有理數的分類

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有理數的概念與分類

現在開始學習有理數及其運算，主要內容是有理數的有關概念.首先是借助生活中的實例引入負數，體會引入負數的

必要性和廣泛的應用性．理解有理數的意義及分類，判斷一個數是正數還是負數，運用正、負數表示生活中具有相反意

義的量．其次是通過與溫度計的類比認識數軸，用數軸上的點表示有理數，借助數軸引入相反數的概念及互為相反數的

一對數在數軸上的位置關系，利用數軸比較有理數的大小．第三是借助數軸引入絕對值的概念及求一個數的絕對值，利

用絕對值比較兩個負數的大小，通過應用題解決實際問題，體會絕對值的意義和作用.

重點知識歸納及講解

1、正數和負數的概念

比0大的數叫做正數；在正數前面加上“－”號的數叫做負數；0既不是正數，也不是負數.

為了突出數的符號，可以在正數前面加“＋”號，一般地“＋”號往往省略不寫，但負數前面的“－”號不能省略.

對于正數和負數的概念，不能簡單的理解為：帶“＋”號的數是正數，帶“－”號的數是負數.

2、有理數的概念及分類

整數和分數統稱為有理數：正數、負數和零也統稱為有理數．整數包括正整數、零和負整數、分數包括正分數和負

分數；正數包括正整數和正分數；負數包括負整數和負分數．

到目前為止，我們學過的數細分有五類：正整數、正分數、零、負整數、負分數，因為有限小數和無限循環小數可

以化為分數，所以把有限小數和無限循環小數都看作分數．有時為了研究的需要，整數也可以看作是分母為1的分數，

但本章中的分數是指不包括分母是1的分數.

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通常把正數和零統稱為非負數；負數和零統稱為非正數；正整數和零統稱為非負整數，即為自然數；負整數和零統

稱為非正整數.

3、數軸的概念及畫法

規定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數軸.

數軸的概念中包含有三層含義：一是說數軸是一條直線，可以向兩端無限延伸；二是說數軸具有原點，正方向和單

位長度三要素，三者缺一不可；三是說數軸原點的選定，正方向的取向、單位長度大小的確定，是根據實際需要規定的.

畫數軸的步驟：

（1）畫一條直線，一般畫成水平的直線；

（2）在直線上選取一點為原點，用實心點表示，在原點下邊標上0；

（3）用箭頭表示正方向，一般規定向右為正；

（4）選取適當的長度為單位長度，用細短線畫出，并在下邊標上對應的數.

4、相反數的概念

如果兩個數只有符號不同，那么稱其中一個數為另一個數的相反數，也稱這兩個數互為相反數，特別地，0的相反數

是0.

在數軸上，表示互為相反數的兩個點，位于原點的兩側，且與原點的距離相等，這就是相反數的幾何意義.

一般地，數a的相反數是－a，這里a表示任意一個數，可以是正數、負數或零，還可以代表任意一個代數式，表

示或求一個數的相反數，只要在這個數的前面添上一個“－”號就可以了.

相反數是成對出現的，不能單獨存在，單獨的一個數不能說是相反數；不能理解為只要符號不同的兩個數就互為相

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反數，只有符號不同的兩個數是說除了符號不同以外完全相同.

5、絕對值的概念

在數軸上，一個數所對應的點與原點的距離叫做這個數的絕對值，數a的絕對值記作“|a|”.

正數的絕對值是它本身；負數的絕對值是它的相反數；0的絕對值是0，這就是絕對值的代數意義，也可表示為：

6、絕對值的有關性質

（1）對任意有理數a，都有|a|≥0；

（2）若|a|=0，則a=0；

（3）若|a|=|b|，則a=b或a=－b；

（4）若|a|=b（b>0），則a=±b；

（5）若|a|＋|b|=0，則a=0且b=0；

（6）對任意有理數a，都有|a|=|－a|.

7、有理數大小的比較法則

在數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的數大；

正數都大于0，負數都小于0，正數大于一切負數；

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兩個負數，絕對值大的反而小.

三、難點知識剖析

1、負數的產生及其意義

隨著社會的發展，小學學過的自然數、分數和小數已不能滿足實際的需要，為了滿足實際需要，引入了負數，負數

是由于實際需要產生的，負數也是客觀存在的數.

正數和負數通常表示具有相反意義的量，若正數表示某種意義的量，則負數就表示其相反意義的量，反之亦然.

2、數集的概念

把一些數放在一起，就組成一個數的集合，簡稱數集．所有的有理數組成的數集叫做有理數集，類似地，所有整數

組成的數集叫做整數集，所有正數組成的數集叫做正數集，所有負數組成的數集叫做負數集，等等.

3、多重符號的化簡規律

單獨一個有理數前面的“＋”號和“－”號，一般都是性質符號，讀作“正”號或“負”號.

括號前是“＋”號時，去掉括號和“＋”號后，括號內的數不變，括號前是“－”號時，去掉括號和“－”號后，

括號內的數就變成它的相反數.

