數(shù)學(xué)史論文

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*********大學(xué)

*********專業(yè)?數(shù)學(xué)史?論文

函數(shù)概念的開展

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函數(shù)概念的開展

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〔*********大學(xué)*********學(xué)院*********專業(yè)***級*班〕

摘要：函數(shù)概念是全部數(shù)學(xué)最重要的概念之一，它幾乎滲透到每一個數(shù)

學(xué)分支，因此考察函數(shù)概念的開展歷史及其演變過程，無疑有助于我們

更深刻、更全面地理解函數(shù)的本質(zhì)，并且從中得到有益的方法論啟示。

本文主要論述了函數(shù)的三種定義：變量說、對應(yīng)說和關(guān)系說，以及函數(shù)

的演變歷史，說明函數(shù)概念的歷史映射了整個數(shù)學(xué)的開展史。

關(guān)鍵詞：函數(shù)概念；變量說；對應(yīng)說；關(guān)系說；開展史

一、早期的函數(shù)概念—變量說

馬克思曾認(rèn)為，函數(shù)概念是源于代數(shù)中自羅馬時代就已經(jīng)開場的不定方程的研

究，那時，偉大的數(shù)學(xué)家丟番圖對不定方程的研究已有相當(dāng)程度，據(jù)此，可以認(rèn)為

函數(shù)概念至少在那時已經(jīng)萌芽。實(shí)際上作為變量和函數(shù)的樸素概念，幾乎和數(shù)學(xué)源

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于同一時期，因為數(shù)學(xué)家在研究物體的大小及位置關(guān)系時，自然會導(dǎo)致通常稱為函

數(shù)關(guān)系的那種附屬關(guān)系。但是，真正導(dǎo)致函數(shù)概念得以迅速開展那么是在16世紀(jì)以

后，特別是由于微積分的建立，伴隨這一學(xué)科的產(chǎn)生、開展和完善，函數(shù)概念也經(jīng)

歷了產(chǎn)生、開展和完善的演變過程。

十七世紀(jì)伽俐略(g．galileo，意，1564－1642)在?兩門新科學(xué)?一書中，幾乎從頭

到尾包含著函數(shù)或稱為變量的關(guān)系這一概念，用文字和比例的語言表達(dá)函數(shù)的關(guān)系。

1673年前后笛卡爾(descartes，法，1596－1650)在他的解析幾何中，已經(jīng)注意到了一

個變量對于另一個變量的依賴關(guān)系，但由于當(dāng)時尚未意識到需要提煉一般的函數(shù)概

念。

到了17世紀(jì)，牛頓在創(chuàng)立微積分的過程中一直用“流量〞一詞來表示變量之

間的依賴關(guān)系，并且從運(yùn)動的角度，把曲線看成是動點(diǎn)的軌跡。他在?求曲邊形的面

積?中說：“我認(rèn)為這里的數(shù)學(xué)量，不是由小塊合成的，而是由連續(xù)運(yùn)動描出的，線(曲

線)是描畫出來的，因而它的產(chǎn)生不是由于湊零為整，而是由于點(diǎn)的連續(xù)運(yùn)動…〞格

雷果里在他的論文?論圓和雙曲線的求積?中，給出函數(shù)這一模式的素樸描述，他定

義函數(shù)是從一些其它的量經(jīng)過一系列代數(shù)運(yùn)算而得到的量，或者是經(jīng)過任何其它可

以想象到的運(yùn)算而得到的。據(jù)他自己解釋，這里的“可以想象到的運(yùn)算，除了加、

減、乘、除和開方外，還有極限運(yùn)算。格雷果里給出的是函數(shù)的解析定義，由于此

后不久就證明這一定義太狹窄，也就逐漸被人們遺忘。

"函數(shù)"作為數(shù)學(xué)術(shù)語是由微積分的另一位創(chuàng)立者萊布尼茲于1673年引進(jìn)的,他

用"函數(shù)"一詞表示任一個隨著曲線上的點(diǎn)變動的量,并指出:"象曲線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)、

