正弦函數(shù)的對稱軸

^`

【本講教育信息】

一.教學(xué)內(nèi)容：

1.3.1正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)

二.教學(xué)目的

1、掌握用幾何法繪制正弦函數(shù)

ysinx,xR??

的圖象的方法；掌握用五點法畫正弦函數(shù)

的簡圖的方法及意義；

2、掌握正弦函數(shù)

ysinx,xR??

的性質(zhì)及應(yīng)用；

3、掌握正弦型函數(shù)

yAsin(x),xR?????

的圖象（特別是用五點法畫函數(shù)

yAsin(x),xR?????

的圖象）、性質(zhì)及應(yīng)用。

三.教學(xué)重點、難點

重點：

1、用五點法畫函數(shù)

yAsin(x),xR?????

的簡圖；

2、函數(shù)

yAsin(x),xR?????

的性質(zhì)及應(yīng)用；

3、函數(shù)

ysinx,xR??

與

yAsin(x),xR?????

的圖象的關(guān)系。

難點：

1、正弦函數(shù)

ysinx,xR??

的周期性和單調(diào)性的理解；

2、函數(shù)

ysinx,xR??

與

yAsin(x),xR?????

的圖象的關(guān)系。

四.知識分析

1、正弦函數(shù)圖象的幾何作法

采用弧度制，x、y均為實數(shù)，步驟如下：

（1）在x軸上任取一點O

1

，以O(shè)

l

為圓心作單位圓；

（2）從這個圓與x軸交點A起把圓分成12等份；

（3）過圓上各點作x軸的垂線，可得對應(yīng)于0、

6

?

、

3

?

、

L

、

2?

的正弦線；

（4）相應(yīng)的再把x軸上從原點O開始，把這0～

2?

這段分成12等份；

（5）把角的正弦線平移，使正弦線的起點與x軸上對應(yīng)的點重合；

（6）用光滑曲線把這些正弦線的終點連結(jié)起來。

2、五點法作圖

描點法在要求不太高的情況下，可用五點法作出，

ysinx,x[0,2]???

的圖象上有五

^`

點起決定作用，它們是

3

(0,0),(,1),(,0),(,1),(2,0)

22

??

???

。描出這五點后，其圖象的形狀

基本上就確定了。

因此，在精確度要求不太高時，我們常常先描出這五個點，然后用平滑的曲線將它們連

接起來，就得到在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)正弦函數(shù)的簡圖，這種方法叫做五點法。

注意：

（1）描點法所取的各點的縱坐標(biāo)都是查三角函數(shù)表得到的數(shù)值，不易描出對應(yīng)點的精確位

置，因此作出的圖象不夠精確。

（2）幾何法作圖較為精確，但畫圖時較繁。

（3）五點法是我們畫三角函數(shù)圖象的基本方法，要切實掌握好，與五點法作圖有關(guān)的

問題曾出現(xiàn)在歷屆高考試題中。

（4）作圖象時，函數(shù)自變量要用弧度制，這樣自變量與函數(shù)值均為實數(shù)，因此在x軸、

y軸上可以統(tǒng)一單位，作出的圖象正規(guī)，便于應(yīng)用。

（5）如果函數(shù)表達式不是

ysinx?

，則那五點就可能不是

3

(0,0),(,1),(,0),(,1),

22

??

??

(2,0)?

如：用“五點法”作函數(shù)

y1sinx,x[0,2]????

的簡圖，所用的五個關(guān)鍵點列表就是：

而用“五點法”作函數(shù)

ysin(2x)

3

?

??

的簡圖，開始的一段圖象所用的五個關(guān)鍵點列

表就是：

x

6

?

?

12

?

3

?7

12

?5

6

?

2x

3

?

?

02

?

π

3

2

?

2π

y010－10

3、正弦曲線

下面是正弦函數(shù)

ysinx,xR??

的圖象的一部分：

2

-2

-15-10-551015

4、正弦函數(shù)的值域

從正弦線可以看出：正弦線的長度小于或等于單位圓半徑的長度；

從正弦曲線也可以看出：正弦曲線分布在y=1和y＝－1之間，說明|sinx|≤1，即正

弦函數(shù)的值域是［－1,1］。

注意：這里所說的正弦函數(shù)的值域是[－l,1]，是指整個正弦曲線或一個周期內(nèi)的正弦曲

線。如果定義域不為全體實數(shù)，那么正弦函數(shù)的值域就可能不是［－1,1］。如

^`

ysinx,x0,

2

?

