高中不等式公式

高中數(shù)學(xué)常用公式及常用結(jié)論

1。元素與集合的關(guān)系

U

xAxCA???，

U

xCAxA???。

2。德摩根公式

();()

UUUUUU

CABCACBCABCACB??。

3。包含關(guān)系

ABAABB???

UU

ABCBCA????

U

ACB???

U

CABR??

4.容斥原理

()()cardABcardAcardBcardAB???

()()cardABCcardAcardBcardCcardAB????

()()()()cardABcardBCcardCAcardABC????.

5．集合

12

{,,,}

n

aaa的子集個(gè)數(shù)共有2n個(gè)；真子集有2n–1個(gè)；非空子集有2n–1

個(gè)；非空的真子集有2n–2個(gè).

6.二次函數(shù)的解析式的三種形式

(1)一般式2()(0)fxaxbxca????；

（2)頂點(diǎn)式2()()(0)fxaxhka????；

（3）零點(diǎn)式

12

()()()(0)fxaxxxxa????。

7.解連不等式()NfxM??常有以下轉(zhuǎn)化形式

()NfxM???[()][()]0fxMfxN???

?|()|

22

MNMN

fx

??

???

()

0

()

fxN

Mfx

?

?

?

?

11

()fxNMN

?

??

.

8。方程0)(?xf在),(

21

kk上有且只有一個(gè)實(shí)根，與0)()(

21

?kfkf不等價(jià),前者是

后者的一個(gè)必要而不是充分條件.特別地，方程)0(02????acbxax有且只有一個(gè)實(shí)根

在),(

21

kk內(nèi)，等價(jià)于0)()(

21

?kfkf，或0)(

1

?kf且

22

21

1

kk

a

b

k

?

???，或0)(

2

?kf

且

2

21

22

k

a

b

kk

???

?

.

9.閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值

二次函數(shù))0()(2????acbxaxxf在閉區(qū)間??qp,上的最值只能在

a

b

x

2

??

處及區(qū)

間的兩端點(diǎn)處取得，具體如下：

（1）當(dāng)a>0時(shí),若??qp

a

b

x,

2

???，則

??

minmaxmax

()(),()(),()

2

b

fxffxfpfq

a

???；

??qp

a

b

x,

2

???，??

maxmax

()(),()fxfpfq?，??

minmin

()(),()fxfpfq?.

（2)當(dāng)a〈0時(shí)，若??qp

a

b

x,

2

???，則??

min

()min(),()fxfpfq?，若

??qp

a

b

x,

2

???，則??

max

()max(),()fxfpfq?，??

min

()min(),()fxfpfq?。

10.一元二次方程的實(shí)根分布

依據(jù)：若()()0fmfn?,則方程0)(?xf在區(qū)間(,)mn內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根。

設(shè)qpxxxf???

2

)(，則

(1）方程0)(?xf在區(qū)間),(??m內(nèi)有根的充要條件為0)(?mf或

240

2

pq

p

m

?

??

?

?

??

?

?

；

（2）方程0)(?xf在區(qū)間(,)mn內(nèi)有根的充要條件為()()0fmfn?或2

()0

()0

40

2

fm

fn

pq

p

mn

?

?

?

?

?

?

?

??

?

?

???

?

?

或

()0

()0

fm

afn

?

?

?

?

?

或

()0

()0

fn

afm

?

?

?

?

?

；

（3）方程0)(?xf在區(qū)間(,)n??內(nèi)有根的充要條件為()0fm?或

240

2

pq

p

m

?

??

?

?

??

?

?

.

11.定區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式恒成立的條件依據(jù)

（1)在給定區(qū)間),(????的子區(qū)間

L

（形如????,，???,??，????,?不同)上含參數(shù)

的二次不等式(,)0fxt?(t為參數(shù))恒成立的充要條件是

min

(,)0()fxtxL??。

(2）在給定區(qū)間),(????的子區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式(,)0fxt?(t為參數(shù))恒成立

的充要條件是(,)0()

man

fxtxL??.

(3)0)(24????cbxaxxf恒成立的充要條件是

0

0

0

a

b

c

?

?

?

?

?

?

?

?

或

2

0

40

a

bac

?

?

?

??

?

.

12。真值表

ｐｑ非ｐｐ或ｑｐ且ｑ

真真假真真

真假假真假

假真真真假

假假真假假

13.常見(jiàn)結(jié)論的否定形式

原結(jié)論反設(shè)詞原結(jié)論反設(shè)詞

是不是至少有一個(gè)一個(gè)也沒(méi)有

都是不都是至多有一個(gè)至少有兩個(gè)

大于不大于至少有n個(gè)至多有(1n?)個(gè)

小于不小于至多有n個(gè)至少有(1n?）個(gè)

對(duì)所有x,

成立

存在某x，

不成立p

或

qp?

且

q?

對(duì)任何x，

不成立

存在某x，

成立p

且

qp?

或

q?

14。四種命題的相互關(guān)系

原命題互逆逆命題

若ｐ則ｑ若ｑ則ｐ

互互

互為為互

否否

逆逆

否否

否命題逆否命題

若非ｐ則非ｑ互逆若非ｑ則非ｐ

15。充要條件

（1）充分條件：若pq?，則

p

是

q

充分條件。

（2）必要條件：若qp?，則

p

是

q

必要條件。

（3）充要條件：若pq?，且qp?，則

p

是

q

充要條件.

注：如果甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條件；反之亦然。

16.函數(shù)的單調(diào)性

（1）設(shè)??

2121

,,xxbaxx???那么

??

1212

()()()0xxfxfx??????baxf

xx

xfxf

,)(0

)()(

21

21在??

?

?

上是增函數(shù)；

??

1212

()()()0xxfxfx??????baxf

xx

xfxf

,)(0

)()(

21

21在??

?

?

上是減函數(shù)。

（2)設(shè)函數(shù))(xfy?在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果0)(?

?

xf,則)(xf為增函數(shù);如果

0)(?

?

xf，則)(xf為減函數(shù)。

17。如果函數(shù))(xf和)(xg都是減函數(shù),則在公共定義域內(nèi),和函數(shù))()(xgxf?也是減

函數(shù)；如果函數(shù))(ufy?和)(xgu?在其對(duì)應(yīng)的定義域上都是減函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)

)]([xgfy?是增函數(shù)。

18．奇偶函數(shù)的圖象特征

奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；反過(guò)來(lái)，如果一個(gè)函數(shù)的圖

象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)；如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，那么這個(gè)函

數(shù)是偶函數(shù)．

19.若函數(shù))(xfy?是偶函數(shù)，則)()(axfaxf????；若函數(shù))(axfy??是偶函

數(shù)，則)()(axfaxf????.

20.對(duì)于函數(shù))(xfy?（Rx?），)()(xbfaxf???恒成立,則函數(shù))(xf的對(duì)稱軸

是函數(shù)

2

ba

x

?

?;兩個(gè)函數(shù))(axfy??與)(xbfy??的圖象關(guān)于直線

2

ba

x

?

?對(duì)

稱。

21.若)()(axfxf????,則函數(shù))(xfy?的圖象關(guān)于點(diǎn))0,

2

(

a

對(duì)稱;若

)()(axfxf???,則函數(shù))(xfy?為周期為

a2

的周期函數(shù)。

22．多項(xiàng)式函數(shù)1

10

()nn

nn

Pxaxaxa?

?

????的奇偶性

多項(xiàng)式函數(shù)()Px是奇函數(shù)?()Px的偶次項(xiàng)(即奇數(shù)項(xiàng)）的系數(shù)全為零.

多項(xiàng)式函數(shù)()Px是偶函數(shù)?()Px的奇次項(xiàng)(即偶數(shù)項(xiàng)）的系數(shù)全為零.

23。函數(shù)()yfx?的圖象的對(duì)稱性

（1)函數(shù)()yfx?的圖象關(guān)于直線xa?對(duì)稱()()faxfax????

(2)()faxfx???。

(2）函數(shù)()yfx?的圖象關(guān)于直線

2

ab

x

?