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縱坐標(biāo)、切線的長度、垂線的長度等,所有與曲線上的點(diǎn)有關(guān)的量稱為函數(shù)."除此以

外,他還引進(jìn)了“常量〞、“變量〞和“參變量〞等概念,一直沿用到現(xiàn)在,這個定義僅

是在幾何圍提醒某些量之問所存在的依賴關(guān)系,并無給出函數(shù)的解析定義,因此,萊布

尼茲所給出的函數(shù)的定義可看成是“函數(shù)概念的幾何起源"。

總之，到了17世紀(jì)末，人們還沒有從普遍意義上對函數(shù)這一概念的本質(zhì)認(rèn)識

清楚。

二、函數(shù)概念的開展階段—對應(yīng)說

正如所知,微積分是一門研究變量和函數(shù)的學(xué)科。盡管牛頓和萊布尼茲創(chuàng)立了微

積分，但由于他們對包括函數(shù)在的一些根本概念，特別是對微積分賴以建立的根底

一無窮小量的認(rèn)識含混不清，出現(xiàn)了運(yùn)算過程中的邏輯矛盾，導(dǎo)致了數(shù)學(xué)開展史上

所謂的第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。從而促使了數(shù)學(xué)家進(jìn)一步尋找微積分可靠的根底，在這艱

辛的探索過程中，函數(shù)自然也就成為數(shù)學(xué)家必須研究的對象。

第一個在萊布尼茲工作的根底上作出函數(shù)概念推廣的是約翰·貝努里。1718年

約翰·貝努利(bernoullijohann，瑞，1667－1748)才在萊布尼茲函數(shù)概念的根底上，對

函數(shù)概念進(jìn)展了明確定義：由任一變量和常數(shù)的任一形式所構(gòu)成的量，貝努利把變

量x和常量按任何方式構(gòu)成的量叫“x的函數(shù)〞，表示為，其在函數(shù)概念中所說的

任一形式，包括代數(shù)式子和超越式子。

18世紀(jì)中葉歐拉(l．euler，瑞，1707－1783)就給出了非常形象的，一直沿用至

今的函數(shù)符號。歐拉給出的定義是：一個變量的函數(shù)是由這個變量和一些數(shù)即常數(shù)

以任何方式組成的解析表達(dá)式。他把約翰·貝努利給出的函數(shù)定義稱為解析函數(shù)，

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并進(jìn)一步把它區(qū)分為代數(shù)函數(shù)〔只有自變量間的代數(shù)運(yùn)算〕和超越函數(shù)〔三角函數(shù)、

對數(shù)函數(shù)以及變量的無理數(shù)冪所表示的函數(shù)〕，還考慮了“隨意函數(shù)〞〔表示任意畫

出曲線的函數(shù)〕，不難看出，歐拉給出的函數(shù)定義比約翰·貝努利的定義更普遍、更

具有廣泛意義。

除此之外，歐拉還規(guī)定一個給定的函數(shù)在它的整個“定義域〞是由同樣一個“解

析表達(dá)式"來描述的，這種觀點(diǎn)在數(shù)學(xué)家拉格朗日的著作中也有所表達(dá),如在他的名

著?解析函數(shù)論?中,他把函數(shù)定義為在其中可以按任何形式出現(xiàn)并對計算有用的表達(dá)

式。他在?函數(shù)計算教程?中說：“函數(shù)代表著要得到未知量的值而對量要完成的那些

不同運(yùn)算，未知量的值本質(zhì)上只是計算的最終結(jié)果。也就是說，函數(shù)是運(yùn)算的一個

組合。〞盡管后來由于歐拉、達(dá)朗貝爾和丹尼爾·貝努里在偏微分方程的研究中發(fā)

現(xiàn)：整條曲線并不能用一個方程來表示，這迫使數(shù)學(xué)家修正函數(shù)的概念，但到了18

世紀(jì)，甚至19世紀(jì)初，函數(shù)由一個解析式給出的觀點(diǎn)仍然占統(tǒng)治地位，并認(rèn)為連

續(xù)曲線給出的連續(xù)函數(shù)一定能由一個解析表達(dá)式表示，由不連續(xù)的曲線或折線所表

示的函數(shù)不可能由一個解析式表示。由于受到多項式函數(shù)的影響，即假設(shè)對于n+1

個x的值多項式01

1

1

axaxaxan

n

n

n

?????

