不等式的基本公式

三角形內角的嵌入不等式三角形內角的嵌入不等式，在不至于引起歧義的情況下簡稱嵌入不等式。該不等式指出，若A、B、C是一個三角形

的三個內角，則對任意實數x、y、z，有：

算術-幾何平均值不等式在數學中，算術-幾何平均值不等式是一個常見而基本的不等式，表現了兩類平均數：算術平均數和幾何平均數之間

恒定的不

等關系。設為n個正實數，它們的算術平均數是，它們的幾何平均數是

。算術-幾何平均值不等式表明，對任意的正實數，總有：

等號成立當且僅當。

算術-幾何平均值不等式僅適用于正實數，是對數函數之凹性的體現，在數學、自然科學、工程科學以及經濟學等其它學科都有應用。

算術-幾何平均值不等式經常被簡稱為平均值不等式（或均值不等式），盡管后者是一組包括它的不等式的合稱。

例子在n=4的情況，設:，那么可見。

歷史上的證明歷史上，算術-幾何平均值不等式擁有眾多證明。n=2的情況很早就為人所知，但對于一般的n，不等式并不容易證明。1729

年，英國數學家麥克勞林最早給出了一般情況的證明，用的是調整法，然而這個證明并不嚴謹，是錯誤的。

柯西的證明

1821年，法國數學家柯西在他的著作《分析教程》中給出了一個使用逆向歸納法的證明[1]

：

1.當n=2時，P2顯然成立。

2.假設Pn成立，那么P2n成立。證明：對于2n個正實數，

綜合以上三點，就可以得到結論：對任意的自然數，命題Pn都成立。這是因為由前兩條可以得到：對任意的自然

數k，命題都成立。因此對任意的，可以先找k使得，再結合第三條就可以得到命題Pn成立了。

歸納法的證明

使用常規數學歸納法的證明則有喬治·克里斯托(GeorgeChrystal)在其著作《代數論》(algebra)的第二卷中給出的

[2]

：

根據二項式定理，

命題Pn：對任意的n個正實數

3.假設Pn成立，那么Pn-1成立。證明：對于

n-1個正實數，設

，那么由于Pn成立

但是，因此上式正好變成

由對稱性不妨設xn+1是中最大的，由于

，設，則

并且有

。

于是完成了從n到n+1的證明。

此外還有更簡潔的歸納法證明

[3]：

在n的情況下有不等式和成立，于是：

所以，從而有

。

基于琴生不等式的證明

注意到幾何平均數實際上等于，因此算術-幾何平均不等式等價于：

。

由于對數函數是一個凹函數，由琴生不等式可知上式成立。

此外還有基于排序不等式、伯努利不等式或借助調整法、輔助函數求導和加強命題的證明。

推廣

算術-幾何平均不等式有很多不同形式的推廣。

加權算術-幾何平均不等式

不僅“均勻”的算術平均數和幾何平均數之間有不等式，加權的算術平均數和幾何平均數之間也有不等式。設

和為正實數，并且，那么：

。

加權算術-幾何平均不等式可以由琴生不等式得到。

矩陣形式

算術-幾何平均不等式可以看成是一維向量的系數的平均數不等式。對于二維的矩陣，一樣有類似的不等式：正實數的矩陣

對于系數都是

也就是說：對k個縱列取算術平均數，它們的幾何平均大于等于對n個橫行取的n個幾何平均數的算術平均。極限形式

也稱為積分形式：對任意在區間[0,1]上可積的正值函數f，都有

兩邊的黎曼和中的n趨于無窮大后得到的形式。

伯努利不等式

數學中的伯努利不等式是說：對任意整數，和任意實數，

；

；

如果是偶數，則不等式對任意實數x成立。

可以看到在n=0,1，或x=0時等號成立，而對任意正整數和任意實數，，有嚴格不等式：

伯努利不等式經常用作證明其他不等式的關鍵步驟。

[編輯]證明和推廣伯努利不等式可以用數學歸納法證明：當n=0,1，不等式明顯成立。假設不等式對正整數n，實數

。

下面是推廣到實數冪的版本：如果x>-1，那么：

若或，有；

若，有。

這不等式可以用導數比較來證明：

時成立，那么

設

，那么有：

這實際上是在算術-幾何平均值不等式取成

當r=0,1時，等式顯然成立。

在上定義f(x)=(1+x)r-(1+rx)，其中，對x微分得f'(x)=r(1+x)r-1-r，則f'(x)=0當且僅

當x=0。分情況討論：

00，f'(x)<0；對-10。因此f(x)在x=0時取最大值0，故得

。

r<0或r>1，則對x>0，f'(x)>0；對-1

。

在這兩種情況，等號成立當且僅當x=0。

[編輯]相關不等式

下述不等式從另一邊估計(1+x)r：對任意x,r>0，都有

幾何學的佩多不等式，是關連兩個三角形的不等式，以唐·佩多(DonPedoe)命名。這不等式指出：如果第一個三角形的邊長為a,b,c，面積

為f，第二個三角形的邊長為A,B,C，面積為F，那么：

，

等式成立當且僅當兩個三角形為一對相似三角形，對應邊成比例；

也就是a/A=b/B=c/C。

[編輯]證明

由海倫公式，兩個三角形的面積可用邊長表示為

16f2=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(b+c-a)=(a2+b2+c2)2-2(a4+b4+c4)