?對(duì)稱()()famxfbmx????

()()fabmxfmx????.

24.兩個(gè)函數(shù)圖象的對(duì)稱性

(1)函數(shù)()yfx?與函數(shù)()yfx??的圖象關(guān)于直線

0x?

（即

y

軸)對(duì)稱。

（2）函數(shù)()yfmxa??與函數(shù)()yfbmx??的圖象關(guān)于直線

2

ab

x

m

?

?對(duì)稱。

（3）函數(shù))(xfy?和)(1xfy??的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱。

25。若將函數(shù))(xfy?的圖象右移a、上移

b

個(gè)單位，得到函數(shù)baxfy???)(的

圖象;若將曲線0),(?yxf的圖象右移a、上移

b

個(gè)單位，得到曲線0),(???byaxf的

圖象.

26．互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的關(guān)系

abfbaf????)()(1。

27。若函數(shù))(bkxfy??存在反函數(shù)，則其反函數(shù)為])([

1

1bxf

k

y???,并不是

)([1bkxfy???,而函數(shù))([1bkxfy???是])([

1

bxf

k

y??的反函數(shù)。

28。幾個(gè)常見(jiàn)的函數(shù)方程

(1）正比例函數(shù)()fxcx?，()()(),(1)fxyfxfyfc????。

(2）指數(shù)函數(shù)()xfxa?，()()(),(1)0fxyfxfyfa????。

（3)對(duì)數(shù)函數(shù)()log

a

fxx?,()()(),()1(0,1)fxyfxfyfaaa?????。

(4）冪函數(shù)()fxx??,'()()(),(1)fxyfxfyf???。

（5）余弦函數(shù)()cosfxx?,正弦函數(shù)()singxx?，()()()()()fxyfxfygxgy???，

0

()

(0)1,lim1

x

gx

f

x?

??.

29.幾個(gè)函數(shù)方程的周期（約定a>0)

（1))()(axfxf??，則)(xf的周期T=a；

（2）0)()(???axfxf，

或)0)((

)(

1

)(???xf

xf

axf,

或

1

()

()

fxa

fx

???

(()0)fx?,

或??2

1

()()(),(()0,1)

2

fxfxfxafx?????,則)(xf的周期T=2a;

(3))0)((

)(

1

1)(?

?

??xf

axf

xf，則)(xf的周期T=3a；

（4)

)()(1

)()(

)(

21

21

21xfxf

xfxf

xxf

?

?

??且

1212

()1(()()1,0||2)fafxfxxxa??????，則

)(xf的周期T=4a;

（5）()()(2)(3)(4)fxfxafxafxafxa???????

()()(2)(3)(4)fxfxafxafxafxa?????,則)(xf的周期T=5a;

（6）)()()(axfxfaxf????，則)(xf的周期T=6a.

30.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪

(1）

1m

n

n

m

a

a

?（0,,amnN???，且

1n?

）.

（2）

1m

n

m

n

a

a

??（0,,amnN???，且

1n?

）。

31．根式的性質(zhì)

（1）()n

naa?。

（2）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，n

naa?;

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，

,0

||

,0

n

n

aa

aa

aa

?

?

??

?

??

?

。

32．有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)

（1)(0,,)rsrsaaaarsQ?????.

（2)()(0,,)rsrsaaarsQ???.

（3）()(0,0,)rrrabababrQ????。

注：若a＞0，p是一個(gè)無(wú)理數(shù),則ap表示一個(gè)確定的實(shí)數(shù)．上述有理指數(shù)冪的運(yùn)算性

質(zhì),對(duì)于無(wú)理數(shù)指數(shù)冪都適用。

33.指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化式

logb

a

NbaN???(0,1,0)aaN???。

34。對(duì)數(shù)的換底公式

log

log

log

m

a

m

N

N

a

?（0a?,且1a?，0m?,且1m?，0N?）。

推論loglogm

n

a

a

n

bb

m

?（0a?,且1a?,,0mn?，且1m?,1n?,0N?）。

35．對(duì)數(shù)的四則運(yùn)算法則

若a＞0,a≠1，M＞0，N＞0，則

（1）log()loglog

aaa

MNMN??;

(2）logloglog

aaa

M

MN

N

??;

（3)loglog()n

aa

MnMnR??。

36。設(shè)函數(shù))0)((log)(2????acbxaxxf

m

,記acb42???。若)(xf的定義域?yàn)?/p>

R

，則

0?a

，且

0??

；若)(xf的值域?yàn)?/p>

R

,則

0?a

,且

0??

.對(duì)于

0?a

的情形,需要單

獨(dú)檢驗(yàn)。

37.對(duì)數(shù)換底不等式及其推廣

若0a?，0b?，0x?,

1

x

a

?，則函數(shù)log()

ax

ybx?

（1)當(dāng)ab?時(shí)，在

1

(0,)

a

和

1

(,)

a

??上log()

ax

ybx?為增函數(shù).

,

(2)當(dāng)ab?時(shí),在

1

(0,)

a

和

1

(,)

a

??上log()

ax

ybx?為減函數(shù)。

推論：設(shè)1nm??,0p?，0a?,且1a?，則

（1)log()log

mpm

npn

?

??。

（2）2logloglog

2aaa

mn

mn

?

?。

38。平均增長(zhǎng)率的問(wèn)題

如果原來(lái)產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N，平均增長(zhǎng)率為

p

，則對(duì)于時(shí)間x的總產(chǎn)值

y

，有

(1)xyNp??.

39.數(shù)列的同項(xiàng)公式與前n項(xiàng)的和的關(guān)系

1

1

,1

,2n

nn

sn

a

ssn

?

?

?

?

?

??

?

(數(shù)列{}

n

a的前n項(xiàng)的和為

12nn

saaa????）.

40.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

*

11

(1)()

n

aanddnadnN???????；

其前n項(xiàng)和公式為

1

()

2

n

n

naa

s

?

?

1

(1)

2

nn

nad

?

??

2

1

1

()

22

d

nadn???。

41。等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

1*

1

1

()nn

n

a

aaqqnN

q

?????；

其前n項(xiàng)的和公式為

1

1

(1)

,1

1

,1

n

n

aq

q

s

q

naq

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

或

1

1

,1

1

,1

n

n

aaq

q

q

s

naq

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

.

42。等比差數(shù)列??

n

a：

11

,(0)

nn

aqadabq

?

????的通項(xiàng)公式為

1

(1),1

()

,1

1

nn

n

bndq

a

bqdbqd

q

q

?

???

?

?

?

???

?

?

?

?

?

；

其前n項(xiàng)和公式為

(1),(1)

1

(),(1)

111

n

n

nbnndq

s

dqd

bnq

qqq

???

?

?

?

?

?

???

?

???

?

。

43。分期付款(按揭貸款)

每次還款

(1)

(1)1

n

n

abb

x

b

?

?

??

元（貸款a元，n次還清,每期利率為

b

).

44．常見(jiàn)三角不等式

（1）若(0,)

2

x

?

?，則

sintanxxx??

。

(2）若(0,)

2

x

?

?,則1sincos2xx???。

(3)|sin||cos|1xx??.

45。同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

22sincos1????，

tan?=

?

?

cos

sin

，

tan1cot????

。

46.正弦、余弦的誘導(dǎo)公式

2

1

2

(1)sin,

sin()

2

(1)s,

n

n

n

co

?

?

?

?

?

?

?

?

??

?

?

?

?

(n為偶數(shù))

(n為奇數(shù))

(n為偶數(shù))

(n為奇數(shù))

2

1

2

(1)s,

s()

2

(1)sin,

n

n

co

n

co

?

?

?

?

?

?

?

?

??

?

?

?

?

47.和角與差角公式

sin()sincoscossin?????????;

cos()coscossinsin????????；

tantan

tan()

1tantan

??

??

??

?

??。

22sin()sin()sinsin??????????(平方正弦公式);

22cos()cos()cossin??????????。

sincosab???

=22sin()ab????(輔助角?所在象限由點(diǎn)(,)ab的象限決定，

tan

b

a

??）.

