圓錐體積公式推導過程

推薦精選

圓錐體體積公式的證明

證明需要幾個步驟來解決：

1)圓柱體的微分單元是三棱柱,而圓錐體的微分單元是三棱錐。

所以,只要證明三棱錐的體積，是等底等高的三棱柱的體積的1/3，即可知題目所求正確。

2）如圖，一個三棱柱可以切分成三個三棱錐：

推薦精選

(上圖中,第二個“等底等高”的“高”是橫著的，而“底”是豎著的。)

現在需要證明，這三個三棱錐，體積都是相等的，也就是各自的體積都是圖中三棱柱的體積的1/3.

證明需要的命題是：底面全等，且高度相等的三棱錐，體積必然相同。

3）如圖，底面全等，且高度相等的三棱錐，體積必然相同。這個命題的證明，需要基本的一個原理：

祖暅原理。

注釋：祖暅原理

祖暅原理也就是“等積原理”。它是由我國南北朝杰出的數學家、祖沖之(429-500)的兒子祖

暅(gèng)首先提出來的。

祖暅原理的內容是：夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平行平面的任何平

面所截，如果截得兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等。

推薦精選

在西方，直到17世紀，才由意大利數學家卡瓦列里（Cavalieri.B,1589-1647)發現。于1635年

出版的《連續不可分幾何》中，提出了等積原理，所以西方人把它稱之為“卡瓦列里原理”。其

實，他的發現要比我國的祖暅晚1100多年。

祖暅原理的思想

我們都知道“點動成線，線動成面，面動成體”這句話，直線由點構成，點的多少表示直線

的長短；面由線構成，也就是由點構成，點的多少表示面積的大??；幾何體由面構成，就是由線

構成，最終也就是由點構成，點的多少也表示了體積的大小，要想讓兩個幾何體的體積相等，也

就是讓構成這兩個幾何體的點的數量相同，祖暅原理就運用到了它。

兩個幾何體夾在兩平行平面中間，可以理解為這兩個幾何體平行面間的的高度相等。兩平行

面之間的距離一定，若視距離為一條線段，那么這個距離上就有無數個點，過一個點，可以畫出

一個平行于兩平行面的截面，若兩幾何體在被過每一點的平行截面截出的截面面積兩兩相等，則

說明兩幾何體在同一高度下的每兩個截面上的點的數量相同。有無數個截面，同一高度每兩個幾

何體的截面上的點的數量相同，則說明，這兩個幾何體所擁有的點數量相同，那么也就是說，它

們的體積相同。所以我們可以用這種思想來理解祖暅原理。

這個原理說：如果兩個高度相等的立體，在任何同樣高度下的截面面積都相等，那么，這兩個立體的

體積就相等。

所以，下圖可證明：若兩三棱錐的底面（三角形）全等，高度相等，那么它們在任何高度上的截面（三

角形）也必然全等。于是可以根據祖暅原理斷言：

等底等高的三棱錐，體積都相等：

推薦精選

三棱柱的體積，與立方體的體積一樣，是底面積乘以高，（三棱柱可來自于半個立方體）：

推薦精選

知道有關三角形的相似、比例、全等的一些定理，就可深入完成題目的證明。

===================================================

下面這個圖,說明了一個直接的、有趣的推論：

推薦精選

注意上面這個圖，在推算球體的體積的時候，還可以用到。

下面再給幾個有趣的推論，直到求出球體的體積和表面積公式:

1)金字塔錐的體積也是:(1/3)x底面積x高.

這是由于金字塔錐是兩個三棱錐構成的:

推薦精選

2）下面的圖說明，球體的微分單元是金字塔錐體。

由此可知，球體的體積=（1/3）x球的表面積x球半徑.

推薦精選

上面的公式說明，球體的體積和表面積，只要知道其中一個信息，那么就可知道另一個信息。實際上，

根據球體半徑推算球體的體積，可以更先一步。

3）球體的體積。

先看半球的體積：

推薦精選

這還要用到祖暅原理。上圖中，左邊的內部被挖空一個圓錐體的圓柱體，我們前面見過，右邊是一個

半球，高度（球半徑）與左邊的挖空圓柱體高度相同，都是R.

根據圖，在任何一個高度h上的水平截面，左邊的被截環（綠色）面積是：πR2-πh2.而右

邊的圖里，被截的圓（綠色）面積是:πr2=π(R2-h2).

可見，兩形體在任何高度上的截面面積都是相等的。于是，根據祖暅原理，上面兩形體的體積相同。

左邊形體的體積=圓柱體的體積-圓錐體的體積=(2/3)πR3.

所以，右邊的半球的體積也是=(2/3)πR3.

可知整個球體的體積公式是：

V=(4/3)πR3.

再根據球的體積與表面積的關系公式，可得球體的表面積公式為：

S=4πR2.

推薦精選

(我們用直觀方法得出了球的體積公式。學了微積分的人容易知道用下圖的微積分算法求出球的體積公

式）

推薦精選

（注：可編輯下載，若有不當之處，請指正，謝謝!）