??

??

??

??

，則值域就是[0，1]，因而在確定正弦函數(shù)的值域時，要特別注意其

定義域。

5、周期函數(shù)的定義

一般地，對于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個不為零的常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)

的每一個值時，f(x＋T)＝f(x)都成立，那么就把函數(shù)y=f(x)叫做周期函數(shù)，不為零的常數(shù)

T叫做這個函數(shù)的周期。

注意：(1)定義應(yīng)對定義域中的每一個x值來說，只有個別的x值或只差個別的x值

滿足f(x＋T)＝f(x)或不滿足都不能說T是f(x)的周期。

例如：

4

sin)

24

sin(

?

?

?

?

?

但是

3

sin)

23

sin(

?

?

?

?

?

就是說，

2

?

不能對x的定義域內(nèi)的每一個值都有

sin(x)sinx

2

?

??

,因此

2

?

不是sinx

的周期。

（2）從等式f(x＋T)＝f(x)來看，應(yīng)強調(diào)的是與自變量x本身相加的常數(shù)才是周期，如

f(2x+T)=f(2x),T不是f(2x)的周期，而應(yīng)寫成f(2x+T)＝

T

f[2(x)]

2

?

＝f(2x)，則

T

2

是f(2x)的周期。

（3）對于周期函數(shù)來說，如果所有的周期中存在著一個最小的正數(shù)，就稱它為最小正

周期，今后提到的三角函數(shù)的周期，如未特別指明，一般都是指它的最小正周期。

（4）并不是所有周期函數(shù)都存在最小正周期．例知，常數(shù)函數(shù)f(x)=C(C為常數(shù)),

x∈R，當(dāng)x為定義域內(nèi)的任何值時，函數(shù)值都是C，即對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的每

一個值x，都有f(x+T)＝C，因此f(x)是周期函數(shù)，由于T可以是任意不為零的常

數(shù)，而正數(shù)集合中沒有最小者，所以f(x)沒有最小正周期。

再如函數(shù)

?

?

?

?

)(0

)(1

)(

是無理數(shù)

是有理數(shù)

x

x

xD

設(shè)r是任意一個有理數(shù)，那么當(dāng)x是有理數(shù)時，x+r也是有理數(shù)，當(dāng)x為無理數(shù)

時，x+r也是無理數(shù)，就是說D(x)與D(x+r)或者等于1或者等于O，因此在兩種

情況下，都有D(x+r)＝D(x)，所以D(x)是周期函數(shù)，r是D(x)的周期，由于r

可以是任一有理數(shù)，而正有理數(shù)集合中沒有最小者，所以D(x)沒有最小正周期。

（5）“f(x+T)＝f(x)”是定義域內(nèi)的恒等式，即對定義域內(nèi)的每一個值都成立，T

是非零常數(shù)，周期T是使函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)的自變量x的增加值。

（6）周期函數(shù)的周期不只一個，若T是周期，則kT(k∈N*)一定也是周期。

（7）在周期函數(shù)y＝f（x）中，T是周期，若x是定義域內(nèi)的一個值，則x+kT也

一定屬于定義域，因此周期函數(shù)的定義域一定是無限集。

6、正弦函數(shù)的周期性

（1）從正弦線的變化規(guī)律可以看出，正弦函數(shù)是周期函數(shù)，

2k(kZk0)???且

是它

的周期，最小正周期是2π。

（2）正弦函數(shù)的周期也可由誘導(dǎo)公式sin(x+2kπ)＝sinx(k∈Z)得到。

7、正弦函數(shù)的奇偶性

正弦函數(shù)y=sinx(x∈R)是奇函數(shù)。

^`

（1）由誘導(dǎo)公式sin（－x）＝－sinx可知上述結(jié)論成立，

（2）反映在圖象上，正弦曲線關(guān)于原點O對稱；

（3）正弦曲線是中心對稱圖形，其所有的對稱中心為（kπ,0）。正弦曲線也是軸對

稱圖形，其所有的對稱軸方程為

xk,xZ

2

?

????

。

注意：正弦曲線的對稱軸一定是經(jīng)過正弦曲線的最高點或最低點，此時正弦值為最大值

或最小值。

8、正弦函數(shù)的單調(diào)性

由正弦曲線可以看出：當(dāng)x由

?

?

2

增大到

?