48。二倍角公式

sin22sincos????

。

2222cos2cossin2cos112sin???????????。

2

2tan

tan2

1tan

?

?

?

?

?

.

49.三倍角公式

3sin33sin4sin4sinsin()sin()

33

??

???????????。

3cos34cos3cos4coscos()cos()

33

??

???????????。

3

2

3tantan

tan3tantan()tan()

13tan33

????

????

?

?

????

?

。

50.三角函數(shù)的周期公式

函數(shù)sin()yx????，x∈R及函數(shù)cos()yx????，x∈R（A,ω，?為常數(shù)，且A

≠0，ω＞0)的周期

2

T

?

?

?;函數(shù)tan()yx????,,

2

xkkZ

?

????（A,ω,?為常數(shù),且A

≠0，ω＞0）的周期T

?

?

?。

51.正弦定理

2

sinsinsin

abc

R

ABC

???.

52。余弦定理

2222cosabcbcA???；

2222cosbcacaB???；

2222coscababC???。

53。面積定理

（1）

111

222abc

Sahbhch???（

abc

hhh、、分別表示a、b、c邊上的高）。

（2）

111

sinsinsin

222

SabCbcAcaB???。

(3)22

1

(||||)()

2OAB

SOAOBOAOB

?

????.

54。三角形內(nèi)角和定理

在△ABC中，有()ABCCAB?????????

222

CAB??

???

222()CAB?????。

55.簡(jiǎn)單的三角方程的通解

sin(1)arcsin(,||1)kxaxkakZa????????.

s2arccos(,||1)coxaxkakZa???????.

tanarctan(,)xaxkakZaR???????。

特別地，有

sinsin(1)()kkkZ???????????。

scos2()cokkZ??????????。

tantan()kkZ??????????。

56。最簡(jiǎn)單的三角不等式及其解集

sin(||1)(2arcsin,2arcsin),xaaxkakakZ???????????.

sin(||1)(2arcsin,2arcsin),xaaxkakakZ???????????.

cos(||1)(2arccos,2arccos),xaaxkakakZ?????????。

cos(||1)(2arccos,22arccos),xaaxkakakZ???????????.

tan()(arctan,),

2

xaaRxkakkZ

?

?????????.

tan()(,arctan),

2

xaaRxkkakZ

?

?????????.

57。實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律

設(shè)λ、μ為實(shí)數(shù)，那么

(1)結(jié)合律：λ（μa）=(λμ)a;

(2)第一分配律:（λ+μ)a=λa+μa；

(3)第二分配律：λ(a+b）=λa+λb.

58。向量的數(shù)量積的運(yùn)算律：

(1）a·b=b·a（交換律）;

（2）(?

a)·b=?（a·b)=?

a·b=a·（?b）；

(3)(a+b）·c=a·c+b·c.

59.平面向量基本定理

如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且

只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ

1

、λ2，使得a=λ

1

e

1

+λ2e2．

不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．

60．向量平行的坐標(biāo)表示

設(shè)a=

11

(,)xy，b=

22

(,)xy，且b?0，則ab（b?0）

1221

0xyxy???.

53。a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)

a·b=｜a｜|b|cosθ．

61。a·b的幾何意義

數(shù)量積a·b等于a的長(zhǎng)度｜a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積．

62.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

（1)設(shè)a=

11

(,)xy，b=

22

(,)xy，則a+b=

1212

(,)xxyy??。

(2)設(shè)a=

11

(,)xy,b=

22

(,)xy，則a—b=

1212

(,)xxyy??。

（3）設(shè)A

11

(,)xy，B

22

(,)xy,則

2121

(,)ABOBOAxxyy?????。

（4)設(shè)a=(,),xyR??,則?a=(,)xy??.

(5)設(shè)a=

11

(,)xy，b=

22

(,)xy，則a·b=

1212

()xxyy?.

63。兩向量的夾角公式

1212

2222

1122

cos

xxyy

xyxy

?

?

?

???

（a=

11

(,)xy,b=

22

(,)xy).

64.平面兩點(diǎn)間的距離公式

,AB

d=

||ABABAB??

22

2121

()()xxyy????（A

11

(,)xy，B

22

(,)xy).

65.向量的平行與垂直

設(shè)a=

11

(,)xy,b=

22

(,)xy，且b?0，則

A||b?b=λa

1221

0xyxy???.

a

?

b（a?0）?a·b=0

1212

0xxyy???。

66。線段的定比分公式

設(shè)

111

(,)Pxy，

222

(,)Pxy，(,)Pxy是線段

12

PP的分點(diǎn)，?是實(shí)數(shù)，且

12

PPPP??，

則

12

12

1

1

xx

x

yy

y

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?12

1

OPOP

OP

?

?

?

?

?

?

12

(1)OPtOPtOP???(

1

1

t

?

?

?

）.

67.三角形的重心坐標(biāo)公式

△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

11

A(x,y)、

22

B(x,y)、

33

C(x,y)，則△ABC的重心的坐

標(biāo)是123123(,)

33

xxxyyy

G

????

.

68.點(diǎn)的平移公式

''

''

xxhxxh

yykyyk

??

????

??

?

??

????

??

??

''OPOPPP???。

注:圖形F上的任意一點(diǎn)P(x，y)在平移后圖形'F上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為'''(,)Pxy，且'PP的坐

標(biāo)為(,)hk.

69。“按向量平移”的幾個(gè)結(jié)論

（1）點(diǎn)(,)Pxy按向量a=(,)hk平移后得到點(diǎn)'(,)Pxhyk??.

（2)函數(shù)()yfx?的圖象

C

按向量a=(,)hk平移后得到圖象'C,則'C的函數(shù)解析式

為()yfxhk???.

（3）圖象'C按向量a=(,)hk平移后得到圖象

C

，若

C

的解析式()yfx?,則'C的函

數(shù)解析式為()yfxhk???。

（4）曲線

C

:(,)0fxy?按向量a=(,)hk平移后得到圖象'C，則'C的方程為

(,)0fxhyk???.

（5)向量m=(,)xy按向量a=(,)hk平移后得到的向量仍然為m=(,)xy。

70。三角形五“心"向量形式的充要條件

設(shè)

O

為ABC?所在平面上一點(diǎn)，角,,ABC所對(duì)邊長(zhǎng)分別為,,abc，則

(1)

O

為

ABC?

的外心222OAOBOC???。

（2）O為ABC?的重心0OAOBOC????。

（3)

O

為

ABC?

的垂心OAOBOBOCOCOA??????.

(4）

O

為

ABC?

的內(nèi)心0aOAbOBcOC????.

（5）

O

為

ABC?

的

A?

的旁心aOAbOBcOC???.

71.常用不等式：

（1）,abR??222abab??（當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“=”號(hào))．

(2）,abR???

2

ab

ab

?

?（當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“="號(hào))．

（3)3333(0,0,0).abcabcabc??????

（4）柯西不等式

22222()()(),,,,.abcdacbdabcdR?????

（5）bababa?????.

72.極值定理

已知

yx,

都是正數(shù)，則有

（1）若積

xy

是定值

p

，則當(dāng)

yx?

時(shí)和yx?有最小值p2;

（2）若和yx?是定值s,則當(dāng)

yx?

時(shí)積

xy

有最大值2

4

1

s.

推廣已知Ryx?,，則有xyyxyx2)()(22????

(1）若積

xy

是定值，則當(dāng)||yx?最大時(shí),||yx?最大；

當(dāng)||yx?最小時(shí),||yx?最小.

（2）若和||yx?是定值，則當(dāng)||yx?最大時(shí)，||xy最小;

當(dāng)||yx?最小時(shí)，||xy最大。

73。一元二次不等式20(0)axbxc????或2(0,40)abac?????,如果a與

2axbxc??同號(hào)，則其解集在兩根之外；如果a與2axbxc??異號(hào),則其解集在兩根之間.

簡(jiǎn)言之：同號(hào)兩根之外，異號(hào)兩根之間。

121212

()()0()xxxxxxxxx???????；

121212

,()()0()xxxxxxxxxx???????或。

74.含有絕對(duì)值的不等式

當(dāng)a〉0時(shí)，有

22xaxaaxa???????

