直角三角形的面積

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博源教育輔導講義

學員姓名：輔導科目：數學教師：孫迎春

課題等腰三角形、直角三角形、勾股定理、面積

授課時間：備課時間：2013.4.1

教學目標

1.了解直角三角形的判定與性質

2.理解直角三角形的邊角關系，掌握用勾股定理解某些簡單的實際問題。

3.靈活運用等腰（等邊）三角形的判定定理與性質定理，以及底邊上的高、中線、頂角的平分線

三線合一的性質進行有關的證明和計算。

重點、難點

重點：勾股定理的推導和引用

難點：三線合一以及勾股定理的靈活應用

考點及考試要求

（含中考）

1.等腰三角形、等邊三角形的有關概念（A）

2.等腰三角形、等邊三角形的性質和一個三角形是等腰三角形的條件(D)

3.直角三角形的概念(A)

4.直角三角形的性質和一個三角形是直角三角形的條件(D)

5.運用勾股定理解決簡單問題，用勾股定理的逆定理判定直角三角形(D)

教學內容

一、等腰（等邊）三角形

【經典例題】

例1、等腰三角形一腰上的高與腰長之比為1∶2，則等腰三角形的頂角為（）

A、300B、600C、1500D、300或1500

分析：如圖所示，在等腰△ABC中，CD為腰AB上的高，CD∶AB＝1∶2，∵AC＝AB，∴CD∶AC＝1∶2，

∴在Rt△ABC中有答案D。

例1圖

D

C

B

A

D

C

B

A

例2圖

F

E

D

C

B

A

例2、如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝900，D是AC上一點，AE⊥BD的延長線于E，又AE＝

2

1

BD，

求證：BD是∠ABC的角平分線。

分析：∠ABC的角平分線與AE邊上的高重合，故可作輔助線補全圖形，構造出全等三角形（證明略）。

例3、如圖，在等腰直角△ABC中，AD為斜邊上的高，以D為端點任作兩條互相垂直的射線與兩腰分別相交

于E、F點，連結EF與AD相交于G，試問：你能確定∠AED和∠AGF的大小關系嗎？

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分析與結論：依題意有△ADE≌△FDC，△EDF為等腰直角三角形，又∵∠AED＝∠AEF＋∠DEG，∠AGF＝

∠AEF＋∠EAG，事實上∠EAG與∠DEG都等于450，故∠AED＝∠AGF。

評注：加強對圖形的分析、發現、挖掘等腰三角形、全等三角形，用相同或相等角的代數式表示∠AED、∠AGF，

從而比較其大小是本題的解題關鍵。

問題一圖

G

F

E

D

C

B

A

課內達標訓練：

一、填空題：

1、等腰三角形的兩外角之比為5∶2，則該等腰三角形的底角為。

2、在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于D，DE垂直平分AB，E為垂足，則∠C＝。

3、等腰三角形的兩邊長為4和8，則它腰上的高為。

4、在△ABC中，AB＝AC，點D在AB邊上，且BD＝BC＝AD，則∠A的度數為。

5、如圖，AB＝BC＝CD，AD＝AE，DE＝BE，則∠C的度數為。

第5題圖

E

D

C

B

A

第6題圖

P

D

C

B

A

第7題圖

4

3

2

1

H

G

F

E

D

C

B

A

6、如圖，D為等邊△ABC內一點，DB＝DA，BP＝AB，∠DBP＝∠DBC，則∠BPD＝。

7、如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，EG⊥AD分別交AB、AD、AC及BC的延長線于點E、H、F、G，已知

下列四個式子：

①∠1＝

2

1

（∠2＋∠3）②∠1＝2（∠3－∠2）

③∠4＝

2

1

（∠3－∠2）④∠4＝

2

1

∠1

其中有兩個式子是正確的，它們是和。

二、選擇題：

1、等腰三角形中一內角的度數為500，那么它的底角的度數為（）

A、500B、650C、1300D、500或650

2、如圖，D為等邊△ABC的AC邊上一點，且∠ACE＝∠ABD，CE＝BD，則△ADE是（）

A、等腰三角形B、直角三角形C、不等邊三角形D、等邊三角形

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第2題圖

E

D

CB

A

第3題圖

S

Q

P

F

E

D

C

B

A

3、如圖，在△ABC中，∠ABC＝600，∠ACB＝450，AD、CF都是高，相交于P，角平分線BE分別交AD、CF于

Q、S，那么圖中的等腰三角形的個數是（）

A、2B、3C、4D、5

4、如圖，已知BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，且MN∥BC，設AB＝12，BC＝24，AC＝18，則△AMN的周長