2

時，曲線逐漸上升，sinx由－1增大到1；

當(dāng)x由

?

2

增大到

3

2

?

時，曲線逐漸下降，sinx由1減小到－1。

由正弦函數(shù)的周期性知道：

正弦函數(shù)

yx?sin

在每一個閉區(qū)間［

???

?

?

?

?

2

2

2

2kk，

］（

kZ?

）上都從－1增

大到1，是增函數(shù)；在每一個閉區(qū)間［

?

?

?

?

2

2

3

2

2??kk，

］（

kZ?

）上，都從1減小到

－1，是減函數(shù)。也就是說正弦函數(shù)

yx?sin

的單調(diào)區(qū)間是：［

???

?

?

?

?

2

2

2

2kk，

］及

［

?

?

?

?

2

2

3

2

2??kk，

］（

kZ?

）

9、函數(shù)圖象的左右平移變換

如在同一坐標(biāo)系下，作出函數(shù)

yx??sin()

?

3

和

yx??sin()

?

4

的簡圖，并指出它們

與

yx?sin

圖象之間的關(guān)系。

解析：函數(shù)

yx??sin()

?

3

的周期為

2?

，我們來作這個函數(shù)在長度為一個周期的閉區(qū)

間上的簡圖。

設(shè)

xZ??

?

3

，那么

sin()sinxZ??

?

3

，

xZ??

?

3

當(dāng)Z取0、

?

???

2

3

2

2、、、

時，x取

?

?????

36

2

3

7

6

5

3

、、、、

。所對應(yīng)的五點

是函數(shù)

yx??sin()

?

3

，

x??[]

??

3

5

3

，

圖象上起關(guān)鍵作用的點。

列表：

x

?

?

3

?

6

2

3

?7

6

?5

3

?

x?

?

3

0

?

2

?

3

2

?

2?

sin()x?

?

3

010

－1

0

^`

類似地，對于函數(shù)

yx??sin()

?

4

，可列出下表：

x

?

4

3

4

?5

4

?7

4

?9

4

?

x?

?

4

0

?

2

?

3

2

?

2?

sin()x?

?

4

010

－1

0

描點作圖（如下）

利用這類函數(shù)的周期性，可把所得到的簡圖向左、右擴展，得出

yx??sin()

?

3

，

xR?

及

yx??sin()

?

4

，

xR?

的簡圖（圖略）。

由圖可以看出，

yx??sin()

?

3

的圖象可以看作是把

yx?sin

的圖象上所有的點向左

平行移動

?

3

個單位而得到的，

yx??sin()

?

4

的圖象可以看作是把

yx?sin

的圖象上所有

的點向右平行移動

?

4

個單位得到的。

注意：一般地，函數(shù)

yx???sin()()??0

的圖象，可以看作是把

yx?sin

的圖象上

所有的點向左（當(dāng)

??0

時）或向右（當(dāng)

??0

時）平行移動

||?

個單位而得到的。

推廣到一般有：

將函數(shù)

yfx?()

的圖象沿x軸方向平移

||a

個單位后得到函數(shù)

yfxaa???()()0

的

圖象。當(dāng)a>0時向左平移，當(dāng)a<0時向右平移。

10、函數(shù)圖象的橫向伸縮變換

^`

如作函數(shù)

yx?sin2

及

yx?sin

1

2

的簡圖，并指出它們與

yx?sin

圖象間的關(guān)系。

解析：函數(shù)

yx?sin2

的周期

T??

2

2

?

?

，我們來作

x?[]0，?

時函數(shù)的簡圖。

設(shè)

2xZ?

，那么

sinsin2xZ?

，當(dāng)Z取0、

?

?

?

?

2

3

2

2、、、

時，所對應(yīng)的五點是

函數(shù)

yZZ??sin[]，，02?

圖象上起關(guān)鍵作用的五點，這里

x

Z

?

2

，所以當(dāng)x取0、

?

4

、

??

?

2

3

4

、、

時，所對應(yīng)的五點是函數(shù)

yxx??sin[]20，，?

的圖象上起關(guān)鍵作用的五

點。

列表：

x0

?

4

?

2

3

4

?

?

2x0

?

2

?

3

2

?

2?

sin2x

010

－1

0

函數(shù)

yx?sin

1

2

的周期

T??

2

1

2

4

?

?

，我們來作

x?[]04，?

時函數(shù)的簡圖。

列表：

x0

?2?3?4?

1

2

x

0

?