。

22xaxaxa?????或xa??.

75.無(wú)理不等式

（1)

()0

()()

()0

()()

fx

fxgx

gx

fxgx

?

?

?

??

?

?

?

?

?

.

（2)

2

()0

()0

()()

()0

()0

()[()]

fx

fx

fxgx

gx

gx

fxgx

?

?

?

?

?

??

?

??

?

?

?

?

?

或。

(3）

2

()0

()()

()0

()[()]

fx

fxgx

gx

fxgx

?

?

?

??

?

?

?

?

?

.

76。指數(shù)不等式與對(duì)數(shù)不等式

(1)當(dāng)

1a?

時(shí)，

()()()()fxgxaafxgx???;

()0

log()log()()0

()()

aa

fx

fxgxgx

fxgx

?

?

?

???

?

?

?

?

.

(2）當(dāng)

01a??

時(shí),

()()()()fxgxaafxgx???；

()0

log()log()()0

()()

aa

fx

fxgxgx

fxgx

?

?

?

???

?

?

?

?

77.斜率公式

21

21

yy

k

xx

?

?

?

（

111

(,)Pxy、

222

(,)Pxy）.

78。直線的五種方程

（1）點(diǎn)斜式

11

()yykxx???(直線

l

過(guò)點(diǎn)

111

(,)Pxy,且斜率為

k

)．

（2)斜截式y(tǒng)kxb??（b為直線

l

在y軸上的截距).

（3）兩點(diǎn)式11

2121

yyxx

yyxx

??

?

??

(

12

yy?）(

111

(,)Pxy、

222

(,)Pxy(

12

xx?））.

（4）截距式1

xy

ab

??(

ab、

分別為直線的橫、縱截距，

0ab?、

）

（5)一般式0AxByC???(其中A、B不同時(shí)為0）。

79.兩條直線的平行和垂直

（1）若

111

:lykxb??，

222

:lykxb??

①

121212

||,llkkbb???；

②

1212

1llkk????

。

(2）若

1111

:0lAxByC???，

2222

:0lAxByC???，且A

1

、A

2

、B

1

、B

2

都不為零，

①111

12

222

||

ABC

ll

ABC

???；

②

121212

0llAABB????

；

80。夾角公式

（1)21

21

tan||

1

kk

kk

?

?

?

?

。

(

111

:lykxb??，

222

:lykxb??，

12

1kk??

)

（2）1221

1212

tan||

ABAB

AABB

?

?

?

?

。

(

1111

:0lAxByC???,

2222

:0lAxByC???,

1212

0AABB??

)。

直線

12

ll?時(shí)，直線l

1

與l2

的夾角是

2

?

。

81。

1

l到

2

l的角公式

（1）21

21

tan

1

kk

kk

?

?

?

?

。

(

111

:lykxb??，

222

:lykxb??，

12

1kk??)

(2)1221

1212

tan

ABAB

AABB

?

?

?

?

.

（

1111

:0lAxByC???，

2222

:0lAxByC???，

1212

0AABB??）。

直線

12

ll?時(shí),直線l

1

到l2

的角是

2

?

.

82．四種常用直線系方程

（1)定點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過(guò)定點(diǎn)

000

(,)Pxy的直線系方程為

00

()yykxx???(除直線

0

xx?),其中

k

是待定的系數(shù);經(jīng)過(guò)定點(diǎn)

000

(,)Pxy的直線系方程為

00

()()0AxxByy????，其中,AB是待定的系數(shù)．

(2)共點(diǎn)直線系方程:經(jīng)過(guò)兩直線

1111

:0lAxByC???，

2222

:0lAxByC???的交點(diǎn)

的直線系方程為

111222

()()0AxByCAxByC???????（除

2

l)，其中λ是待定的系數(shù)．

（3）平行直線系方程：直線ykxb??中當(dāng)斜率k一定而b變動(dòng)時(shí)，表示平行直

線系方程．與直線0AxByC???平行的直線系方程是0AxBy????(

0??

),λ是參

變量．

（4)垂直直線系方程:與直線0AxByC???（A≠0，B≠0）垂直的直線系方程

是0BxAy????,λ是參變量．

83。點(diǎn)到直線的距離

00

22

||AxByC

d

AB

??

?

?

(點(diǎn)

00

(,)Pxy，直線

l

：0AxByC???)。

84。0AxByC???或0?所表示的平面區(qū)域

設(shè)直線:0lAxByC???，則0AxByC???或0?所表示的平面區(qū)域是:

若0B?，當(dāng)

B

與AxByC??同號(hào)時(shí)，表示直線l的上方的區(qū)域；當(dāng)

B

與AxByC??

異號(hào)時(shí)，表示直線l的下方的區(qū)域。簡(jiǎn)言之,同號(hào)在上,異號(hào)在下.

若0B?，當(dāng)

A

與AxByC??同號(hào)時(shí),表示直線l的右方的區(qū)域；當(dāng)

A

與AxByC??

異號(hào)時(shí)，表示直線l的左方的區(qū)域。簡(jiǎn)言之，同號(hào)在右，異號(hào)在左。

85。

111222

()()0AxByCAxByC?????或

0?

所表示的平面區(qū)域

設(shè)曲線

111222

:()()0CAxByCAxByC?????（

1212

0AABB?)，則

111222

()()0AxByCAxByC?????或

0?

所表示的平面區(qū)域是:

111222

()()0AxByCAxByC?????所表示的平面區(qū)域上下兩部分;

111222

()()0AxByCAxByC?????所表示的平面區(qū)域上下兩部分.

86.圓的四種方程

(1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程222()()xaybr????。

(2）圓的一般方程220xyDxEyF?????(224DEF??＞0）。

（3）圓的參數(shù)方程

cos

sin

xar

ybr

?

?

??

?

?

??

?

。

（4）圓的直徑式方程

1212

()()()()0xxxxyyyy??????（圓的直徑的端點(diǎn)是

11

(,)Axy、

22

(,)Bxy)。

87。圓系方程

（1）過(guò)點(diǎn)

11

(,)Axy,

22

(,)Bxy的圓系方程是

1212112112

()()()()[()()()()]0xxxxyyyyxxyyyyxx?????????????

1212

()()()()()0xxxxyyyyaxbyc???????????,其中0axbyc???是直線

AB

的方程，λ是待定的系數(shù)．

(2）過(guò)直線

l

:0AxByC???與圓

C

:220xyDxEyF?????的交點(diǎn)的圓系方程是

22()0xyDxEyFAxByC?????????,λ是待定的系數(shù)．

(3）過(guò)圓

1

C：22

111

0xyDxEyF?????與圓

2

C：22

222

0xyDxEyF?????的

交點(diǎn)的圓系方程是2222

111222

()0xyDxEyFxyDxEyF???????????，λ是待定的

系數(shù)．

88.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

點(diǎn)

00

(,)Pxy與圓222)()(rbyax????的位置關(guān)系有三種

若22

00

()()daxby????

，則

dr??

點(diǎn)

P

在圓外；

dr??

點(diǎn)

P

在圓上；

dr??

點(diǎn)

P

在圓內(nèi)。

89。直線與圓的位置關(guān)系

直線0???CByAx與圓222)()(rbyax????的位置關(guān)系有三種：

0?????相離rd；

0?????相切rd;

0?????相交rd.

其中

22BA

CBbAa

d

?

??

?.

90.兩圓位置關(guān)系的判定方法

設(shè)兩圓圓心分別為O

1

,O

2

,半徑分別為r

1

，r

2

，dOO?

21

條公切線外離4

21

????rrd；

條公切線外切3

21

????rrd；

條公切線相交2

2121

??????rrdrr;

條公切線內(nèi)切1

21

????rrd；

無(wú)公切線內(nèi)含?????

21

0rrd.

91.圓的切線方程

(1)已知圓220xyDxEyF?????．

①若已知切點(diǎn)

00

(,)xy在圓上，則切線只有一條，其方程是

00

00

()()

0

22

DxxEyy

xxyyF

??

