兩點距離公式

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知識點166兩點間的距離公式(解答)

1、已知兩點P1（﹣2，3），P2（4，﹣5），求P

1、P2兩點的距離．考點：兩點間的距離公式。分析：求兩點

的長度的問題可以轉化為解直角三角形的問題．此題能順利求出

P1P2的長的關鍵是過P

1、P2兩點分別作x軸、y軸的垂線，構造出Rt△P1AP2，然

后利用勾股定理求解．解答：解：如圖所示，過P

1、P2分別作x軸、y軸的垂線相交于A點．則A點的坐標為

A（﹣2，﹣5）∴P1A=|﹣5﹣3|=8，P2A=|﹣2﹣4|=6，

∴P1P2===10．點評：本題的點的距離的問題欲求P1與P2之間的

距離，就是要求線段P1P2的長，過P1作x軸的垂線，過P2作y

軸的垂線，設兩條線段交于A點，則△P1AP2是直角三角形．根據

勾股定理，得P1P2=．

2、當m為何值時，點P（3m﹣1，m﹣2）到y軸的距離是到x

軸距離的3倍？求出此時點P到原點的距離．考點：兩點間的距

離公式。分析：點P（3m﹣1，m﹣2）到y軸的距離是到x軸距離

的3倍，即橫坐標的絕對值是縱坐標的絕對值的3倍，就得到一

個關于m的方程．化簡就可以求出m的值．解答：解：根據題意

得到|3m﹣1|=3|m﹣2|，兩邊平方，解得m=因而P的坐標是（﹣，

﹣），則OP=．點評：已知點P（3m﹣1，m﹣2）到y軸的距離是

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到x軸距離的3倍就可以得到關于m的方程，轉化為方程問題就

是解決本題的關鍵．

3、在直角坐標系中，△ABC滿足，∠C=90，AC=2，BC=1，點

A，C分別在x軸、y軸上，當A點從原點開始在正x軸上運動

時，點C隨著在正y軸上運動．（1）當A在原點時，求原點O到

點B的距離OB；（2）當OA=OC時，求原點O到點B的距離OB；

（3）求原點O到點B的距離OB的最大值，并確定此時圖形應滿

足什么條件？考點：兩點間的距離公式；坐標與圖形性質。專

題：計算題。分析：（1）根據勾股定理即可求解；（2）當OA=OC

時，如圖，△OAC是等腰直角三角形，過點B作BE⊥OA于E，過

點C作CD⊥OC，且CD與BE交于點D，再根據兩點間的距離公式

即可求解；（3）取AC的中點E，連接OE，BE．在Rt△AOC中，

OE是斜邊AC上的中線，所以．證明當O，E，B在一條直線上時，

OB取到最大值時即可求解；解答：解：（1）當A點在坐標原點

時，如圖，AC在y軸上，BC⊥y軸，所以．目的是從特殊情況理

解題意，考察勾股定理的基本應用與計算．（2）當OA=OC時，如

圖，△OAC是等腰直角三角形，AC=2．所以∠1=∠2=45，．過點B

作BE⊥OA于E，過點C作CD⊥OC，且CD與BE交于點D，則

∠3=90﹣∠ACD=90﹣（90﹣45）=45．又BC=1，所以，，因

此．（3）解法一：如圖所示，設∠ACO=θ，過C作CD⊥OC，由于

∠BCA=90，所以∠BCD=θ．由AC=2，BC=1，可以得B點的坐標為

B（cosθ，sinθ+2cosθ）．則l2=OB2=cos2θ+

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（sinθ+2cosθ）

2=cos2θ+sin2θ+4sinθcosθ+4cos2θ=1+2sin2θ+4cos2θ=3+2

sin2θ+2（2cos2θ﹣1）=3+2sin2θ+2cos2θ==當時，，所

以．解法二：如圖，取AC的中點E，連接OE，BE．在Rt△AOC

中，OE是斜邊AC上的中線，所以．在△ACB中，BC=1，，所

以．若點O，E，B不在一條直線上，則，若點O，E，B在一條直

線上，則，所以當點O，E，B在一條直線上時，OB取到最大值，

最大值是．當O，E，B在一條直線上時，OB取到最大值時，從下

圖可見，OE=1，．∠CEB=45，但CE=OE=1，．點評：本題考查了兩

點間的距離公式及坐標與圖形的性質，難度較大，主要是巧妙地

利用了線段的基本性質：兩點間線段最短．一般地說，線段基本

性質常用來求最小值．即線段AB長為定值時，AC+BC的最小值為

AB，此時C在AB上．這是線段基本性質的一種應用；而另一種應

用往往為人們所忽視：如果兩條線段AC和CB在C點接在一起，

AC=m與CB=n都是定長；那么AC+BC的最大值為m+n，此時

C、

A、B三點共線．

4、在平面直角坐標系中，O為原點．（1）點A的坐標為

（3，﹣4），求線段OA的長；（2）點B的坐標為（2，2），點C

的坐標為（5，6），求線段BC的長．考點：兩點間的距離公式。

專題：代數幾何綜合題。分析：（1）利用兩點間的距離公式

（d=）求解；（2）在直角三角形中，根據勾股定理解答．解答：

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解：（1）…（3分）（2）如圖，CM=|6﹣2|=4，BM=|5﹣2|=3，則