2

?

3

2

?

2?

sin

1

2

x

010

－1

0

描點作圖，如圖：

利用這類函數(shù)的周期性，我們可以把上面的簡圖向左、右擴展，得出

yx?sin2

，

xR?

及

yx?sin

1

2

，

xR?

的簡圖（圖略）。

從上圖可以看出，在函數(shù)

yx?sin2

的圖象上橫坐標(biāo)為

x

0

2

（

xR

0

?

）的點的縱坐標(biāo)同

^`

yx?sin

上橫坐標(biāo)為

x

0的點的縱坐標(biāo)相同（例如，當(dāng)

x

02

?

?

時，

sin()sin2

22

10???

x?

，

sinsinx

02

1??

?

）。因此，

yx?sin2

的圖象可以看作是把

yx?sin

的圖象上所有點的橫

坐標(biāo)縮短到原來的

1

2

倍（縱坐標(biāo)不變）而得到的。

類似地，

yx?sin

1

2

的圖象可以看作是把

yx?sin

的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原

來的2倍（縱坐標(biāo)不變）而得到的。

注意：一般地，函數(shù)

yx???sin()???01且

的圖象，可以看作是把

yx?sin

的圖

象上所有點的橫坐標(biāo)縮短（當(dāng)

??1

時）或伸長（當(dāng)

01???

時）到原來的

1

?

倍（縱坐標(biāo)

不變）而得到的。

推廣到一般有：

函數(shù)

yfx???()()???01，

的圖象，可以看作是把函數(shù)

yfx?()

的圖象上的點的

橫坐標(biāo)縮短（當(dāng)

??1

）或伸長（當(dāng)

01???

）到原來的

1

?

倍（縱坐標(biāo)不變）而得到。

11、函數(shù)圖象的縱向伸縮變換

如在同一坐標(biāo)系中作出

yx?2sin

及

yx?

1

2

sin

的簡圖，并指出它們的圖象與

yx?sin

的關(guān)系。

解析：函數(shù)

yx?2sin

及

yx?

1

2

sin

的周期

T?2?

，我們先來作

x?[]02，?

時函數(shù)

的簡圖。

列表：

x0

?

2

?

3

2

?

2?

sinx010

－1

0

2sinx020

－2

0

1

2

sinx

0

1

2

0

?

1

2

0

描點作圖，如圖：

利用這類函數(shù)的周期性，我們可以把上圖的簡圖向左、向右擴展，得到

^`

yxxR??2sin，

及

yxxR??

1

2

sin，

的簡圖（圖略）。

從上圖可以看出，對于同一個x值，

yx?2sin

的圖象上點的縱坐標(biāo)等于

yx?sin

的

圖象上點的縱坐標(biāo)的兩倍（橫坐標(biāo)不變），從而

yxxR??2sin，

的值域為［－2，2］，最

大值為2，最小值為－2。

類似地，

yx?

1

2

sin

的圖象，可以看作是把

yx?sin

的圖象上所有點的縱坐標(biāo)縮短到

原來的

1

2

倍（橫坐標(biāo)不變）而得到的，從而

yxxR??

1

2

sin，

的值域是［

?

1

2

1

2

，

］，最

大值為

1

2

，最小值為

?

1

2

。

注意：對于函數(shù)

yAx?sin

（A>0且A≠1）的圖象，可以看作是把

yx?sin

的圖象

上所有點的縱坐標(biāo)伸長（當(dāng)A>1時）或縮短（當(dāng)0

而得到的，

yAxxR??sin，

的值域為［－A，A］，最大值為A，最小值為－A。

推廣到一般有：

函數(shù)

yAfx?()

（A>0且A≠1）的圖象，可以看作是把函數(shù)

yfx?()

圖象上的點的

縱坐標(biāo)伸長（當(dāng)A>1）或縮短（當(dāng)0

12、函數(shù)

yAx??sin()??

的圖象

作函數(shù)

yAx??sin()??

的圖象主要有以下兩種方法：

（1）用“五點法”作圖

用“五點法”作

yAx??sin()??

的簡圖，主要是通過變量代換，設(shè)

zx????

，由

z取0，

?

2

，

?

，

3

2

?

，

2?

來求出相應(yīng)的x，通過列表，計算得出五點坐標(biāo)，描點后得出

圖象。

（2）由函數(shù)

yx?sin

的圖象通過變換得到

yAx??sin()??

