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總結歸納方差的性質

總結歸納方差的性質[1]

在中國古代，數學叫作算術，又稱算學，最后才改為數學.以下

是精品學習網為大家的高中數學方差公式，希望可以解決您所遇到的

相關問題，加油，精品學習網一直陪伴您。

一.方差的概念與計算公式

例1兩人的5次測驗成績如下：

X：50，100，100，60，50E(X)=72;

Y：73，70，75，72，70E(Y)=72。

平均成績相同，但X不穩定，對平均值的偏離大。

方差描述隨機變量對于數學期望的偏離程度。

單個偏離是

消除符號影響

方差即偏離平方的均值，記為D(X)：

直接計算公式分離散型和連續型，具體為：

這里是一個數。推導另一種計算公式

得到：“方差等于平方的均值減去均值的平方”。

其中，分別為離散型和連續型計算公式。稱為標準差或均方差，

方差描述波動

二.方差的性質

1.設C為常數，則D(C)=0(常數無波動);

2.D(CX)=C2D(X)(常數平方提取);

證：

特別地D(-X)=D(X),D(-2X)=4D(X)(方差無負值)

特別地

獨立前提的逐項求和，可推廣到有限項。

方差公式：

平均數：M=(x1+x2+x3+…+xn)/n(n表示這組數據個數，x1、x2、

x3……xn表示這組數據具體數值)

方差公式：S?=〈(M-x1)?+(M-x2)?+(M-x3)?+…+(M-xn)?〉╱n

三.常用分布的方差

1.兩點分布

2.二項分布

X~B(n,p)

引入隨機變量Xi(第i次試驗中A出現的次數，服從兩點分布)，

3.泊松分布(推導略)

4.均勻分布

另一計算過程為

5.指數分布(推導略)

6.正態分布(推導略)

7.t分布:其中X~T(n)，E(X)=0;D(X)=n/(n-2);

8.F分布：其中X~F(m,n),E(X)=n/(n-2);

~

正態分布的后一參數反映它與均值的偏離程度，即波動程度(隨

機波動)，這與圖形的特征是相符的

總結歸納方差的性質[2]

第一章實數

一、重要概念1.數的分類及概念數系表：

說明："分類"的原則：1)相稱(不重、不漏)2)有標準

2.非負數：正實數與零的統稱。(表為：x≥0)

性質：若干個非負數的和為0，則每個非負數均為0。

3.倒數：①定義及表示法

②性質：A.a≠1/a(a≠±1);B.1/a中，a≠0;C.01;a>1時，

1/a<1;D.積為1。

4.相反數：①定義及表示法

②性質：A.a≠0時，a≠-a;B.a與-a在數軸上的位置;C.和為

0,商為-1。

5.數軸：①定義("三要素")

②作用：A.直觀地比較實數的大小;B.明確體現絕對值意義;C.

建立點與實數的一一對應關系。

6.奇數、偶數、質數、合數(正整數-自然數)

定義及表示：

奇數：2n-1

偶數：2n(n為自然數)

7.絕對值：①定義(兩種)：

代數定義：

幾何定義：數a的絕對值頂的幾何意義是實數a在數軸上所對

應的點到原點的距離。

②│a│≥0,符號"││"是"非負數"的標志;③數a的絕對值只

有一個;④處理任何類型的題目，只要其中有"││"出現，其關鍵一

步是去掉"││"符號。

二、實數的運算

1.運算法則(加、減、乘、除、乘方、開方)

2.運算定律(五個-加法[乘法]交換律、結合律;[乘法對加法的]

分配律)

3.運算順序：A.高級運算到低級運算;B.(同級運算)從"左"

到"右"(如5÷×5);C.(有括號時)由"小"到"中"到"大"。

三、應用舉例(略)

附：典型例題

1.已知：a、b、x在數軸上的位置如下圖，求證：│x-a││x-b

│

=b-a.