?????.

當(dāng)

00

(,)xy圓外時(shí)，00

00

()()

0

22

DxxEyy

xxyyF

??

?????表示過(guò)兩個(gè)切點(diǎn)

的切點(diǎn)弦方程．

②過(guò)圓外一點(diǎn)的切線方程可設(shè)為

00

()yykxx???，再利用相切條件求k，這時(shí)必

有兩條切線，注意不要漏掉平行于y軸的切線．

③斜率為k的切線方程可設(shè)為ykxb??，再利用相切條件求b，必有兩條切線．

（2）已知圓222xyr??．

①過(guò)圓上的

000

(,)Pxy點(diǎn)的切線方程為2

00

xxyyr??;

②斜率為

k

的圓的切線方程為21ykxrk???。

92.橢圓

22

22

1(0)

xy

ab

ab

????的參數(shù)方程是

cos

sin

xa

yb

?

?

?

?

?

?

?

.

93。橢圓

22

22

1(0)

xy

ab

ab

????焦半徑公式

)(

2

1c

a

xePF??，)(

2

2

x

c

a

ePF??。

94．橢圓的的內(nèi)外部

（1)點(diǎn)

00

(,)Pxy在橢圓

22

22

1(0)

xy

ab

ab

????的內(nèi)部

22

00

22

1

xy

ab

???。

（2）點(diǎn)

00

(,)Pxy在橢圓

22

22

1(0)

xy

ab

ab

????的外部

22

00

22

1

xy

ab

???.

95.橢圓的切線方程

（1）橢圓

22

22

1(0)

xy

ab

ab

????上一點(diǎn)

00

(,)Pxy處的切線方程是00

22

1

xxyy

ab

??.

（2)過(guò)橢圓

22

22

1(0)

xy

ab

ab

????外一點(diǎn)

00

(,)Pxy所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是

00

22

1

xxyy

ab

??.

（3）橢圓

22

22

1(0)

xy

ab

ab

????與直線0AxByC???相切的條件是

22222AaBbc??。

96。雙曲線

22

22

1(0,0)

xy

ab

ab

????的焦半徑公式

2

1

|()|

a

PFex

c

??，

2

2

|()|

a

PFex

c

??.

97.雙曲線的內(nèi)外部

(1）點(diǎn)

00

(,)Pxy在雙曲線

22

22

1(0,0)

xy

ab

ab

????的內(nèi)部

22

00

22

1

xy

ab

???.

(2）點(diǎn)

00

(,)Pxy在雙曲線

22

22

1(0,0)

xy

ab

ab

????的外部

22

00

22

1

xy

ab

???.

98。雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系

(1)若雙曲線方程為1

2

2

2

2

??

b

y

a

x

?漸近線方程：

22

22

0

xy

ab

???

x

a

b

y??。

（2)若漸近線方程為x

a

b

y???0??

b

y

a

x

?雙曲線可設(shè)為???

2

2

2

2

b

y

a

x

.

（3）若雙曲線與1

2

2

2

2

??

b

y

a

x

有公共漸近線,可設(shè)為???

2

2

2

2

b

y

a

x

（

0??

，焦點(diǎn)在x

軸上，

0??

，焦點(diǎn)在y軸上）.

99。雙曲線的切線方程

（1）雙曲線

22

22

1(0,0)

xy

ab

ab

????上一點(diǎn)

00

(,)Pxy處的切線方程是00

22

1

xxyy

ab

??.

（2）過(guò)雙曲線

22

22

1(0,0)

xy

ab

ab

????外一點(diǎn)

00

(,)Pxy所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是

00

22

1

xxyy

ab

??.

（3）雙曲線

22

22

1(0,0)

xy

ab

ab

????與直線0AxByC???相切的條件是

22222AaBbc??。

100.拋物線pxy22?的焦半徑公式

拋物線22(0)ypxp??焦半徑

02

p

CFx??。

過(guò)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)pxx

p

x

p

xCD???????

212122

。

101.拋物線pxy22?上的動(dòng)點(diǎn)可設(shè)為P),

2

(

2

?

?y

p

y

或或)2,2(2ptptPP(,)xy，其中

22ypx?。

102.二次函數(shù)

2

22

4

()

24

bacb

yaxbxcax

aa

?

??????

(0)a?的圖象是拋物線:（1）頂

點(diǎn)坐標(biāo)為

24

(,)

24

bacb

aa

?

?;(2）焦點(diǎn)的坐標(biāo)為

241

(,)

24

bacb

aa

??

?；(3)準(zhǔn)線方程是

241

4

acb

y

a

??

?.

103。拋物線的內(nèi)外部

(1)點(diǎn)

00

(,)Pxy在拋物線22(0)ypxp??的內(nèi)部22(0)ypxp???.

點(diǎn)

00

(,)Pxy在拋物線22(0)ypxp??的外部22(0)ypxp???.

(2)點(diǎn)

00

(,)Pxy在拋物線22(0)ypxp???的內(nèi)部22(0)ypxp????。

點(diǎn)

00

(,)Pxy在拋物線22(0)ypxp???的外部22(0)ypxp????。

(3）點(diǎn)

00

(,)Pxy在拋物線22(0)xpyp??的內(nèi)部22(0)xpyp???。

點(diǎn)

00

(,)Pxy在拋物線22(0)xpyp??的外部22(0)xpyp???。

(4)點(diǎn)

00

(,)Pxy在拋物線22(0)xpyp??的內(nèi)部22(0)xpyp???.

點(diǎn)

00

(,)Pxy在拋物線22(0)xpyp???的外部22(0)xpyp????.

104.拋物線的切線方程

(1）拋物線pxy22?上一點(diǎn)

00

(,)Pxy處的切線方程是

00

()yypxx??.

（2)過(guò)拋物線pxy22?外一點(diǎn)

00

(,)Pxy所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是

00

()yypxx??.

(3）拋物線22(0)ypxp??與直線0AxByC???相切的條件是22pBAC?。

105.兩個(gè)常見(jiàn)的曲線系方程

（1)過(guò)曲線

1

(,)0fxy?,

2

(,)0fxy?的交點(diǎn)的曲線系方程是

12

(,)(,)0fxyfxy???(?為參數(shù)）.

(2)共焦點(diǎn)的有心圓錐曲線系方程

22

22

1

xy

akbk

??

??

，其中22max{,}kab?。當(dāng)

22min{,}kab?時(shí),表示橢圓;當(dāng)2222min{,}max{,}abkab??時(shí)，表示雙曲線.

106。直線與圓錐曲線相交的弦長(zhǎng)公式22

1212

()()ABxxyy????或

2222

211212

(1)()||1tan||1tABkxxxxyyco???????????(弦端點(diǎn)

A),(),,(

2211

yxByx，由方程

?

?

?

?

??

0)y,x(F

bkxy

消去y得到02???cbxax，

0??

，?為直

線

AB

的傾斜角，

k

為直線的斜率）。

107。圓錐曲線的兩類對(duì)稱問(wèn)題

(1）曲線(,)0Fxy?關(guān)于點(diǎn)

00

(,)Pxy成中心對(duì)稱的曲線是

00

(2-,2)0Fxxyy??。

（2）曲線(,)0Fxy?關(guān)于直線0AxByC???成軸對(duì)稱的曲線是

2222

2()2()

(,)0

AAxByCBAxByC

Fxy

ABAB

????

???

??

.

108.“四線”一方程

對(duì)于一般的二次曲線220AxBxyCyDxEyF??????，用

0

xx代2x，用

0

yy代2y,

用00

2

xyxy?

代xy，用0

2

xx?

代x，用0

2

yy?

代y即得方程

0000

00

0

222

xyxyxxyy

AxxBCyyDEF

???

?????????，曲線的切線，切點(diǎn)弦，中點(diǎn)

弦，弦中點(diǎn)方程均是此方程得到.