的圖象，有兩種主要途

徑：“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”。

法一：先平移后伸縮

yxyx??????????????sinsin()()()

||

向左或向右

平移個單位

??

?

?00

橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?/p>

縱坐標(biāo)不變

1

??????????????yxsin()

縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?/p>

橫坐標(biāo)不變

AyAx???????????sin()??

法二：先伸縮后平移

yx??????????sin

橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?/p>

縱坐標(biāo)不變

1

?

yxyx??????????????sinsin()()()

||

?????

?

?

向左或向右

平移個單位

00

縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?/p>

橫坐標(biāo)不變

AyAx???????????sin()??

^`

可以看出，前者平移

||?

個單位，后者平移

||

?

?

個單位。原因在于相位變換和周期變換

都是針對變量x而言的。因此在用這樣的變換法作圖象時一定要注意平移的先后順序，否則

必然會出現(xiàn)錯誤。

當(dāng)函數(shù)

yAx??sin()??

（A>0，

??0

，

x???[)0，

）表示一個振動量時，A就

表示這個量振動時離開平衡位置的最大距離，通常把它叫做這個振動的振幅；往復(fù)振動一次

所需要的時間

T?

2?

?

，它叫做振動的周期；單位時間內(nèi)往復(fù)振動的次數(shù)

f

T

??

1

2

?

?

，它

叫做振動的頻率；

??x?

叫做相位，

?

叫做初相（即當(dāng)x＝0時的相位）。

【典型例題】

例1.作出函數(shù)

yx??12cos

的圖象

分析：首先將函數(shù)的解析式變形，化為最簡形式，然后作出函數(shù)的圖象。

解析：

yx??12cos

化為

yx?|sin|

即

y

xkxk

xkxk

?

???

?????

?

?

?

sin()

sin()

22

222

???

????

()kZ?

其圖象如圖：

點評：畫

yx?|sin|

的圖象可分為兩步完成，第一步先畫出

yxx??sin[]，，0?

和

yx??sin

，

x?()??，2

的圖象，第二步將得到的圖象向左、右平移，即可得到完整的

曲線。

例2.求下列函數(shù)的周期

（1）

yx?sin

1

2

（2）

y

x

??2

36

sin()

?

分析：該例的兩個函數(shù)都是復(fù)合函數(shù)，我們可以通過變量替換將它們歸結(jié)為基本三角函

數(shù)去處理。

解析：（1）如果令

mx?

1

2

，則

sinsin

1

2

xm?

是周期函數(shù)，且周期為

2?

???sin()sin

1

2

2

1

2

xx?

即

sin[()]sin

1

2

4

1

2

xx???

?sin

1

2

x

的周期是

4?

^`

（2）

?2

36

22

36

sin()sin()

xx

????

?

?

?

即

2

1

3

6

6

2

36

sin[()]sin()x

x

?????

??

??2

36

sin()

x?

的周期是

6?

。

點評：由上例我們可以看到函數(shù)周期的變換僅與自變量x的系數(shù)有關(guān)。一般地，函數(shù)

yAx??sin()??

或

yAx??cos()??

（其中A、

??、

為常數(shù)，A≠0，x∈R）的周期

T?

2?

?||

。

例3.比較下列各組數(shù)的大小。

（1）sin194°和cos160°；（2）

sin

7

4

和

cos

5

3

；

（3）

sin(sin)

3

8

?

和

sin(cos)

3

8

?

分析：先化為同名函數(shù)，然后利用單調(diào)性來比較函數(shù)值的大小。

解析：（1）

sinsin()sin1941801414????????

coscos()cossin16???????????

?????0147090???

，

??sinsin1470??

從而

???sinsin1470??

即

sincos194160???

（2）

?cossin()

5

32

5

3

??

?

又

??

?

2

7

42

5

3

3

2

????

yx?sin

在［

?

?

2

3

2

，

］上是減函數(shù)

????sinsin()cos

7

42

5

3

5

3

?

即

sincos

7

4

5

3

?

（3）

?cossin

3

88

??

?

?????0

3

8

3

8

1

2

cossin

???

而

yx?sin

在（0，

?

2

）內(nèi)遞增

??sin(cos)sin(sin)

3

8

3

8

??

