分步積分

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《高職數(shù)學》公開課教案

課題：§4.4分部積分法

課型：講授

教學目的、要求：理解分部積分法的思想方法，正確選取u、dv，熟練掌握分部

積分法公式

教學重點、難點：分部積分法及其應用,恰當選取u、dv

教學內容：

一、分部積分法

設函數(shù)u?u(x)及v?v(x)具有連續(xù)導數(shù)?那么?兩個函數(shù)乘積的導數(shù)公式為

?????uvu(uv)v

移項得v?????u(uv)uv

對這個等式兩邊求不定積分?得

???

??

?

vdxuuvdxvu??或????vduuvudv?稱為不定積分的分部積分公式。

二、例題

例1Cexedxexexdedxxexxxxxx?????????

例2??????xdxxxxxdxdxxsinsinsincos

Cxxx???cossin

?利用這個公式的關鍵在于選取適當?shù)膗和dv

選取的一般原則:1.v容易求得(湊微分法);

?比?udv容易求.

例3求?dxexx2

解：xxdexdxex???22

Cexeex

dxexeex

dxxeex

dxeex

xxx

xxx

xx

xx

????

???

??

??

?

?

?

22

)(2

2

2

2

2

22

2/3

例4求?xdxxarctan

解：???2arctan

2

1

arctanxdxxdxx

??

??Cxxxx

dx

x

xx

dx

x

x

xx

xdxxx

????

?

?

?

?

?

?

?

???

?

?

?

?

?

?

?

??

??

?

?

?

arctanarctan

2

1

)

1

1

1(arctan

2

1

1

arctan

2

1

arctanarctan

2

1

2

2

2

2

2

2

22

例5344344

11111

lnln()lnln

444416

xxxdxxxxdxxxxC

分部積分法的使用技巧

(1)被積函數(shù)是兩個不同類型函數(shù)的乘積；

(2)u的選取按“反、對、冪、三、指”順序。

例6求xdxexsin??

解因為??????xdexexdexdxexxxxsinsinsinsin

??????xxxxxdexexdxexecossincossin

????xdexexexxxcoscossin

????xdxexexexxxsincossin?

所以Cxxexdxexx????)cos(sin

2

1

sin?

練習:(1)

(2)xdxxln2?

例7求?dxex

解：令tx?，則2tx?，

tdtdx2?

，因此

??

Cxe

Cete

dtte

tdtedxe

x

tt

t

tx

???

???

?

?

?

??

)1(2

2

2

2

3/3

三、小結

使用分部積分公式????vduuvudv

(1)原則:v容易求得(湊微分法);uvd?比?udv容易求;

(2)U的選取按“反對冪三指”的順序。

四、作業(yè)

習題4.3P

109

2、（1）（4）（6）,習題4.4P

111

1、（3）（5）（6）