16F2=(A+B+C)(A+B-C)(A-B+C)(B+C-A)=(A2+B2+C2)2-2(A4+B4+C4),再由柯西不等式，

16Ff+2a2A2+2b2B2+2c2C2

=(a2+b2+c2)(A2+B2+C2)

于是，

=A2(b2+c2-a2)+B2(a2+c2-b2)+C2(a2+b2-c2)，命題得證。

等號成立當且僅當,也就是說兩個三角形相似。

ABC是第一個三角形，A'B'C'是取相似后的第二個三角形，BC與B'C'重合

幾何證法

三角形的面積與邊長的平方成正比，因此在要證的式子兩邊同乘一個系數λ2

，使得λA=a，幾何意義是將第二個三角形取

相似（如右圖）。

設這時A、B、C變成x、y、z，F變成F'。

考慮AA'的長度。由余弦公式，

,代入就變成：

兩邊化簡后同時乘以，并注意到a=x，就可得到原不等式。

等號成立當且僅當A與A'重合，即兩個三角形相似。

內斯比特不等式

[編輯]證明此不等式證明方法很多，例如從平均數不等式我們有：

，

移項得出：

整理左式：

因而不等式得證。

如圖，埃爾德什-莫德爾不等式說明點O到三個頂點的距離之和（綠色線段）大于到三邊距離之和（藍色線段）的兩倍

在幾何學中，埃爾德什-莫德爾不等式是一個二十世紀初期發現的不等式。埃爾德什-莫德爾不等式說明了：對于任何三角形

ABC和其內部的一點O，點O到三角形三條邊的距離之和總是小于或等于點O到三角形的三個頂點的距離之和的一半。

埃爾德什-莫德爾不等式可以認為是幾何學中的歐拉定理的一個推廣。歐拉定理聲稱三角形外接圓的半徑總是大于等于內切圓

半徑的兩倍。

[編輯]歷史

該不等式最早由埃爾德什在1935年在《美國數學月刊》上提出，作為第3740號問題。兩年之后，由路易斯·莫德爾和D.F.巴羅證明。1957

年，卡扎里諾夫提出了一個更簡捷的證明

[1]。之后不斷有更簡潔、更基本的證明出現。1958年班考夫（Bankoff）給出了運用正交投影和相似

三角形的證明，1997年和2004年出現了使用面積不等式的證明，1993年和2001年發現了根據托勒密定理的證明。

[編輯]證明

如右圖，O為三角形ABC中的一個點。O到三角形三邊的垂線分別交三條邊于D、E、F。設線段OA、OB、OC的長度分別是x、y、z，線

段OD、OE、OF的長度分別是p、q、r，那么埃爾德什-莫德爾不等式為：

一個初等的證明方式是使用三角函數以及均值不等式。

首先，由于OF垂直于AF，OE垂直于AE，A、F、O、E四點共圓且OA為直徑，因此線段（角A為頂點A對應的內角）。

過點F、E作關于BC的垂線交BC于X、Y。過O作BC的平行線分別交FX、EY于U、V。由于OF垂直于AF，OE垂直于

AE，，。于是：

另一方面，注意到在直角梯形中FUVE中，斜腰EF的長度大于等于直角腰UV。因此：

類似地，還有：

，

三式相加，得到：

根據均值不等式，

這就是埃爾德什-莫德爾不等式。

是最終得到：

外森比克不等式設三角形的邊長為a,b,c，面積為A，則外森比克不等式(Weitzenb?ck'sinequality

當且僅當三角形為等邊三角形，等號成立。佩多不等式是外森比克不等式的推廣。

[編輯]證明一

除了“所有平方數非負”以外，這個證明不用到其它任何不等式。

兩邊取平方根，即得證。

舒爾不等式

舒爾不等式說明，對于所有的非負實數x、y、z和正數t，都有：

當且僅當x=y=z，或其中兩個數相等而另外一個為零時，等號“=t”是成正立的。偶當數時，不等式對所有的實數

x、y

和z都成立。

[編輯]證明由于不等式是對稱的，我們不妨設。則不等式

顯然成立，這是因為左邊的每一項都是非負的。把它整理，即得舒爾不等式。

[編輯]推廣舒爾不等式有一個推廣：

)成立。

假設a、b、c是正的實數。如果（a，b，c）和（x，y，z）是順序的，則以下的不等式成立：

2007年，羅馬尼亞數學家ValentinVornicu證明了一個更一般的形式：

考慮，其中，而且要么，要么。設，并設

要么是凸函數，要么是單調函數。那么：

當x=a、y=b、z=c、k=1、?（m）=mr時，即化為舒爾不等式。[1]