?

?

與01

1

1

bxbxbxbn

n

n

n

?????

?

?

都相等，那

么這兩個多項式相等。人們普遍認(rèn)為，對區(qū)間

??ba，

上的一切值，恒有一樣函數(shù)值的

兩個函數(shù)是完全一樣的，而對

??ba，

以外的x值，這兩個函數(shù)的值也相等。

與此類似，由于受到三角函數(shù)特性的影響，許多數(shù)學(xué)家認(rèn)為，只有周期性的曲

線才能用周期函數(shù)來表示。在這一時期，既沒有得到任何廣泛采用的定義，也沒有

解決什么樣的函數(shù)可用三角級數(shù)來表示，

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所有這些說明，函數(shù)的概念還有待于繼續(xù)開展。

三、十九世紀(jì)的函數(shù)概念——關(guān)系說

1800年前后，數(shù)學(xué)家開場關(guān)心分析的嚴(yán)密化問題，函數(shù)概念自然也成為嚴(yán)密化

的對象。具體地表現(xiàn)在兩個方面：一方面對原來有關(guān)函數(shù)的錯誤看法和片面的觀點(diǎn)

進(jìn)展橙清糾正；另一方面繼續(xù)探討函數(shù)概念的本質(zhì)，建立含義更廣泛的函數(shù)概念第

一個沖破用解析式給出函數(shù)的觀點(diǎn)是拉克魯瓦，他在1797年給出的函數(shù)的定義是：

每一個量，如果它依賴一個或幾個別的量，不管人們知道不知道用何種必要的運(yùn)算

可以得到前者，就稱前者為這個或這些量的函數(shù)。拉克魯瓦還以五次方程的根是系

數(shù)的函數(shù)為例給出相應(yīng)的說明，這無疑對函數(shù)的概念又作出一次擴(kuò)展。

在這一時期，傅里葉對函數(shù)概念的開展做出了巨大的奉獻(xiàn)，盡管他也支持用解

析式給出函數(shù)的觀點(diǎn)，但他更深刻地提醒了函數(shù)的本質(zhì)。1822年傅里(fourier，法，

1768－1830)發(fā)現(xiàn)某些函數(shù)可用曲線表示，也可用一個式子表示，或用多個式子表示，

從而完畢了函數(shù)概念是否以唯一一個式子表示的爭論，把對函數(shù)的認(rèn)識又推進(jìn)了一

個新的層次。

1823年柯西(cauchy，法，1789－1857)從定義變量開場給出了函數(shù)的定義，指出

“人們把依次取許多互不一樣的值的量叫做變量。當(dāng)變量之網(wǎng)這樣聯(lián)系起來的時候，

即給定了這些變量中的一個值，就可以決定所有其它變量的值的時候，人們通常想

象這些量是用其中的一個來表示的，這時這個量就取名為自變量，而由這自變量表

示的其它的量就叫做這個自變量的函數(shù)。〞他同時還指出，雖然無窮級數(shù)是規(guī)定函

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數(shù)的一種有效方法，但是對函數(shù)來說不一定要有解析表達(dá)式，不過他仍然認(rèn)為函數(shù)

關(guān)系可以用多個解析式來表示，這是一個很大的局限。

1837年，出色數(shù)學(xué)家狄利克雷(dirichlet，德，1805－1859)突破了這一限制，他

給出函數(shù)數(shù)的定義是：假設(shè)對x的每一個值，有完全確定的y值與之對應(yīng)，不管建

立起的這種對應(yīng)方式如何，都稱y是x的函數(shù)。由這個定義不難看出，狄利克雷是

用對應(yīng)的觀點(diǎn)給出函數(shù)定義的，至于自變量之間的連接方式如何，即y是按照一種

或多種規(guī)律依賴于x，或者y依賴于x是否可用數(shù)學(xué)運(yùn)算表示，這是無關(guān)緊要的。

并且他還構(gòu)造一個以他自己名字命名的著名的狄利克雷函數(shù)

ax為有理數(shù)

f(x)=a、b為不同的常數(shù)

bx為無理數(shù)

