球面距離

地球上兩點之間的球面距離的教學設計與思考

衛福山（上海市松江二中）

一、教學內容分析

球面距離是上海教育出版社數學（高三）第15章簡單幾何體第6節內容，《上海市中小學課程標

準》對球的要求是：類比關于圓的研究，對球及有關截面的性質深入探討；知道球的表面積和體積的

計算公式，并會用于進行有關的度量計算；知道球面距離和經度、緯度等概念，進一步認識數學和實

際的聯系.在本節中，引導學生理解球面距離的概念（這不同于一般的直線距離），原因在于球面不能

展開成平面.然后具體探究了如何求同緯度不同經度、同經度不同緯度、不同經度不同緯度的地球上兩

點之間的距離的求法，特別強調將其中的線面關系轉化為多面體（主要是特殊的棱錐）來分析，并綜

合使用扇形、弧長、解三角形等數學知識.在探究球面距離的計算中培養了學生空間想象能力和探究性

學習的能力.

二、教學目標設計

1、知道球面距離的定義，知道地球的經度與緯度的概念，會求地球上同經度或同緯度的兩點間的球

面距離.

2、在解決問題的過程中，領會計算地球上兩點間的球面距離的方法.

3、在實際問題中，探索新知識，成功解決問題，完成愉悅體驗.

三、教學重難點

教學重點：掌握計算地球上兩點間的球面距離的方法.

教學難點：如何求地球上同緯度的兩點間的球面距離.

四、教學內容安排

（一）、知識準備

1、聯系右圖及中學地理中的有關知識認識地球——半徑

為6371千米的球.（理想模型）

2、經度、緯度等相關知識

地軸:連結北南極的球的直徑,稱為地軸.

經線:經過北南極的半大圓,稱為經線.

本初子午線:它是地球上的零度經線,分別向東和向西計

量經度，稱為東經和西經,從0度到180度.

經度:經線所在半平面與零度經線所在半平面所成的二面

角的度數.參見右圖.

赤道:過球心且垂直于地軸的大圓,稱為赤道.赤道的圓心

就是球心.

緯線:平行于赤道的小圓,稱為緯線.位于赤道以北的稱為

北緯,位于赤道之南的稱為南緯.

緯度:球面上某點所在球半徑與赤道平面所成的角.從0度

到90度.參見上圖.

3、球面距離

在球面上兩點之間的最短距離就是經過這兩點的大圓在這兩點間的劣弧的長度——這個弧長叫

兩點的球面距離.

問題：為何最短距離是經過兩點的大圓的劣弧

解釋如下：如圖所示，A、B是球面上兩點，圓O

?

是經過A、B的任一小圓（緯

線圓），O是球心，設,,AOBAOB???

????

,(0,),????地球半徑為,OAOBR??小圓半徑為,OAOBr

??

??則A、B兩地所在的大圓劣弧長為

1

,sR??小圓的劣弧長為

2

,sr??下面只要說明

12

ss?即可。

在AOB?與AOB

?

?中，由于2sin2sin

22

ABRr

??

??，于是

sin

2

sin

2

R

r

?

?

?，

從而1

2

sinsin

222

sinsin

222

s

R

sr

???

??

???

??

????.

由于,(0,),????,(0,),

222

???

?函數

sinx

y

x

?在(0,)

2

x

?

?上單調遞減（利用導數知

2

cos

(tan)0

x

yxx

x

?

???，從而單調遞減），又由于,Rr?從而sinsin

22

??

?，即

22

??

?，于是有

sinsin

22

22

??

??

?，即1

12

2

1,

s

ss

s

??,因此，在連結球面上兩點的路徑中，通過這兩點的大圓劣弧最短.

4、一些記號

設地球球面上A地的緯度、經度分別為,??（弧度制為單位），類似于平面直角坐標系中點的坐標，

用(,)A??表示A地的球面坐標，顯然[0,],[0,]

2

?

?????.

（二）、創設問題情境

飛機飛行的路線稱為空中交通線，簡稱航線.飛機的航線不僅確定了飛機飛行具體方向、起訖點和

經停點，而且還根據空中交通管制的需要，規定了航線的寬度和飛行高度，以維護空中交通秩序，保

證飛行安全.飛機航線的確定除了安全因素外，也取決于經濟效益和社會效益的大小，其中有一項毫無

疑問是追求航線盡可能的“短”，那怎樣才能做到這一點呢

（三）、地球上兩點間的距離的常見題型

1、同經度不同緯度的兩點間的球面距離：如圖所示，設

12

(,),(,)AB????為

地球球面上同經度但不是同緯度的兩點（緯度分別為

12

,??，規定北緯時緯度為

正，南緯時緯度為負，經度為?），則球心角

12

||AOB?????，則A、B

兩地的球面距離為

12

||sR?????（R為地球半徑）.----------------（公式一）

注：同經度不同緯度的A、B兩地實質上已經在一個大圓上，只要求出球心角（圓

心角），即兩地的緯度差（和）即可.

2、同緯度不同經度的兩點間的球面距離：如圖所示，設

12

(,),(,)AB????為地

球球面上同緯度但不同經度的兩點(緯度為

?