109．證明直線與直線的平行的思考途徑

（1)轉(zhuǎn)化為判定共面二直線無(wú)交點(diǎn)；

（2)轉(zhuǎn)化為二直線同與第三條直線平行；

（3）轉(zhuǎn)化為線面平行；

（4）轉(zhuǎn)化為線面垂直；

(5）轉(zhuǎn)化為面面平行。

110．證明直線與平面的平行的思考途徑

（1）轉(zhuǎn)化為直線與平面無(wú)公共點(diǎn)；

（2）轉(zhuǎn)化為線線平行;

（3）轉(zhuǎn)化為面面平行.

111．證明平面與平面平行的思考途徑

（1)轉(zhuǎn)化為判定二平面無(wú)公共點(diǎn);

(2）轉(zhuǎn)化為線面平行;

（3）轉(zhuǎn)化為線面垂直。

112．證明直線與直線的垂直的思考途徑

（1)轉(zhuǎn)化為相交垂直；

（2）轉(zhuǎn)化為線面垂直；

(3）轉(zhuǎn)化為線與另一線的射影垂直;

（4）轉(zhuǎn)化為線與形成射影的斜線垂直。

113．證明直線與平面垂直的思考途徑

（1）轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)任一直線垂直；

（2）轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)相交二直線垂直;

（3)轉(zhuǎn)化為該直線與平面的一條垂線平行；

（4）轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一個(gè)平行平面;

（5）轉(zhuǎn)化為該直線與兩個(gè)垂直平面的交線垂直.

114．證明平面與平面的垂直的思考途徑

(1）轉(zhuǎn)化為判斷二面角是直二面角；

(2）轉(zhuǎn)化為線面垂直.

115。空間向量的加法與數(shù)乘向量運(yùn)算的運(yùn)算律

(1)加法交換律:a＋b=b＋a．

(2)加法結(jié)合律:（a＋b）＋c=a＋(b＋c)．

（3)數(shù)乘分配律:λ（a＋b)=λa＋λb．

116。平面向量加法的平行四邊形法則向空間的推廣

始點(diǎn)相同且不在同一個(gè)平面內(nèi)的三個(gè)向量之和，等于以這三個(gè)向量為棱的平行六面體的

以公共始點(diǎn)為始點(diǎn)的對(duì)角線所表示的向量。

117.共線向量定理

對(duì)空間任意兩個(gè)向量a、b(b≠0）,a∥b?存在實(shí)數(shù)λ使a=λb．

PAB、、

三點(diǎn)共線?||APAB?APtAB??(1)OPtOAtOB???。

||ABCD?AB、CD共線且

ABCD、

不共線?ABtCD?且

ABCD、

不共線.

118。共面向量定理

向量p與兩個(gè)不共線的向量a、b共面的?存在實(shí)數(shù)對(duì),xy,使paxby??．

推論空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的?存在有序?qū)崝?shù)對(duì),xy，使

MPxMAyMB??，

或?qū)臻g任一定點(diǎn)O，有序?qū)崝?shù)對(duì)

,xy

，使OPOMxMAyMB???。

119.對(duì)空間任一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A、B、C，滿足OPxOAyOBzOC???

（xyzk???)，則當(dāng)

1k?

時(shí)，對(duì)于空間任一點(diǎn)

O

,總有P、A、B、C四點(diǎn)共面；當(dāng)

1k?

時(shí)，若O?平面ABC,則P、A、B、C四點(diǎn)共面；若O?平面ABC，則P、A、B、C四點(diǎn)不

共面．

CAB、、、D

四點(diǎn)共面?AD與AB、AC共面?ADxAByAC???

(1)ODxyOAxOByOC?????（

O?

平面ABC）.

120.空間向量基本定理

如果三個(gè)向量a、b、c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x，

y,z，使p＝xa＋yb＋zc．

推論設(shè)O、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)P，都存在唯一的三個(gè)有序

實(shí)數(shù)x，y，z，使OPxOAyOBzOC???。

121.射影公式

已知向量AB=a和軸

l

,e是

l

上與

l

同方向的單位向量。作A點(diǎn)在

l

上的射影'A，作B

點(diǎn)在

l

上的射影'B，則

''||cosABAB?〈a，e〉=a·e

122.向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算

設(shè)a＝

123

(,,)aaa，b＝

123

(,,)bbb則

(1）a＋b＝

112233

(,,)ababab???；

（2)a－b＝

112233

(,,)ababab???；

（3）λa＝

123

(,,)aaa???(λ∈R)；

（4)a·b＝

112233

ababab??;

123。設(shè)A

111

(,,)xyz，B

222

(,,)xyz,則

ABOBOA??=

212121

(,,)xxyyzz???.

124．空間的線線平行或垂直

設(shè)

111

(,,)axyz?，

222

(,,)bxyz?，則

ab?(0)abb????

12

12

12

xx

yy

zz

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

；

ab??0ab???

121212

0xxyyzz???。

125.夾角公式

設(shè)a＝

123

(,,)aaa，b＝

123

(,,)bbb,則

cos〈a，b〉=112233

222222

123123

ababab

aaabbb

??

????

.

推論2222222

3

()()()abababaaabbb???????，此即三維柯西不等式。

126。四面體的對(duì)棱所成的角

四面體

ABCD

中,

AC

與

BD

所成的角為?,則

2222|()()|

cos

2

ABCDBCDA

ACBD

?

???

?

?

.

127．異面直線所成角

cos|cos,|ab??

=121212

222222

111222

||

||

||||

xxyyzz

ab

ab

xyzxyz

??

?

?

?

?????

(其中?（090???）為異面直線ab,所成角，,ab分別表示異面直線ab,的方向向量）

128。直線

AB

與平面所成角

sin

||||

ABm

arc

ABm

?

?

?（m為平面?的法向量）。

129.若

ABC?

所在平面若?與過(guò)若

AB

的平面?成的角?，另兩邊

AC

，

BC

與平面

?成的角分別是

1

?、

2

?，

AB、

為

ABC?

的兩個(gè)內(nèi)角,則

22222

12

sinsin(sinsin)sinAB??????.

特別地,當(dāng)90ACB??時(shí)，有

222

12

sinsinsin?????。

130.若

ABC?

所在平面若?與過(guò)若

AB

的平面?成的角?,另兩邊

AC

，

BC

與平面?

成的角分別是

1

?、

2

?，''AB、為

ABO?

的兩個(gè)內(nèi)角，則

222'2'2

12

tantan(sinsin)tanAB??????。

特別地，當(dāng)90AOB??時(shí),有

222

12

sinsinsin?????。

131.二面角l????的平面角

cos

||||

mn

arc

mn

?

?

?或cos

||||

mn

arc

mn

?

?

?（m，n為平面?,?的法向量）.

132.三余弦定理

設(shè)AC是α內(nèi)的任一條直線，且BC⊥AC，垂足為C，又設(shè)AO與AB所成的角為

1

?，

AB與AC所成的角為

2

?，AO與AC所成的角為?．則

12

coscoscos????.

133.三射線定理

若夾在平面角為?的二面角間的線段與二面角的兩個(gè)半平面所成的角是

1

?，

2

?,與二面

角的棱所成的角是θ，則有2222

1212

sinsinsinsin2sinsincos??????????；

1212

||180()??????????(當(dāng)且僅當(dāng)90??時(shí)等號(hào)成立)。

134。空間兩點(diǎn)間的距離公式

若A

111

(,,)xyz，B

222

(,,)xyz，則

,AB

d=

||ABABAB??222

212121

()()()xxyyzz??????。

135.點(diǎn)Q到直線l距離

22

1

(||||)()

||

habab

a

???（點(diǎn)

P

在直線

l

上，直線

l

的方向向量a=PA,向量

b=PQ).

136.異面直線間的距離

||

||

CDn

d

n

?

?（

12

,ll是兩異面直線，其公垂向量為n，

CD、

分別是

12

,ll上任一點(diǎn)，

d

為

12

,ll間的距離).

137.點(diǎn)

B

到平面?的距離

||

||

ABn

d

n

?

?(n為平面?的法向量,

AB

是經(jīng)過(guò)面?的一條斜線，

A??

）。

138.異面直線上兩點(diǎn)距離公式

2222cosdhmnmn????.