是（）

A、30B、33C、36D、39

第4題圖

O

N

M

CB

A

第5題圖

E

D

C

B

A

5、如圖，在五邊形ABCDE中，∠A＝∠B＝1200，EA＝AB＝BC＝

2

1

DC＝

2

1

DE，則∠D＝（）

A、300B、450C、600D、67.50

三、解答題：

1、如圖，在△ABC中，AB＝AC，D、E、F分別為AB、BC、CA上的點，且BD＝CE，∠DEF＝∠B。求證：

△DEF是等腰三角形。

2、為美化環境，計劃在某小區內用30平方米的草皮鋪設一塊邊長為10米的等腰三角形綠地。請你求出這個等

腰三角形綠地的另兩邊長。

3、如圖，在銳角△ABC中，∠ABC＝2∠C，∠ABC的平分線與AD垂直，垂足為D，求證：AC＝2BD。

第1題圖

F

E

D

C

B

A

第3題圖

E

D

CB

A

4、在等邊△ABC的邊BC上任取一點D，作∠DAE＝600，AE交∠C的外角平分線于E，那么△ADE是什么

三角形？證明你的結論。

二、直角三角形、勾股定理、面積

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【經典例題】

例1、如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝600，∠B＝∠D＝900，BC＝2，CD＝3，則AB＝？

分析：通過作輔助線，將四邊形問題轉化為三角形問題來解決，其關鍵是對內分割還是向外補形。

答案：3

3

8

例1圖

3

2

E

D

C

B

A

例2圖

Q

PC

B

A

例2、如圖，P為△ABC邊BC上一點，PC＝2PB，已知∠ABC＝450，∠APC＝600，求∠ACB的度數。

分析：本題不能簡單地由角的關系推出∠ACB的度數，而應綜合運用條件PC＝2PB及∠APC＝600來構造出含

300角的直角三角形。這是解本題的關鍵。

答案：∠ACB＝750（提示：過C作CQ⊥AP于Q，連結BQ，則AQ＝BQ＝CQ）

例3、如圖，公路MN和公路PQ在點P處交匯，且∠QPN＝300，點A處有一所中學，AP＝160米，假設汽

車行駛時，周圍100米以內會受到噪聲的影響，那么汽車在公路MN上沿PN方向行駛時，學校是否會受到噪聲的

影響？如果受影響，已知汽車的速度為18千米／小時，那么學校受影響的時間為多少秒？

分析：從學校（A點）距離公路（MN）的最近距離（AD＝80米）入手，在距A點方圓100米的范圍內，利用

圖形，根據勾股定理和垂徑定理解決它。

略解：作AD⊥MN于D，在Rt△ADP中，易知AD＝80。所以這所學校會受到噪聲的影響。以A為圓心，100

米為半徑作圓交MN于E、F，連結AE、AF，則AE＝AF＝100，根據勾股定理和垂徑定理知：ED＝FD＝60，EF

＝120，從而學校受噪聲影響的時間為：

150

1

18000

120

??t（小時）＝24（秒）

評注：本題是一道存在性探索題，通過給定的條件，判斷所研究的對象是否存在。

問題一圖

F

E

D

A

Q

P

N

M

12

C

B

A

問題二圖

例3圖例4圖

例4、臺風是一種自然災害，它以臺風中心為圓心在周圍數十千米范圍內形成氣旋風暴，有極強的破壞力．如

圖12，據氣象觀測，距沿海某城市A的正南方向220千米的B處有一臺風中心，其中心最大風力為12級，每遠離

臺風中心20千米，風力就會減弱一級，該臺風中心現正以15千米／時的速度沿北偏東300方向往C移動，且臺風

中心風力不變。若城市所受風力達到或超過四級，則稱為受臺風影響。

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（1）該城市是否會受到這次臺風的影響?請說明理由。

（2）若會受到臺風影響，那么臺風影響該城市的持續時間有多長?

（3）該城市受到臺風影響的最大風力為幾級?

解：（1）如圖1，由點A作AD⊥BC，垂足為D。

∵AB＝220，∠B＝30°∴AD＝110（千米）。

由題意知，當A點距臺風中心不超過160千米時，將會受到臺風的影響。故該城市會受到這次臺風的影響。

（2）由題意知，當A點距臺風中心不超過160千米時，將會受到臺風的影響。則AE＝AF＝160。當臺風中心

從E處移到F處時，該城市都會受到這次臺風的影響。由勾股定理得：

1532222???????ADAEDE。∴EF＝6015（千米）。

∵該臺風中心以15千米／時的速度移動。∴這次臺風影響該城市的持續時間為

154

15

1560

?

（小時）。

（3）當臺風中心位于D處時，A市所受這次臺風的風力最大，其最大風力為12－

20

110

＝6.5（級）。

評注：本題是一道幾何應用題，解題時要善于把實際問題抽象成幾何圖形，并領會圖形中的幾何元素代表的意

義，由題意可分析出，當A點距臺風中心不超過160千米時，會受臺風影響，若過A作AD⊥BC于D，設E，F分

別表示A市受臺風影響的最初，最后時臺風中心的位置，則AE＝AF＝160；當臺風中心位于D處時，A市受臺風

影響的風力最大。

課內達標訓練:

一、填空題：

1、如果直角三角形的邊長分別是6、8、x，則x的取值范圍是。

2、如圖，D為△ABC的邊BC上的一點，已知AB＝13，AD＝12，，BD＝5，AC＝BC，則BC＝。

第2題圖

13

12

5

DCB

A

第3題圖

D

C

B

A

第5題圖

D

C

B

A

3、如圖，四邊形ABCD中，已知AB∶BC∶CD∶DA＝2∶2∶3∶1，且∠B＝900，則∠DAB＝。

4、等腰△ABC中，一腰上的高為3cm，這條高與底邊的夾角為300，則

ABC

S

?