在一個數的前面添加一個“＋”號，仍然與原數相同；在一個數的前面添加一個“－”號，就成為原數的相反數.

4、兩個負有理數的大小比較

兩個負有理數的大小比較與其它數一樣，可以利用數軸找準兩個負有理數在數軸上的對應點，右邊的數總比左邊的

數大.

兩個負有理數的大小比較，還可以利用絕對值，求這兩個數的絕對值，比較兩個數絕對值的大小，絕對值大的反而

小.

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5、有關絕對值的計算及化簡

靈活正確運用絕對值的代數意義及有關性質.

四、典型例題解析

例1、一個物體沿著南北兩個相反方向運動，如果把向南的方向規定為正，那么走6km，走－4.5km，走0km的意義各

是什么？

例2、某老師把某一小組五名同學的成績簡記為：＋10、－5、0、＋8、－3，又知記為0的實際成績表示90分，正數表

示超過90分，則這五位同學的平均成績為多少分？

例3、如圖所示的數軸上，A、B、C、D、E各點分別表示什么數？

例4、在數軸上畫出表示下列各數的點，并用“<”連接起來；

例5、化簡下列各數的符號：

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例6、利用絕對值比較下列有理數的大小.

（1）－0.6，－60（2）

例7、已知|a|=5，求a.

例8、已知|a＋2|＋|b－3|=0，求a和b的值.

例9、已知有理數a、b、c如圖所示，試比較a，－a，b，－b，c，－c，0的大小，并用符號“<”連接起來.

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1、“甲比乙大－3歲”表示的意義是（）

A．甲比乙小3歲B．甲比乙大3歲C．乙比甲大－3歲D．乙比甲小3歲

2、正整數集合與負整數集合合并在一起組成的集合是（）

A．整數集合B．有理數集合C．自然數集合D．以上說法都不對

3、下列說法中正確的個數有（）

（1）0是整數；（2）－1是負分數；（3）3.2不是正數；（4）自然數一定是正數；（5）負分數一定是負有理數.

A．1個B．2個C．3個D．4個

4、文具店、書店和玩具店依次坐落在一條南北走向的大街上，文具店在書店北邊20m處，玩具店位于書店南邊100m處，

小明從書店沿街向南走了40m，接著又向南走了－60m，則此時小明的位置在（）

A．玩具店B．文具店C．文具店北邊40mD．玩具店南邊－60m

5、下列各對數中，互為相反數的有（）

（1）（－1）與＋（－1）；（2）＋（＋1）與－1；（3）－（－2）與＋（－2）；

（4）－（－）與＋（＋）；（5）＋[－（＋1）]與－[＋（－1）]；（6）－（＋2）與－（－2）.

A．6對B．5對C．4對D．3對

6、一個數的相反數小于它本身，這個數是（）

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A．任意有理數B．零C．負有理數D．正有理數

7、絕對值等于4的數是（）

A．4B．－4C．±4D．以上都不對

8、絕對值大于2而小于5的所有正整數之和為（）

A．7B．8C．9D．10

9、下列各式中，正確的是（）

A．－|－16|>0B．|0.2|>|－0.2|C．D．|－6|<0

10、若有理數a、b在數軸上的對應點如圖所示，則下列結論中正確的是（）

A．a>bB．|a||b|D．a>|b|

11、下列各數：－2，5，－，0.63，0，8，－0.05，－6，9，，1，其中正數有____________個，負數有____________

個，正分數有____________個，負分數有____________個，自然數有____________個，整數有____________個.

12、如果將點B向左移動3個單位長度，再向右移動5個單位長度，這時點B表示的數是0，那么點B原來表示的數是

____________.

13、在數軸上，點A表示的數是－2，點B表示的數是＋4，則線段AB的中點所表示的數是____________.

14、如果|a|＋|b|=5，且a=－1，則b=____________.

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【鞏固練習】

1、課桌的高度比標準高度高2毫米記作＋2毫米，那么比標準高度低3毫米記作什么？現有5張課桌，量得它們的尺寸比

標準尺寸高＋1毫米，－1毫米，0毫米，＋3毫米，－1.5毫米，若規定課桌的高度比標準高度最高不超過2毫米，最低不

能少于2毫米就算合格，問上述5張課桌中有幾張合格？

2、畫出數軸，把下列各組數分別表示在數軸上，并按由小到大的順序排列，用“<”連接起來．

（1）－1，0，－2，4，－4，1

（2）－1，－3，0，2，1，4，－5

3、化簡下列各數的符號，并分別歸納符號化簡規律

（1）－（＋7）；（2）－（－5）；（3）－[＋（－）]；

（4）－[－（－4）]；（5）＋{－[＋（－3）]}；（6）－{－[－（－1.5）]}.

4、比較下列各組數的大小：

4、若|a|=3，|b|=4，且a、b同號，求|a＋b|的值.

5、若|x－3|＋|y－2|=0，求x－y的值.