222'2cos,dhmnmnEAAF????。

2222cosdhmnmn?????

（'EAAF????）.

（兩條異面直線a、b所成的角為θ，其公垂線段'AA的長(zhǎng)度為h。在直線a、b上分別取

兩點(diǎn)E、F，'AEm?,

AFn?

,

EFd?

)。

139.三個(gè)向量和的平方公式

222

2()222abcabcabbcca???????????

2222||||cos,2||||cos,2||||cos,abcababbcbccaca?????????

140。長(zhǎng)度為

l

的線段在三條兩兩互相垂直的直線上的射影長(zhǎng)分別為

123

lll、、,夾角分

別為

123

???、、,則有

2222

123

llll???222

123

coscoscos1???????222

123

sinsinsin2???????.

（立體幾何中長(zhǎng)方體對(duì)角線長(zhǎng)的公式是其特例）.

141。面積射影定理

'

cos

S

S

?

?.

(平面多邊形及其射影的面積分別是S、'S，它們所在平面所成銳二面角的為?).

142.斜棱柱的直截面

已知斜棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)是l，側(cè)面積和體積分別是S

斜棱柱側(cè)

和V

斜棱柱

，它的直截面的周長(zhǎng)

和面積分別是

1

c和

1

S，則

①

1

Scl?

斜棱柱側(cè)

.

②

1

VSl?

斜棱柱

。

143．作截面的依據(jù)

三個(gè)平面兩兩相交,有三條交線，則這三條交線交于一點(diǎn)或互相平行。

144．棱錐的平行截面的性質(zhì)

如果棱錐被平行于底面的平面所截,那么所得的截面與底面相似,截面面積與底面面積的

比等于頂點(diǎn)到截面距離與棱錐高的平方比（對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)成比例的多邊形是相似

多邊形，相似多邊形面積的比等于對(duì)應(yīng)邊的比的平方）；相應(yīng)小棱錐與小棱錐的側(cè)面積的比

等于頂點(diǎn)到截面距離與棱錐高的平方比．

145。歐拉定理(歐拉公式）

2VFE???

(簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)E和面數(shù)F）.

（1）

E

=各面多邊形邊數(shù)和的一半.特別地,若每個(gè)面的邊數(shù)為n的多邊形，則面數(shù)F與

棱數(shù)E的關(guān)系：

1

2

EnF?；

(2）若每個(gè)頂點(diǎn)引出的棱數(shù)為m，則頂點(diǎn)數(shù)V與棱數(shù)E的關(guān)系：

1

2

EmV?.

146。球的半徑是R,則

其體積3

4

3

VR??，

其表面積24SR??．

147。球的組合體

(1)球與長(zhǎng)方體的組合體:

長(zhǎng)方體的外接球的直徑是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)。

（2)球與正方體的組合體:

正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長(zhǎng)，正方體的棱切球的直徑是正方體的面對(duì)角線

長(zhǎng),正方體的外接球的直徑是正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)。

（3）球與正四面體的組合體：

棱長(zhǎng)為a的正四面體的內(nèi)切球的半徑為

6

12

a，外接球的半徑為

6

4

a。

148．柱體、錐體的體積

1

3

VSh?

柱體

(

S

是柱體的底面積、

h

是柱體的高）。

1

3

VSh?

錐體

（S是錐體的底面積、h是錐體的高).

149.分類計(jì)數(shù)原理（加法原理）

12n

Nmmm????。

150。分步計(jì)數(shù)原理（乘法原理)

12n

Nmmm????.

151。排列數(shù)公式

m

n

A=)1()1(???mnnn?=

！

！

)(mn

n

?

。(n，m∈N*，且

mn?

）．

注：規(guī)定1!0?.

152.排列恒等式

(1）1(1)mm

nn

AnmA????;

（2）

1

mm

nn

n

AA

nm?

?

?

;

（3）1

1

mm

nn

AnA?

?

?;

(4)1

1

nnn

nnn

nAAA?

?

??；

（5)1

1

mmm

nnn

AAmA?

?

??。

(6）1!22!33!!(1)!1nnn??????????.

153.組合數(shù)公式

m

n

C=

m

n

m

m

A

A

=

m

mnnn

???

???

?

?

21

)1()1(

=

！！

！

)(mnm

n

??

（n∈N＊，

mN?

，且

mn?

）。

154。組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)

（1）m

n

C=mn

n

C?;

（2)m

n

C+1?m

n

C=m

n

C

1?

。

注:規(guī)定10?

n

C。

155.組合恒等式

（1）1

1

mm

nn

nm

CC

m

?

??

?;

（2）

1

mm

nn

n

CC

nm?

?

?

；

（3）1

1

mm

nn

n

CC

m

?

?

?;

(4）?

?

n

r

r

n

C

0

=n2;

（5）1

121

?

???

?????r

n

r

n

r

r

r

r

r

r

CCCCC?.

（6)nn

n

r

nnnn

CCCCC2210?????????.

（7）14205312????????n

nnnnnn

CCCCCC??。

（8）1321232??????nn

nnnn

nnCCCC?。

（9）r

nm

r

n

r

mn

r

mn

r

m

CCCCCCC

?

?????0110?。

(10)n

n

n

nnnn

CCCCC

2

2222120)()()()(??????。

156.排列數(shù)與組合數(shù)的關(guān)系

mm

nn

AmC??！。

157．單條件排列

以下各條的大前提是從n個(gè)元素中取m個(gè)元素的排列.

（1）“在位”與“不在位"

①某(特)元必在某位有1

1

?

?

m

n

A種;②某（特）元不在某位有1

1

?

?

?m

n

m

n

AA（補(bǔ)集思想）

1

1

1

1

?

??

?m

nn

AA(著眼位置）1

1

1

11

?

???

??m

nm

m

n

AAA（著眼元素）種。

（2）緊貼與插空（即相鄰與不相鄰）

①定位緊貼：)(nmkk??個(gè)元在固定位的排列有km

kn

k

k

AA?

?

種.

②浮動(dòng)緊貼:n個(gè)元素的全排列把k個(gè)元排在一起的排法有k

k

kn

kn

AA1

1

??

??

種.注：此類問(wèn)題常

用捆綁法;

③插空:兩組元素分別有k、h個(gè)（

1??hk

）,把它們合在一起來(lái)作全排列,k個(gè)的一組

互不能挨近的所有排列數(shù)有k

h

h

h

AA

1?

種.

（3）兩組元素各相同的插空

m個(gè)大球n個(gè)小球排成一列，小球必分開(kāi)，問(wèn)有多少種排法？

當(dāng)

1??mn

時(shí)，無(wú)解；當(dāng)

1??mn

時(shí)，有n

m

n

n

n

mC

A

A

1

1

?

??種排法。

（4）兩組相同元素的排列：兩組元素有m個(gè)和n個(gè)，各組元素分別相同的排列數(shù)為

n

nm

C

?

。

158．分配問(wèn)題

(1）(平均分組有歸屬問(wèn)題）將相異的m、n個(gè)物件等分給m個(gè)人,各得n件，其分配方

法數(shù)共有

m

n

n

n

n

n

nmn

n

nmn

n

mnn

mn

CCCCCN

)!(

)!(

22

???????

??

?.

（2）（平均分組無(wú)歸屬問(wèn)題）將相異的m·n個(gè)物體等分為無(wú)記號(hào)或無(wú)順序的m堆，其

分配方法數(shù)共有

m

n

n

n

n

n

nmn

n

nmn

n

mn

nm

mn

m

CCCCC

N

)!(!

)!(

!

...

22?

????

???.

（3)(非平均分組有歸屬問(wèn)題)將相異的)

12m

P(P=n+n++n個(gè)物體分給m個(gè)人,物件必

須被分完，分別得到

1

n，

2

n，…，

m

n件，且

1

n,

2

n，…,

m

n這m個(gè)數(shù)彼此不相等，則其分配

方法數(shù)共有

!!...!

!!

!...

21

2

1

1

m

n

n

n

np

n

pnnn

mp

mCCCNm

m

????