點評：

（1）比較同名的三角函數(shù)值的大小，首先把三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為同一單調(diào)區(qū)間上的同名三

^`

角函數(shù)，利用單調(diào)性，由自變量的大小確定函數(shù)值的大小。

（2）比較不同名的三角函數(shù)的大小時，應(yīng)先化為同名三角函數(shù)，然后再進行比較。

例4.求下列函數(shù)的最大值和最小值

（1）

yx??1

1

2

sin

（2）

yx???322

3

sin()

?

（3）

yxx?????22

366

sin()()

???

分析：可利用sinx與cosx的值域求解，求解過程中要注意自變量的取值范圍。

解析：（1）

?

1

1

2

0

11

??

???

?

?

?

?

?

sin

sin

x

x

????11sinx

?

當(dāng)

sinx??1

時，

y

max

?

6

2

當(dāng)

sinx?1

時，

y

min

?

2

2

（2）

?????12

2

3

1sin()x

?

當(dāng)

sin()2

3

1x??

?

時，

y

max

?5

；

當(dāng)

sin()2

3

1x???

?

時，

y

min

?1

。

（3）

????

??

66

x

，

????02

3

2

3

x

??

????02

3

1sin()x

?

?

當(dāng)

sin()2

3

1x??

?

時，

y

max

?2

；

當(dāng)

sin()2

3

0x??

?

時，

y

min

?0

。

點評：求三角函數(shù)的值域或最大值、最小值問題主要得利用sinx與cosx的有界性，以

及復(fù)合函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)。

例5.用兩種方法將函數(shù)

yx?sin

的圖象變換為函數(shù)

yx??sin()2

3

?

的圖象。

分析1：

xxxx?????22

6

2

3

()

??

解法1：

yx??????????sin

橫坐標(biāo)縮短到原來的

縱坐標(biāo)不變

1

2

^`

yx????????sin26

向左平移個單位

?

yxx????sin[()]sin()2

6

2

3

??

分析2：

xxx????

??

3

2

3

解法2：

yx????????sin

向左平移個單位

?

3

yx???????????sin()

?

3

1

2

橫坐標(biāo)縮短到原來的

縱坐標(biāo)不變

yx??sin()2

3

?

點評：在解法1中，先伸縮，后平移；在解法2中，先平移，后伸縮，表面上看來，兩

種變換方法中的平移是不同的（即

6

?

和

3

?

），但由于平移時平移的對象已有所變化，所以得

到的結(jié)果是一致的。

例6.用五點法作出函數(shù)

yx??22

3

sin()

?

的圖象，并指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

分析：按五點作圖法的要求找出五個點來，然后作圖。

解析：（1）列表

列表時

2

3

x?

?

取值為0、

?

2

、

?

、

3

2

?

、

2?

，再求出相應(yīng)的x值和y值。

x

?

?

6

?

12

?

3

7

12

?5

6

?

2

3

x?

?

0

?

2

?

3

2

?

2?

y020-20

（2）描點

（3）用平滑的曲線順次連結(jié)各點所得圖象如圖所示：

利用這類函數(shù)的周期性，我們可以把上面所得到的簡圖向左、右擴展，得到

yx??22

3

sin()

?

，

xR?

的簡圖（圖略）。

可見在一個周期內(nèi)，函數(shù)在［

?

?

12

7

12

，

］上遞減，又因函數(shù)的周期為

?

，所以函數(shù)

的遞減區(qū)間為

????kkkZ?

?

?

?

12

7

12

，]()

。同理，增區(qū)間為

[]()kkkZ???

?

???

5

1212

，

。

^`

點評：五點法作圖，要抓住要害，即抓住五個關(guān)鍵點，使函數(shù)式中的

??x?

取0、

?

2

、

?

、

3

2

?

、

2?

，然后求出相應(yīng)的x，y值。

例7.如圖是函數(shù)

yAx??sin()??

的圖象，確定A、

?

、

?

的值。

解析：顯然A＝2

T????

5

66

?

?

?()

?????

??

?

22

2

T

???yx22sin()?

解法1：由圖知當(dāng)

x??

?

6

時，y＝0

故有

22

6

0x???????

?

?()

，

???

?

3

?

所求函數(shù)解析式為

yx??22

3

sin()

?

解法2：由圖象可知將

yx?22sin

的圖象向左移

?

6

即得

yx??22

6

sin()

?

，即

yx??22

3

sin()

?

???

?

3

點評：求函數(shù)

yAx??sin()??

的解析式難點在于確定初相

?

，一般可利用圖象變換

關(guān)系和特殊值法。

【模擬試題】

1、已知

fxx(sin)?