＝。

5、如圖，△ABC中，∠BAC＝900，∠B＝2∠C，D點在BC上，AD平分∠BAC，若AB＝1，則BD的長為。

6、已知Rt△ABC中，∠C＝900，AB邊上的中線長為2，且AC＋BC＝6，則

ABC

S

?

＝。

7、如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，腰長為8cm，AC、BD相交于O點，且∠AOD＝600，設E、F分別為CO、

AB的中點，則EF＝。

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第7題圖

F

E

O

D

CB

A

第8題圖

E

Q

P

D

C

B

A

第9題圖

D

C

B

A

8、如圖，點D、E是等邊△ABC的BC、AC上的點，且CD＝AE，AD、BE相交于P點，BQ⊥AD。已知PE＝1，

PQ＝3，則AD＝。

9、如圖所示，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為7cm，則正方

形A、B、C、D的面積的和是。

二、選擇題：

1、如圖，已知△ABC中，AQ＝PQ，PR＝PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，則三個結論：①AS＝AR；②QP∥AR；

③△BRP≌△QSP中（）

A、全部正確B、僅①和②正確C、僅①正確D、僅①和③正確

2、如果一個三角形的一條邊的長是另一條邊的長的2倍，并且有一個角是300，那么這個三角形的形狀是（）

A、直角三角形B、鈍角三角形C、銳角三角形D、不能確定

3、在四邊形ABCD中，AD⊥CD，AB＝13，BC＝12，CD＝4，AD＝3，則∠ACB的度數是（）

A、大于900B、小于900C、等于900D、不能確定

第1題圖

S

R

Q

P

C

B

A

第4題圖

O

C

B

A

4、如圖，已知△ABC中，∠B＝900，AB＝3，BC＝3，OA＝OC＝6，則∠OAB的度數為（）

A、100B、150C、200D、250

三、解答題：

1、閱讀下面的解題過程：已知a、

b

、c為△ABC的三邊，且滿足42222acbca??

4b?，試判斷△ABC的形狀。

解：∵42222acbca??4b?……①

∴))(()(2222222bababac????……②

∴222cba??……③

∴△ABC是直角三角形。

問：（1）上述解題過程中，從哪一步開始出現錯誤？請寫出該步的代號；

（2）錯誤的原因是；

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（3）本題的正確結論是。

2、已知△ABC中，∠BAC＝750，∠C＝600，BC＝33?，求AB、AC的長。

3、如圖，△ABC中，AD是高，CE是中線，DC＝BE，DG⊥CE于G。

（1）求證：G是CE的中點；

（2）∠B＝2∠BCE。

第3題圖

G

E

DCB

A

第4題圖

C

B

A

4、如圖，某校把一塊形狀近似于直角三角形的廢地開辟為生物園，∠ACB＝900，BC＝60米，∠A＝360。

（1）若入口E在邊AB上，且與A、B等距離，請你在圖中畫出入口E到C點的最短路線，并求最短路線CE

的長（保留整數）；

（2）若線段CD是一條水渠，并且D點在邊AB上，已知水渠造價為50元／米，水渠路線應如何設計才能使

造價最低？請你畫出水渠路線，并求出最低造價。

參考數據：sin360＝0.5878，sin540＝0.8090

5、已知△ABC的兩邊AB、AC的長是方程023)32(22??????kkxkx的兩個實數根，第三邊BC＝5。

（1）

k

為何值時，△ABC是以BC為斜邊的直角三角形；

（2）

k

為何值時，△ABC是等腰三角形，求出此時其中一個三角形的面積。

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6、如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為6cm,則正方形A，

B，C，D的面積之和為___________cm2。

7、如圖，一個三級臺階，它的每一級的長、寬和高分別為20、3、2，A

和B是這個臺階兩個相對的端點，A點有一只螞蟻，想到B點去吃可

口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬到

B點最短路程是。

8、如圖①，分別以直角三角形ABC三邊為直徑向外作三個半圓，其面積分別用S1、S2、S3表示，則不難證明S1=S2+S3.

(1)如圖②，分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個正方形，其面積分別用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3

之間有什么關系？(不必證明)

(2)如圖③，分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個正三角形，其面積分別用S1、S2、S3表示，請你確定S1、

S2、S3之間的關系并加以證明；

(3)若分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個一般三角形，其面積分別用S1、S2、S3表示，為使S1、S2、S3之間

仍具有與(2)相同的關系，所作三角形應滿足什么條件？證明你的結論；

(4)類比(1)、(2)、(3)的結論，請你總結出一個更具一般意義的結論.

學員課堂滿意度調查：（）

A.非常滿意B.基本滿意C.不太滿意D.非常不滿意

課后作業：完成老師下發的個性化專題訓練

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學員課后作業完成質量調查：（）

A.96%-100%B.90-95%C.80%-89%D.80%以下

教學反思及后記：

家長簽名：日期：

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