由勾股定理，得．…（6分）點評：本題考查了兩點間的距離公

式．解答此類題目，需熟記兩點間的距離公式d=．

5、在直角坐標平面內，已知點C在x軸上，它到點A（2，

1）和點B（3，4）的距離相等，求點C的坐標．考點：兩點間的

距離公式。專題：計算題。分析：設點C的坐標為（x，0），根

據兩點間的距離公式列式求解即可，兩點間的距離公式：d=．解

答：解：設點C坐標為（x，0）．（1分）利用兩點間的距離公

式，得，．（1分）根據題意，得AC=BC，∴AC2=BC2．即（x﹣

2）2+1=（x﹣3）2+16．（2分）解得x=10．（1分）所以，點C

的坐標是（10，0）．（1分）點評：本題考查了兩點間的距離公

式，熟記公式與熟練解方程是解答本題的關鍵．

6、在x軸上有一點P，它與點A（0，3）、B（4，﹣1）的距

離相等，求點P的坐標？考點：兩點間的距離公式。專題：計算

題。分析：設點P的坐標為（a，0），根據兩點間的距離公式列

式求解即可，兩點間的距離公式：d=．解答：解：設點P的坐標

為（a，0），∵A（0，3）、B（4，﹣1），∴AP=，BP=，

∵AP=BP，∴=，兩邊平方得，a2+9=（a﹣4）2+1，即8a=﹣8，解

得a=﹣1．∴點P的坐標是（﹣1，0）．點評：本題考查了兩點間

的距離公式，熟記公式是解題的關鍵．

7、已知：如圖，平面內兩點

A、B的坐標分別為（﹣4，1）、（﹣1，2）．（1）求

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A、B兩點之間的距離；（2）畫出點C，使得點C到

A、B兩點的距離相等，且點C到∠AOB兩邊的距離相等（無

需寫畫法，保留畫圖痕跡）．考點：兩點間的距離公式；作圖—

復雜作圖。分析：（1）根據兩點間的距離公式進行計算，即A

（x，y），B（a，b），則AB=；（2）根據到線段兩個端點距離相

等的點在線段的垂直平分線上和到角兩邊距離相等的點在角的平

分線上．解答：解：（1）AB===；（2）點評：此題綜合考查了兩

點間的距離的求法以及線段垂直平分線的性質和角平分線的性

質．

8、已知點A在x軸上，點A與點B（1，3）的距離是5，求

點A的坐標．考點：兩點間的距離公式。專題：計算題。分析：

設點A的坐標為（x，0），根據兩點間的距離公式列式求解即

可，兩點間的距離公式：d=．解答：解：設點A的坐標為（x，

0）．（1分）根據題意，得．（2分）∴（x﹣1）2=42．（1分）

∴x1=5，x2=﹣3．（1分）經檢驗：x1=5，x2=﹣3都是原方程的

根．∴點A的坐標為（5，0）或（﹣3，0）．（2分）點評：本題

考查了兩點間的距離公式，數量掌握兩點間的距離公式并熟練地

解方程進行檢驗是解答本題的關鍵．．

9、已知點A的坐標為（1，2），點B的坐標為（4，1），在

x軸上求一點C，使得點C到

A、B兩點的距離相等．考點：兩點間的距離公式。專題：計

算題；作圖題。分析：根據題意，連接AB，作AB的垂直平分線，

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交x軸于點C，已知點A的坐標為（1，2），點B的坐標為（4，

1），所以，可求得，AC=BC=，點C就是所求的點．解答：解：由

圖，已知點A的坐標為（1，2），點B的坐標為（4，1），連接

AB，作AB的垂直平分線，交x軸于點C，∴AC==，BC==；

∴AC=BC，∴點C就是所求的點．點評：本題主要考查了兩點間的

距離公式和線段的垂直平分線，掌握線段垂直平分線上的點到線

段兩端點的距離相等．

10、（xx?濱州）根據題意，解答下列問題：（1）如圖①，

已知直線y=2x+4與x軸、y軸分別交于

A、B兩點，求線段AB的長；（2）如圖②，類比（1）的求解

過程，請你通過構造直角三角形的方法，求出兩點M（3，4），N

（﹣2，﹣1）之間的距離；（3）如圖③，P1（x1，y1），P2

（x1，y2）是平面直角坐標系內的兩點．求證：．考點：兩點間

的距離公式。專題：計算題；證明題。分析：（1）根據直線

y=2x+4與x軸、y軸交點的特點：與x軸相交時，y=0，求得x的

值；與y軸相交時，x=0，求得y的值；（2）、（3）通過構造直

角三角形的方法，解得MN與P1P2的值．解答：解：（1）由

y=0，得x=﹣2，所以點A的坐標為（﹣2，0），故OA=2．（1

分）同理可得OB=4．（2分）所以在Rt△AOB中，AB=；（3分）

（2）作MP⊥x軸，NP⊥y軸，MP交NP于點P．（4分）則

MP⊥NP，P點坐標為（3，﹣1）．（5分）故PM=4﹣（﹣1）=5，

PN=3﹣（﹣2）=5．（6分）所以在Rt△MPN中，MN=；（7分）

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（注：若直接運用了（3）的結論不得分．）（3）證明：作

P2P⊥x軸，P1P⊥y軸，P2P交P1P于點P．則P2P⊥P1P，點P的

坐標為（x2，y1）．（8分）故P2P=y2﹣y1，P1P=x2﹣x1．（不

加絕對值符號此處不扣分）（9分）所以在Rt△P2P1P中，．（10

分點評：本題主要考查一次函數圖象與X軸、Y軸交點的特點與解

直角三角形，同時考查了數形結合思想，綜合性很強，值得學生

去思考．