?

.

（4）(非完全平均分組有歸屬問(wèn)題）將相異的)

12m

P(P=n+n++n個(gè)物體分給m個(gè)人，

物件必須被分完,分別得到

1

n,

2

n，…，

m

n件，且

1

n，

2

n，…，

m

n這m個(gè)數(shù)中分別有a、b、

c、…個(gè)相等,則其分配方法數(shù)有

!...!!

!...2

1

1

cba

mCCC

Nm

m

n

n

n

np

n

p

??

??

12

!!

!!...!(!!!...)

m

pm

nnnabc

?。

（5)（非平均分組無(wú)歸屬問(wèn)題)將相異的)

12m

P(P=n+n++n個(gè)物體分為任意的

1

n，

2

n，…，

m

n件無(wú)記號(hào)的m堆，且

1

n，

2

n,…，

m

n這m個(gè)數(shù)彼此不相等,則其分配方法數(shù)有

!!...!

!

21m

nnn

p

N?.

（6)（非完全平均分組無(wú)歸屬問(wèn)題)將相異的)

12m

P(P=n+n++n個(gè)物體分為任意的

1

n，

2

n,…，

m

n件無(wú)記號(hào)的m堆，且

1

n，

2

n，…，

m

n這m個(gè)數(shù)中分別有a、b、c、…個(gè)相等，

則其分配方法數(shù)有

!...)!!(!!...!

!

21

cbannn

p

N

m

?.

（7）(限定分組有歸屬問(wèn)題）將相異的

p

（

2m

pnnn?

1

+++）個(gè)物體分給甲、乙、

丙，……等m個(gè)人，物體必須被分完,如果指定甲得

1

n件，乙得

2

n件，丙得

3

n件,…時(shí),則無(wú)論

1

n，

2

n，…，

m

n等m個(gè)數(shù)是否全相異或不全相異其分配方法數(shù)恒有

!!...!

!

...

21

2

1

1

m

n

n

n

np

n

pnnn

p

CCCNm

m

???

?

.

159．“錯(cuò)位問(wèn)題”及其推廣

貝努利裝錯(cuò)箋問(wèn)題：信n封信與n個(gè)信封全部錯(cuò)位的組合數(shù)為

1111

()![(1)]

2!3!4!!

nfnn

n

??????.

推廣:n個(gè)元素與n個(gè)位置,其中至少有m個(gè)元素錯(cuò)位的不同組合總數(shù)為

1234(,)!(1)!(2)!(3)!(4)!

(1)()!(1)()!

mmmm

ppmm

mm

fnmnCnCnCnCn

CnpCnm

?????????

????????

1234

1224

![1(1)(1)]

pm

pm

mmmmmm

pm

nnnnnn

CCCCCC

n

AAAAAA

???????????.

160．不定方程

2n

xxxm?

1

+++的解的個(gè)數(shù)

（1）方程

2n

xxxm?

1

+++（,nmN??）的正整數(shù)解有

1

1

m

nC

?

?個(gè)。

（2)方程

2n

xxxm?

1

+++(,nmN??)的非負(fù)整數(shù)解有

1

1

nm

nC

??

?個(gè)。

（3）方程

2n

xxxm?

1

+++（,nmN??）滿足條件

i

xk?（kN??，

21in???

）

的非負(fù)整數(shù)解有

1

1

(2)(1)

m

n

nk

C

?

?

???

個(gè).

（4）方程

2n

xxxm?

1

+++(,nmN??）滿足條件

i

xk?（kN??，

21in???

）

的正整數(shù)解有

12222321(2)

11121221(1)

nmnmnknmnknmnk

nnnnnnCCCCCCC

??????????????

???????????個(gè).

161.二項(xiàng)式定理

nn

n

rrnr

n

n

n

n

n

n

n

nbCbaCbaCbaCaCba?????????????222110)(；

二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式

rrnr

nr

baCT?

?

?

1

)210(nr，，，??。

162.等可能性事件的概率

()

m

PA

n

?。

163。互斥事件A,B分別發(fā)生的概率的和

P(A＋B)=P（A)＋P（B）．

164.n個(gè)互斥事件分別發(fā)生的概率的和

P(A

1

＋A

2

＋…＋A

n

）=P（A

1

)＋P(A

2

）＋…＋P（A

n

）．

165.獨(dú)立事件A，B同時(shí)發(fā)生的概率

P（A·B）=P（A）·P（B).

166.n個(gè)獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率

P(A

1

·A

2

·…·A

n

)=P（A

1

）·P(A

2

)·…·P(A

n

）．

167。n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件恰好發(fā)生k次的概率

()(1).kknk

nn

PkCPP???

168.離散型隨機(jī)變量的分布列的兩個(gè)性質(zhì)

(1）0(1,2,)

i

Pi??;

（2)

12

1PP???。

169。數(shù)學(xué)期望

1122nn

ExPxPxP??????

170.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)

（1)()()EabaEb?????。

(2）若?～(,)Bnp，則Enp??.

（3)若?服從幾何分布，且1()(,)kPkgkpqp?????，則

1

E

p

??.

171.方差

??????222

1122nn

DxEpxEpxEp???????????????

172。標(biāo)準(zhǔn)差

??=?D.

173.方差的性質(zhì)

（1）??2DabaD????；

(2)若?～(,)Bnp，則(1)Dnpp???。

（3）若?服從幾何分布，且1()(,)kPkgkpqp?????,則

2

q

D

p

??.

174.方差與期望的關(guān)系

??2

2DEE?????

。

175.正態(tài)分布密度函數(shù)

??

??

??2

226

1

,,

26

x

fxex

?

?

?

?

??????,式中的實(shí)數(shù)μ,?（?〉0）是參數(shù)，分別表示個(gè)

體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差.

176。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)

????2

2

1

,,

26

x

fxex

?

???????.

177。對(duì)于2(,)N??,取值小于x的概率

??

x

Fx

?

?

?

??

??

??

??

。

??????

12201

xxPxxPxxxP??????

????

21

FxFx??

21

xx??

??

??

????

????

????

????

.

178.回歸直線方程

yabx??，其中

????

??

11

2

22

11

nn

iiii

ii

nn

ii

ii

xxyyxynxy

b

xxxnx

aybx

??

??

?

???

?

?

??

?

??

?

?

??

?

??

??

。

179。相關(guān)系數(shù)

????

1

22

11

()()

n

ii

i

nn

ii

ii

xxyy

r

xxyy

?

??

??

?

??

?

??

????

1

2222

11

()()

n

ii

i

nn

ii

ii

xxyy

xnxyny

?

??

??

?

??

?

??

.

|r|≤1，且|r|越接近于1，相關(guān)程度越大；|r｜越接近于0，相關(guān)程度越小。

180.特殊數(shù)列的極限

(1)

0||1

lim11

||11

n

n

q

qq

qq

??

?

?

?

??

?

?

???

?

不存在或

.

(2）

1

10

1

10

0()

lim()

()

kk

kkt

tt

n

ttk

kt

ananaa

kt

bnbnbb

kt

?

?

?

??

?

?

?

?

???

?

??

?

???

?

?

?

?

不存在

.

（3）

??1

1

1

lim

11

n

n

aq

a

S

qq??

?

??

??

(S

無(wú)窮等比數(shù)列??1

1

naq?（||1q?）的和).

181。函數(shù)的極限定理

0

lim()

xx

fxa

?

??

00

lim()lim()

xxxx

fxfxa

????

??。

182.函數(shù)的夾逼性定理

如果函數(shù)f(x)，g(x)，h(x)在點(diǎn)x

0

的附近滿足：

（1)()()()gxfxhx??;

(2)

00

lim(),lim()

xxxx

gxahxa

??

??（常數(shù)),

則

0

lim()

xx

fxa

?

?.

本定理對(duì)于單側(cè)極限和??x的情況仍然成立。

183.幾個(gè)常用極限

（1）

1

lim0

nn??

?，lim0n

n

a

??

?（||1a?）；

(2）

0

0

lim

xx

xx

?

?，

0

0

11