2.已知：a-b=-2且ab<0，(a≠0，b≠0)，判斷a、b的符號。

第二章代數式

★重點★代數式的有關概念及性質，代數式的運算

☆內容提要☆

一、重要概念

分類：

1.代數式與有理式

用運算符號把數或表示數的字母連結而成的式子，叫做代數式。

單獨

的一個數或字母也是代數式。

整式和分式統稱為有理式。

2.整式和分式

含有加、減、乘、除、乘方運算的代數式叫做有理式。

沒有除法運算或雖有除法運算但除式中不含有字母的有理式叫

做整式。

有除法運算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。

3.單項式與多項式

沒有加減運算的整式叫做單項式。(數字與字母的積-包括單獨

的一個數或字母)

幾個單項式的和，叫做多項式。

說明：①根據除式中有否字母，將整式和分式區別開;根據整式

中有否加減運算，把單項式、多項式區分開。②進行代數式分類時，

是以所給的代數式為對象，而非以變形后的代數式為對象。劃分代數

式類別時，是從外形來看。如，

=x,=│x│等。

4.系數與指數

區別與聯系：①從位置上看;②從表示的意義上看

5.同類項及其合并

條件：①字母相同;②相同字母的指數相同

合并依據：乘法分配律

6.根式

表示方根的代數式叫做根式。

含有關于字母開方運算的代數式叫做無理式。

注意：①從外形上判斷;②區別：、是根式，但不是無理式(是

無理數)。

7.算術平方根

⑴正數a的正的平方根([a≥0-與"平方根"的區別]);

⑵算術平方根與絕對值

①聯系：都是非負數，=│a│

②區別：│a│中，a為一切實數;中，a為非負數。

8.同類二次根式、最簡二次根式、分母有理化

化為最簡二次根式以后，被開方數相同的二次根式叫做同類二

次根式。

滿足條件：①被開方數的因數是整數，因式是整式;②被開方數

中不含有開得盡方的因數或因式。

把分母中的根號劃去叫做分母有理化。

9.指數

⑴(-冪冪，乘方運算)

①a>0時，>0;②a0(n是偶數)，<0(n是奇數)

⑵零指數：=1(a≠0)

負整指數：=1/(a≠0,p是正整數)

二、運算定律、性質、法則

1.分式的加、減、乘、除、乘方、開方法則

2.分式的性質

⑴基本性質：=(m≠0)

⑵符號法則：

⑶繁分式：①定義;②化簡方法(兩種)

3.整式運算法則(去括號、添括號法則)

4.冪的運算性質：①o=;②÷=;③=;④=;⑤

技巧：

5.乘法法則：⑴單×單;⑵單×多;⑶多×多。

6.乘法公式：(正、逆用)

(ab)(a-b)=

(a±b)=

7.除法法則：⑴單÷單;⑵多÷單。

8.因式分解：⑴定義;⑵方法：A.提公因式法;B.公式法;C.十字

相乘法;D.分組分解法;E.求根公式法。

9.算術根的性質：=;;(a≥0,b≥0);(a≥0,b>0)(正用、逆用)

10.根式運算法則：⑴加法法則(合并同類二次根式);⑵乘、除

法法則;⑶分母有理化：A.;B.;C..

11.科學記數法：(1≤a

三、應用舉例(略)

四、數式綜合運算(略)

第三章統計初步

★重點★

☆內容提要☆

一、重要概念

1.總體：考察對象的全體。

2.個體：總體中每一個考察對象。

3.樣本：從總體中抽出的一部分個體。

4.樣本容量：樣本中個體的數目。

5.眾數：一組數據中，出現次數最多的數據。

6.中位數：將一組數據按大小依次排列，處在最中間位置的一

個數(或最中間位置的兩個數據的平均數)

二、計算方法

1.樣本平均數：⑴;⑵若，，…，,則(a-常數，，，…，接近較

整的常數a);⑶加權平均數：;⑷平均數是刻劃數據的集中趨勢(集中

位置)的特征數。通常用樣本平均數去估計總體平均數，樣本容量越

大，估計越準確。

2.樣本方差：⑴;⑵若,,…,,則(a-接近、、…、的平均數的較"

整"的常數);若、、…、較"小"較"整"，則;⑶樣本方差是刻劃數據的

離散程度(波動大小)的特征數，當樣本容量較大時，樣本方差非常接

近總體方差，通常用樣本方差去估計總體方差。

3.樣本標準差：

三、應用舉例(略)

第四章直線形

★重點★相交線與平行線、三角形、四邊形的有關概念、判定、

性質。

☆內容提要☆

一、直線、相交線、平行線

1.線段、射線、直線三者的區別與聯系

從"圖形"、"表示法"、"界限"、"端點個數"、"基本性質"等方

面加以分析。

2.線段的中點及表示

3.直線、線段的基本性質(用"線段的基本性質"論證"三角形兩

邊之和大于第三邊")

4.兩點間的距離(三個距離：點-點;點-線;線-線)

5.角(平角、周角、直角、銳角、鈍角)