，且

x?[]0

2

，

?

，則

f()

1

2

的值等于

A.

sin

1

2

B.

1

2

C.

?

?

6

D.

?

6

2、函數(shù)

y

x

a

a??sin()0

的定義域為

.［－1，1］

^`

C.［

?

1

3

1

3

，

］D.［－3，3］

3、在［0，

2?

］上，滿足

sinx?

1

2

的x取值范圍是

A.

[]0

6

，

?

B.

[]

??

6

5

6

，

C.

[]

??

6

2

3

，

D.

[]

5

6

?

?，

4、如圖所示，函數(shù)

yxx?cos|tan|

（

0

3

2

??x

?

且

x?

?

2

）的圖象是

5、若

x[,]

63

??

?

，則函數(shù)

2f(x)2cosxsinx1???

的值域是

A.

??1,2?

B.

??2,0?

C.

19

(31),

28

??

?

??

??

D.

1

(31),1

2

??

?

??

??

6、已知函數(shù)

yAx??sin()??

在同一周期內(nèi)，當(dāng)

x?

?

12

時，

y

最大

?2

，當(dāng)

x?

7

12

?

時，

y

最小

??2

，那么函數(shù)的解析式為（）

A.

yx??22

3

sin()

?

B.

yx??22

6

sin()

?

C.

yx??22

6

sin()

?

D.

yx??22

3

sin()

?

7、下列命題正確的是

A.

yx?sin

的圖象向右平移

?

2

得

yx??cos

的圖象

B.

yx?sin

的圖象向右平移

?

2

得

yx?cos

的圖象

C.當(dāng)

??0

時，

yx?sin

向左平移

||?

個單位可得

yx??sin()?

的圖象

^`

D.

yx??sin()2

3

?

的圖象由

yx?sin2

的圖象向左平移

?

3

個單位得到

8、函數(shù)

yx??32

3

sin()

?

的圖象，可由函數(shù)

yx?sin

的圖象經(jīng)過下述_________變換而

得到

A.向右平移

?

3

個單位，橫坐標(biāo)縮小到原來的

1

2

，縱坐標(biāo)擴大到原來的3倍

B.向左平移

?

3

個單位，橫坐標(biāo)縮小到原來的

1

2

，縱坐標(biāo)擴大到原來的3倍

C.向右平移

?

6

個單位，橫坐標(biāo)擴大到原來的2倍，縱坐標(biāo)縮小到原來的

1

3

D.向左平移

?

6

個單位，橫坐標(biāo)縮小到原來的

1

2

，縱坐標(biāo)縮小到原來的

1

3

9、若

sinx

m

m

?

?

?

21

32

，且

xR?

，則m的取值范圍是___________

10、函數(shù)

yx??3

1

24

sin()

?

的最小正周期是_________

振幅是_________，當(dāng)

x?

_________時，

y

max

?

__________

當(dāng)

x?

___________時，

y

min

?

__________

11、函數(shù)

yx??sin()2

5

2

?

的圖象的對稱軸方程為____________

12、若函數(shù)

yabsinx??

的最大值為

3

2

，最小值為

1

2

?

，求函數(shù)

y4asinbx??

的最值

和最小正周期。

13、求函數(shù)

ysin(4x)

6

?

??

的振幅、周期、相位和單調(diào)區(qū)間。

14、如圖為某三角函數(shù)圖象的一段：

（1）用正弦函數(shù)寫出其解析式；（2）求與這個函數(shù)關(guān)于直線

x2??

對稱的函數(shù)解析式。

x

y

0

－3

3

3

?

13

3

?

^`

【試題答案】

1～8：DABCDAAB

9、

1

m3,m

5

????或

10、

3

4,3,4k(kZ),3,4k(kZ),3

22

??

????????

11、

k

x(kZ)

2

?

??

12、由題意，得：

3

a|b|

2

1

a|b|

2

?

??

?

?

?

?

???

?

?

，解得

1

a,|b|1

2

??

，所以

y4asinbx??

的最大值是2，

最小值是－2，最小正周期T＝2π

13、振幅是1，周期是

2

?

，相位是

4x

6

?

?

，單調(diào)增區(qū)間是

kk

[,](kZ)

26212

????

???

,單

調(diào)減區(qū)間是

kk

[,](kZ)

21223

????

???

14、（1）

1

y3sin(x)

26

?

??

（2）

1

y3sin(x)

26

?

???