，經度分別為

12

,??，規定東經時經

度為正，西經時經度為負)，點A、B在赤道平面上的投影分別為C、D，則

12

||CODAOB???

?????（若

12

||(,2)??????，則

12

2||AOB????

????），且

1212

coscos||cos(2||)AOB??????

??????.四邊形ABDC是矩形，AB=CD.小圓半徑

cosOAOBR???

??，于是在△AO’B中，由余弦定理得

22

12

||

(cos)(cos)2coscoscos2cossin

2

ABRRRRAOBR

??

?????

?

?

?????.

在AOB?中，由余弦定理得

222

22

12

2

||

cos12cossin

22

RRAB

AOB

R

??

?

?

??

????，

于是球心角22

12

||

arccos(12cossin)

2

AOB

??

?

?

???，則A、B兩地的球面距離為

22

12

||

arccos(12cossin)

2

sR

??

?

?

???（R為地球半徑）.------------（公式二）

注：同緯度不同經度的A、B兩地距離實質上只要考慮如右圖所示的三棱

錐OABO

?

?，其中,OAOBOOR

?

???OAOOBO

??

???為緯度，AOB

?

?

為兩地的經度差（和）（或經度差相對周角的補角），

,OAOBOOABO

????

??面，只要能求出球心角AOB?即可.

3、（拓展）不同緯度不同經度的兩點間的球面距離：如圖所示，設

1122

(,),(,)AB????為地球上不同緯度不同經度的兩點(緯度分別為

12

,??，

經度分別為

12

,??，規定北緯時緯度為正，南緯時緯度為負，東經時經度為

正，西經時經度為負)，點A、B在赤道平面上的投影分別為C、D，則

12

,AOCBOD??????，

12

||COD?????（若

12

||(,2)??????，則

12

2||COD???????），

1212

,cos,cos,sin,sin,OAOBROCRODRACRBDR??????????

在COD?中，由余弦定理得

在直角梯形ABDC中，易求

在△AOB中，由余弦定理有

222

121212

2

cossinsincoscoscos||

2

RRAB

AOB

R

??????

??

?????.

于是球心角為

121212

arccos(sinsincoscoscos||)AOB??????????，

則A、B兩地的球面距離為

121212

arccos(sinsincoscoscos||)sR??????????.

（R為地球半徑）.-------------------（公式三）.

注：不同緯度不同經度的A、B兩地距離實質上只要考慮如右圖所示的四棱錐

OABDC?，其中,OAOBR??

,AOCBOD??為A、B的緯度，COD?為

C

D

B

A

O

兩地的經度差（和）（或經度差相對于周角的補角），,ACCOD?面BDCOD?面，四邊ABDC為

直角梯形，只要能求出球心角AOB?即可。而且容易驗證公式一、二都滿足公式三.

（四）例題應用

例1：已知上海的位置約為東經121?，北緯31?，臺北的位置約為東經121?，北緯25?，求兩個城市

之間的距離.（地球半徑約為6371千米，結果精確到1千米）

分析：兩地點經度相同，已保證兩者已落在大圓上.

解：作出如右圖所示的簡圖，則球心角31256AOB????,

于是兩個城市之間的距離為

6

6371667

180

s?????（千米）.

例2：已知北京的位置約為東經116?，北緯40?，紐約的位置約為西經74?，北緯40?，求兩個城市

之間的距離.（地球半徑約為6371千米，結果精確到1千米）

分析：兩地同緯度不同經度.

解：作出如右圖所示的簡圖，(40,116),(40,74)AB?分別表示北京與紐約，

則40,OAOOBO

??

????經度差360[116(74)]170AOB

?

??????，于

是小圓半徑為cos40OAOBR

??

??，使用公式二得兩地的距離為

226371arccos(12cos40sin85)11062s????（千米）.

五、教學反思

本節課可以作為一節師生共同探究課.引入中，從學生學習的地理知識入門，問問學生在地理上了

解的經度、緯度的定義及其中的道理，極大激起學生的學習熱情.本節課中球面距離定義中“經過兩點

的大圓的劣弧長最短”是難點，因為這一結論的證明需要用到高等數學知識，即利用導數證明函數

sinx

y

x

?在(0,)

2

x

?

?上單調遞減，這可以作為部分學有余力的學生課下鉆研。在求兩點的球面距離

中，如何在棱錐中利用邊角的關系求出球心角是解題的核心，只要學生能正確把握大圓、小圓的關系

以及緯度差、經度差與棱錐的角的關系，并恰當使用余弦定理，解決這類問題還是非常容易的。最后，

我們可以給出地球上兩點間的球面距離的一個統一公式，即

球面距離

121212

arccos(sinsincoscoscos||)sR??????????，

其中

1122

(,),(,)AB????分別表示地球上A地的緯度為

1

?，經度為

1

?，B地的緯度為

2

?，經度為

2

?，

（規定北緯時緯度為正，南緯時緯度為負，東經時經度為正，西經時經度為負)，R為地球的半徑.

A

O

B