6.互為余角、互為補角及表示方法

7.角的平分線及其表示

8.垂線及基本性質(利用它證明"直角三角形中斜邊大于直角邊

")

9.對頂角及性質

10.平行線及判定與性質(互逆)(二者的區別與聯系)

11.常用定理：①同平行于一條直線的兩條直線平行(傳遞性);

②同垂直于一條直線的兩條直線平行。

12.定義、命題、命題的組成

13.公理、定理

14.逆命題

二、三角形

分類：⑴按邊分;

⑵按角分

1.定義(包括內、外角)

2.三角形的邊角關系：⑴角與角：①內角和及推論;②外角和;

③n邊形內角和;④n邊形外角和。⑵邊與邊：三角形兩邊之和大于第

三邊，兩邊之差小于第三邊。⑶角與邊：在同一三角形中，

3.三角形的主要線段

討論：①定義②××線的交點-三角形的×心③性質

①高線②中線③角平分線④中垂線⑤中位線

⑴一般三角形⑵特殊三角形：直角三角形、等腰三角形、等邊

三角形

4.特殊三角形(直角三角形、等腰三角形、等邊三角形、等腰直

角三角形)的判定與性質

5.全等三角形

⑴一般三角形全等的判定(SAS、ASA、AAS、SSS)

⑵特殊三角形全等的判定：①一般方法②專用方法

6.三角形的面積

⑴一般計算公式⑵性質：等底等高的三角形面積相等。

7.重要輔助線

⑴中點配中點構成中位線;⑵加倍中線;⑶添加輔助平行線

8.證明方法

⑴直接證法：綜合法、分析法

⑵間接證法-反證法：①反設②歸謬③結論

⑶證線段相等、角相等常通過證三角形全等

⑷證線段倍分關系：加倍法、折半法

⑸證線段和差關系：延結法、截余法

⑹證面積關系：將面積表示出來

三、四邊形

分類表：

1.一般性質(角)

⑴內角和：360°

⑵順次連結各邊中點得平行四邊形。

推論1：順次連結對角線相等的四邊形各邊中點得菱形。

推論2：順次連結對角線互相垂直的四邊形各邊中點得矩形。

⑶外角和：360°

2.特殊四邊形

⑴研究它們的一般方法:

⑵平行四邊形、矩形、菱形、正方形;梯形、等腰梯形的定義、

性質和判定

⑶判定步驟：四邊形→平行四邊形→矩形→正方形

┗→菱形--↑

⑷對角線的紐帶作用：

3.對稱圖形

⑴軸對稱(定義及性質);⑵中心對稱(定義及性質)

4.有關定理：①平行線等分線段定理及其推論1、2

②三角形、梯形的中位線定理

③平行線間的距離處處相等。(如，找下圖中面積相等的三角形)

5.重要輔助線：①常連結四邊形的對角線;②梯形中常"平移一

腰"、"平移對角線"、"作高"、"連結頂點和對腰中點并延長與底邊相

交"轉化為三角形。

6.作圖：任意等分線段。

初三年級上冊數學知識點歸納總結：

第五章方程(組)

★重點★一元一次、一元二次方程，二元一次方程組的解法;

方程的有關應用題(特別是行程、工程問題)

☆內容提要☆

一、基本概念

1.方程、方程的解(根)、方程組的解、解方程(組)

2.分類：

二、解方程的依據-等式性質

1.a=b←→ac=bc

2.a=b←→ac=bc(c≠0)

三、解法

1.一元一次方程的解法：去分母→去括號→移項→合并同類項

→

系數化成1→解。

2.元一次方程組的解法：⑴基本思想："消元"⑵方法：①代入

法

②加減法

四、一元二次方程

1.定義及一般形式：

2.解法：⑴直接開平方法(注意特征)

⑵配方法(注意步驟-推倒求根公式)

⑶公式法：

⑷因式分解法(特征：左邊=0)

3.根的判別式：

4.根與系數頂的關系：

逆定理：若，則以為根的一元二次方程是：。

5.常用等式：

五、可化為一元二次方程的方程

1.分式方程

⑴定義

⑵基本思想：

⑶基本解法：①去分母法②換元法(如，)

