用方法。

用歸納法或分析法證明平面幾何題，其困難在

添置輔助線。面積法的特點是把已知和未知各量用面積

公式聯系起來，通過運算達到求證的結果。所以用面積

法來解幾何題，幾何元素之間關系變成數量之間的關系，

只需要計算，有時可以不添置補助線，即使需要添置輔

助線，也很容易考慮到。

9、幾何變換法

在數學問題的研究中，常常運用變換法，把復

雜性問題轉化為簡單性的問題而得到解決。所謂變換是

一個集合的任一元素到同一集合的元素的一個一一映

射。中學數學中所涉及的變換主要是初等變換。有一些

看來很難甚至于無法下手的習題，可以借助幾何變換法，

化繁為簡，化難為易。另一方面，也可將變換的觀點滲

透到中學數學教學中。將圖形從相等靜止條件下的研究

學習必備精品知識點

和運動中的研究結合起來，有利于對圖形本質的認識。

幾何變換包括：（1）平移；（2）旋轉；（3）對

稱。

10、客觀性題的解題方法

選擇題是給出條件和結論，要求根據一定的關

系找出正確答案的一類題型。選擇題的題型構思精巧，

形式靈活，可以比較全面地考察學生的基礎知識和基本

技能，從而增大了試卷的容量和知識覆蓋面。

填空題是標準化考試的重要題型之一，它同選

擇題一樣具有考查目標明確，知識復蓋面廣，評卷準確

迅速，有利于考查學生的分析判斷能力和計算能力等優

點，不同的是填空題未給出答案，可以防止學生猜估答

案的情況。

要想迅速、正確地解選擇題、填空題，除了具

有準確的計算、嚴密的推理外，還要有解選擇題、填空

題的方法與技巧。下面通過實例介紹常用方法。

（1）直接推演法：直接從命題給出的條件出發，

運用概念、公式、定理等進行推理或運算，得出結論，

選擇正確答案，這就是傳統的解題方法，這種解法叫直

接推演法。

（2）驗證法：由題設找出合適的驗證條件，再

通過驗證，找出正確答案，亦可將供選擇的答案代入條

件中去驗證，找出正確答案，此法稱為驗證法（也稱代

入法）。當遇到定量命題時，常用此法。

（3）特殊元素法：用合適的特殊元素（如數或

圖形）代入題設條件或結論中去，從而獲得解答。這種

方法叫特殊元素法。

（4）排除、篩選法：對于正確答案有且只有一

個的選擇題，根據數學知識或推理、演算，把不正確的

結論排除，余下的結論再經篩選，從而作出正確的結論

的解法叫排除、篩選法。

（5）圖解法：借助于符合題設條件的圖形或圖

象的性質、特點來判斷，作出正確的選擇稱為圖解法。

圖解法是解選擇題常用方法之一。

（6）分析法：直接通過對選擇題的條件和結論，

作詳盡的分析、歸納和判斷，從而選出正確的結果，稱

為分析法。

初中幾何常見輔助線作法歌訣匯編[轉]

學習必備精品知識點

人說幾何很困難，難點就在輔助線。

輔助線，如何添？把握定理和概念。

還要刻苦加鉆研，找出規律憑經驗。

圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。

也可將圖對折看，對稱以后關系現。

角平分線平行線，等腰三角形來添。

角平分線加垂線，三線合一試試看。

線段垂直平分線，常向兩端把線連。

要證線段倍與半，延長縮短可試驗。

三角形中兩中點，連接則成中位線。

三角形中有中線，延長中線等中線。

平行四邊形出現，對稱中心等分點。

梯形里面作高線，平移一腰試試看。

平行移動對角線，補成三角形常見。

證相似，比線段，添線平行成習慣。

等積式子比例換，尋找線段很關鍵。

直接證明有困難，等量代換少麻煩。

斜邊上面作高線，比例中項一大片。

半徑與弦長計算，弦心距來中間站。

圓上若有一切線，切點圓心半徑連。

切線長度的計算，勾股定理最方便。

要想證明是切線，半徑垂線仔細辨。

是直徑，成半圓，想成直角徑連弦。

弧有中點圓心連，垂徑定理要記全。

圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點連。

弦切角邊切線弦，同弧對角等找完。

要想作個外接圓，各邊作出中垂線。

還要作個內接圓，內角平分線夢圓。

如果遇到相交圓，不要忘作公共弦。

內外相切的兩圓，經過切點公切線。

若是添上連心線，切點肯定在上面。

要作等角添個圓，證明題目少困難。

輔助線，是虛線，畫圖注意勿改變。

假如圖形較分散，對稱旋轉去實驗。

基本作圖很關鍵，平時掌握要熟練。

解題還要多心眼，經常總結方法顯。

切勿盲目亂添線，方法靈活應多變。

分析綜合方法選，困難再多也會減。

虛心勤學加苦練，成績上升成直線。

學習必備精品知識點