上述對應(yīng)的思想是數(shù)學(xué)開場由過去研究的“算〞到以后研究“觀念〞性質(zhì)和構(gòu)

造的轉(zhuǎn)變的標(biāo)志，具有重要的理論意義。

隨后的斯鐸克斯、羅巴切夫斯基、黎曼等都分別給出了函數(shù)的定義。例如，黎

曼于1851年給出這樣一個定義：我們假定z是一個變量，它可以逐次取所有可能

的實(shí)數(shù)值。假設(shè)對它的每個值都有未定量w的唯一的一個值與之對應(yīng)，那么w稱為

y的函數(shù).黎曼指出，這個定義完全沒有規(guī)定在單個的函數(shù)值之間存在一種規(guī)律，此

時，如果函數(shù)在某個區(qū)問已有定義，它在該區(qū)問外的延拓方式是完全任意的，人們

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所定義的量w對量z的依賴關(guān)系是任意給定的或是由量的某種運(yùn)算所確定并沒有什

么差異。

在分析嚴(yán)格化的過程中，集合論的思想逐漸形成。皮亞諾開展了?無窮悖論?標(biāo)

志他第一個朝著建立集合的明確理論的方向邁出積極步伐的人。

戴德金于1887年給出了這樣一個定義：系統(tǒng)S上的一個映射蘊(yùn)含了一種規(guī)那

么，按照這種規(guī)那么，S中的每一個確定的元素都對應(yīng)著一個確定的對象，它稱為

S的映像,記作

??S?

,我們可以說，

??S?

中對應(yīng)于元素S，

??S?

由映射中作用于s而

產(chǎn)生或?qū)С觯瑂經(jīng)映射?變換成

??S?

。

這里至于系統(tǒng)s的對象是什么，并無限制。這是函數(shù)概念的一次極大擴(kuò)大，最

終給出完善的現(xiàn)代函數(shù)定義的是法國的布爾巴基學(xué)派，定義如下：設(shè)E和F是兩個

集合，它們可以不同，也可以一樣。E中的一個變元x和F中的變元y之問的一個

關(guān)系稱為一個函數(shù)關(guān)系，如果對每一個x?E，都存在唯一的y?F，,它滿足與x的給

定關(guān)系。我們稱這樣的運(yùn)算為函數(shù)，它以上述方式將與x有給定關(guān)系的元素y?F與

每一個元素x?E相聯(lián)系，我們稱y是函數(shù)在元素x處的值，函數(shù)由給定的關(guān)系所確

定，兩個等價的函數(shù)關(guān)系確定同一個函數(shù)。

等到康托爾(cantor，德，1845－1918)創(chuàng)立的集合論在數(shù)學(xué)中占有重要地位之

后，維布倫(veblen，美，1880－1960)用“集合〞和“對應(yīng)〞的概念給出了近代函數(shù)

定義，通過集合概念，把函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系、定義域及值域進(jìn)一步具體化了，且打破

了“變量是數(shù)〞的極限，變量可以是數(shù)，也可以是其它對象〔點(diǎn)、線、面、體、向

量、矩陣等〕。

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就這樣，函數(shù)概念從變量說開展到對應(yīng)說，又從對應(yīng)說進(jìn)一步完善到現(xiàn)在的關(guān)

系說，這就是函數(shù)概念的整個歷史開展過程。

完畢語

函數(shù)概念是全部數(shù)學(xué)最重要的概念之一。從函數(shù)的演變歷史，我們可以看到函

數(shù)概念的涵不斷被挖掘、豐富和準(zhǔn)確刻畫的歷史過程。同時可以看出，數(shù)學(xué)概念并

非生來就有、一成不變的，是人們在對客觀世界深入了解的過程中得到的，我們的

知識只是其中很少的一局部，所以還需要加以開展，以適應(yīng)新的需要。

參考文獻(xiàn)

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