⑷驗根及方法

2.無理方程

⑴定義

⑵基本思想：

⑶基本解法：①乘方法(注意技巧!!)②換元法(例，)⑷驗根及

方法

3.簡單的二元二次方程組

由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的二元二次方程

組都可用代入法解。

六、列方程(組)解應用題

一概述

列方程(組)解應用題是中學數學聯系實際的一個重要方面。其

具體步驟是：

⑴審題。理解題意。弄清問題中已知量是什么，量是什么，問

題給出和涉及的相等關系是什

么。

⑵設元(數)。①直接數②間接數(往往二者兼用)。一般來說，

數越多，方程越易列，但越難解。

⑶用含數的代數式表示相關的量。

⑷尋找相等關系(有的由題目給出，有的由該問題所涉及的等量

關系給出)，列方程。一般地，數個數與方程個數是相同的。

⑸解方程及檢驗。

⑹答案。

綜上所述，列方程(組)解應用題實質是先把實際問題轉化為數

學問題(設元、列方程)，在由數學問題的解決而導致實際問題的解決

(列方程、寫出答案)。在這個過程中，列方程起著承前啟后的作用。

因此，列方程是解應用題的關鍵。

二常用的相等關系

1.行程問題(勻速運動)

基本關系：s=vt

⑴相遇問題(同時出發)：

⑵追及問題(同時出發)：

若甲出發t小時后，乙才出發，而后在B處追上甲，則

⑶水中航行：;

2.配料問題：溶質=溶液×濃度

溶液=溶質溶劑

3.增長率問題：

4.工程問題：基本關系：工作量=工作效率×工作時間(常把工

作量看著單位"1")。

5.幾何問題：常用勾股定理，幾何體的面積、體積公式，相似

形及有關比例性質等。

三注意語言與解析式的互化

如，"多"、"少"、"增加了"、"增加為(到)"、"同時"、"擴大為

(到)"、"擴大了"、……

又如，一個三位數，百位數字為a，十位數字為b，個位數字為

c，則這個三位數為：100a10bc，而不是abc。

四注意從語言敘述中寫出相等關系。

如，x比y大3，則x-y=3或x=y3或x-3=y。又如，x與y的差

為3，則x-y=3。五注意單位換算

如，"小時""分鐘"的換算;s、v、t單位的一致等。

七、應用舉例(略)

第六章一元一次不等式(組)

★重點★一元一次不等式的性質、解法

☆內容提要☆

1.定義：a>b、a

2.一元一次不等式：ax>b、ax

3.一元一次不等式組：

4.不等式的性質：⑴a>b←→ac>bc

⑵a>b←→ac>bc(c>0)

⑶a>b←→ac

⑷(傳遞性)a>b,b>c→a>c

⑸a>b,c>d→ac>bd.

5.一元一次不等式的解、解一元一次不等式

6.一元一次不等式組的解、解一元一次不等式組(在數軸上表示

解集)

7.應用舉例(略)

第七章相似形

★重點★相似三角形的判定和性質

☆內容提要☆

一、本章的兩套定理

第一套(比例的有關性質)：

涉及概念：①第四比例項②比例中項③比的前項、后項，比的

內項、外項④黃金分割等。

第二套：

注意：①定理中"對應"二字的含義;

②平行→相似(比例線段)→平行。

二、相似三角形性質

1.對應線段…;2.對應周長…;3.對應面積…。

三、相關作圖

①作第四比例項;②作比例中項。

四、證(解)題規律、輔助線

1."等積"變"比例"，"比例"找"相似"。

2.找相似找不到，找中間比。方法：將等式左右兩邊的比表示

出來

3.添加輔助平行線是獲得成比例線段和相似三角形的重要途徑。

4.對比例問題，常用處理方法是將"一份"看著k;對于等比問題，

常用處理辦法是設"公比"為k。

5.對于復雜的幾何圖形，采用將部分需要的圖形(或基本圖形)"

抽"出來的辦法處理。

五、應用舉例(略)

第八章函數及其圖象

★重點★正、反比例函數，一次、二次函數的圖象和性質。

☆內容提要☆

一、平面直角坐標系

1.各象限內點的坐標的特點

2.坐標軸上點的坐標的特點

3.關于坐標軸、原點對稱的點的坐標的特點

4.坐標平面內點與有序實數對的對應關系

二、函數

1.表示方法：⑴解析法;⑵列表法;⑶圖象法。

2.確定自變量取值范圍的原則：⑴使代數式有意義;⑵使實際問

題有

意義。

3.畫函數圖象：⑴列表;⑵描點;⑶連線。

三、幾種特殊函數

(定義→圖象→性質)

1.正比例函數

⑴定義：y=kx(k≠0)或y/x=k。

⑵圖象：直線(過原點)

