三角形邊長計算

三角形邊長的計算公式

解三角形

解直角三角形（斜三角形特殊情況)：

勾股定理，只適用于直角三角形（外國叫“畢達哥拉斯定理”）

a^2+b^2=c^2，其中a和b分別為直角三角形兩直角邊，c為斜邊。

勾股弦數是指一組能使勾股定理關系成立的三個正整數。比如：3，4，

5。他們分別是3，4和5的倍數。常見的勾股弦數有：3，4，5；

6，8，10;5，12,13;10，24,26;等等。

解斜三角形:

在三角形ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.則有（1）正弦

定理a/SinA=b/SinB=c/SinC=2R(R為三角形外接圓半徑)（2)余

弦定理a^2=b^2+c^2-2bc＊CosAb^2=a^2+c^2—2ac＊CosB

c^2=a^2+b^2-2ab*CosC注：勾股定理其實是余弦定理的一種特殊

情況。（3）余弦定理變形公式cosA=（b^2+C^2—a^2）/2bC

cosb=(a^2+c^2—b^2)/2aCcosC=(a^2+b^2—C^2)/2ab

斜三角形的解法:

已知條件定理應用一般解法

一邊和兩角（如a、B、C）正弦定理由A+B+C=180˙,求角A，

由正弦定理求出b與c，在有解時有一解。

兩邊和夾角（如a、b、c）余弦定理由余弦定理求第三邊c，由正

弦定理求出小邊所對的角，再由A+B+C=180˙求出另一角，在有

解時有一解.

三邊（如a、b、c）余弦定理由余弦定理求出角A、B,再利用

A+B+C=180˙，求出角C在有解時只有一解.

兩邊和其中一邊的對角(如a、b、A）正弦定理由正弦定理求出角

B，由A+B+C=180˙求出角C，在利用正弦定理求出C邊，可有兩

解、一解或無解.

勾股定理(畢達哥拉斯定理）

內容：在任何一個直角三角形中,兩條直角邊長的平方之和一定等

于斜邊長的平方。幾何語言：若△ABC滿足∠ABC=90°，則AB2

+BC2=AC2勾股定理的逆定理也成立，即兩條邊長的平方之和等于

第三邊長的平方，則這個三角形是直角三角形幾何語言：若△ABC

滿足,則∠ABC=90°.

[3］射影定理（歐幾里得定理)

內容:在任何一個直角三角形中，作出斜邊上的高，則斜邊上的高

的平方等于高所在斜邊上的點到不是兩直角邊垂足的另外兩頂點的

線段長度的乘積。幾何語言：若△ABC滿足∠ABC=90°，作BD

⊥AC,則BD2＝AD×DC射影定理的拓展:若△ABC滿足∠

ABC=90°，作BD⊥AC，(1）AB2=BD·BC(2）AC2;=CD·BC

（3)ABXAC=BCXAD

正弦定理

內容：在任何一個三角形中，每個角的正弦與對邊之比等于三角形

面積的兩倍與三邊邊長和的乘積之比幾何語言:在△ABC中，

sinA/a=sinB/b=sinC/c=2S三角形/abc結合三角形面積公式，可以變

形為a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R是外接圓半徑)

余弦定理

內容:在任何一個三角形中，任意一邊的平方等于另外兩邊的平方

和減去這兩邊的2倍乘以它們夾角的余弦幾何語言:在△ABC中，

a2=b2+c2—2bc×cosA此定理可以變形為：cosA=（b2+c2-a2）÷2bc