⑶性質：①k>0，…②k<0，…

2.一次函數

⑴定義：y=kxb(k≠0)

⑵圖象：直線過點(0,b)-與y軸的交點和(-b/k,0)-與x軸的交

點。

⑶性質：①k>0,…②k<0,…

⑷圖象的四種情況：

3.二次函數

⑴定義：特殊地，都是二次函數。

⑵圖象：拋物線(用描點法畫出：先確定頂點、對稱軸、開口方

向，再對稱地描點)。用配方法變為，則頂點為(h,k);對稱軸為直線

x=h;a>0時，開口向上;a<0時，開口向下。

⑶性質：a>0時，在對稱軸左側…，右側…;a<0時，在對稱軸

左側…，右側…。

4.反比例函數

⑴定義：或xy=k(k≠0)。

⑵圖象：雙曲線(兩支)-用描點法畫出。

⑶性質：①k>0時，圖象位于…，y隨x…;②k<0時，圖象位于…，

y隨x…;③兩支曲線無限接近于坐標軸但永遠不能到達坐標軸。

四、重要解題方法

1.用待定系數法求解析式(列方程[組]求解)。對求二次函數的

解析式，要合理選用一般式或頂點式，并應充分運用拋物線關于對稱

軸對稱的特點，尋找新的點的坐標。如下圖：

2.利用圖象一次(正比例)函數、反比例函數、二次函數中的k、

b;a、b、c的符號。

六、應用舉例(略)

第九章解直角三角形

★重點★解直角三角形

☆內容提要☆

一、三角函數

1.定義：在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，則sinA=;cosA=;tgA=;ctgA=.

2.特殊角的三角函數值：

0°30°45°60°90°

sinα

cosα

tgα/

ctgα/

3.互余兩角的三角函數關系：sin(90°-α)=cosα;…

4.三角函數值隨角度變化的關系

5.查三角函數表

二、解直角三角形

1.定義：已知邊和角(兩個，其中必有一邊)→所有的邊和角。

2.依據：①邊的關系：

②角的關系：AB=90°

③邊角關系：三角函數的定義。

注意：盡量避免使用中間數據和除法。

三、對實際問題的處理

1.俯、仰角：2.方位角、象限角：3.坡度：

4.在兩個直角三角形中，都缺解直角三角形的條件時，可用列

方程的辦法解決。

四、應用舉例(略)

第十章圓

★重點★①圓的重要性質;②直線與圓、圓與圓的位置關系;③

與圓有關的角的定理;④與圓有關的比例線段定理。

☆內容提要☆

一、圓的基本性質

1.圓的定義(兩種)

2.有關概念：弦、直徑;弧、等弧、優弧、劣弧、半圓;弦心距;

等圓、同圓、同心圓。

3."三點定圓"定理

4.垂徑定理及其推論

5."等對等"定理及其推論

5.與圓有關的角：⑴圓心角定義(等對等定理)

⑵圓周角定義(圓周角定理，與圓心角的關系)

⑶弦切角定義(弦切角定理)

二、直線和圓的位置關系

1.三種位置及判定與性質：

2.切線的性質(重點)

3.切線的判定定理(重點)。圓的切線的判定有⑴…⑵…

4.切線長定理

三、圓換圓的位置關系

1.五種位置關系及判定與性質：(重點：相切)

2.相切(交)兩圓連心線的性質定理

3.兩圓的公切線：⑴定義⑵性質

四、與圓有關的比例線段

1.相交弦定理

2.切割線定理

五、與和正多邊形

1.圓的內接、外切多邊形(三角形、四邊形)

2.三角形的外接圓、內切圓及性質

3.圓的外切四邊形、內接四邊形的性質

4.正多邊形及計算

中心角：

內角的一半：(右圖)

(解Rt△OAM可求出相關元素,、等)

六、一組計算公式

1.圓周長公式

2.圓面積公式

3.扇形面積公式

4.弧長公式

5.弓形面積的計算方法

6.圓柱、圓錐的側面展開圖及相關計算

七、點的軌跡

六條基本軌跡

八、有關作圖

1.作三角形的外接圓、內切圓

2.平分已知弧

3.作已知兩線段的比例中項

4.等分圓周：4、8;6、3等分

九、基本圖形

十、重要輔助線

1.作半徑

2.見弦往往作弦心距

3.見直徑往往作直徑上的圓周角

4.切點圓心莫忘連

5.兩圓相切公切線(連心線)

6.兩圓相交公共弦