第四章均布荷載下架空線的計算
在架空輸電線路的設計中，不同氣象條件下架空線的弧垂、應力和線長占有十分重要
的位置，是輸電線路力學研究的主要內容。這是因為架空線的弧垂和應力直接影響著線路的
正常安全運行，而架空線線長的微小變化和誤差都會引起弧垂和應力相當大的改變。設計弧
垂小，架空線的拉應力就大，振動現象加劇，安全系數減小，同時桿塔荷載增大因而要求強
度提高。設計弧垂過大，滿足對地安全距離所需桿塔高度增加，線路投資增大，而且架空線
的風擺、舞動和跳躍會造成線路停電事故，若加大塔頭尺寸，必然會使投資再度提高。因此，
設計合適的弧垂是十分重要的。本章研究垂直均布荷載和水平均布荷載作用下的架空線有關
計算問題。
第一節架空線懸鏈線方程的積分普遍形式
圖4-1架空線懸掛曲線受力圖
（a）分離體受力圖；（b）整檔架空線受力圖；
圖4-1（b）所示為某檔架空線，A、B均為兩懸掛點。沿架空線線長作用有均布比載?，
方向垂直向下。在比載?作用下，架空線呈曲線形狀，其最低位置在?點，在懸掛點A、B
處，架空線的軸向應力分別為
A
?和
B
?。選取線路方向（垂直于比載）為坐標系的x軸，
平行于比載方向為y軸。在架空線上任選一點C，取長為
OC
L的一段架空線作為研究對象，
受力分析如圖4-1(a)所示。列研究對象的力平衡方程式，有
0
cos,0??????X
X(4-1)
OC
X
LY??????sin,0(4-2)
式（4-1）表明，架空線上任一點C處的軸向應力
X
?的水平分量等于弧垂最低點處的
軸向應力
0
?，即架空線上軸向應力的水平分量處處相等，式（4-2）表明，架空線上任一點
軸向應力的垂向分量等于該點到弧垂最低點間線長
OC
L與比載?之積。以上兩式相除可得
tg?=
OC
L
0
?
?
dx
dy
=
OC
L
0
?
?
(4-3)
上式為懸鏈線方程的徽分形式。從中可以看出，當比值?/
0
?一定時，架空線上任一點
處的斜率與該點至弧垂最低點之間的線長成正比。在弧垂最低點O處，曲線的斜率為零，
即?＝0，將式(4-3)寫成
OC
Ly
0
?
?
?
?
兩邊微份
????dxydydxLdyd
C
2
0
2
0
0
0
1)(2?
?????
?
?
?
?
?
?
?
分離變量后兩端積分
???
?
?
?
dx
y
yd
0
21
?
?
)()(
1
0
Cxyarcsh??
?
?
?
或寫成
dx
dy
=sh)(
1
0
Cx?
?
?
(4-4)
上式兩端積分，得
y=
?
?
0ch
21
0
)(CCx??
?
?
(4-5)
式(4-5)是架空線懸鏈線方程的積分普遍形式。其中
1
C、
2
C為積分常數，其值取決于坐
標系的原點位置。
第二節等高懸點架空線的弧垂、線長和應力
一、等高懸點架空線的懸鏈線方程
等高懸點是指架空線的兩個懸掛點高度相同。由于對稱性，等高懸點架空線的弧垂最低
點位于檔距中央，將坐標原為取在該點，如圖4-2所示。
圖4-2等高懸點架空線的懸鏈線
當x=0時，
dx
dy
=0,代入式(4-4)可解得
1
C＝0；當x=0時，y=0，代入式(4-5)并利用
1
C＝
0,解得
?
?
0
1
??C，將
1
C、
2
C的值代回式(4-5)，并加以整理即可得到架空線的懸鏈線方程
y=
?
?
0)1(ch
0
?x
?
?
(4-6)
由式(4-6)可以看出，架空線的懸鏈線具體形狀完全由比值??/
0
決定，即無論是何種
架空線，何種氣象條件，只要??/
0
相同，架空線的懸掛曲線形狀就相同。在比載?一定的
情況下，架空線的水平應力
0
?是決定懸鏈線形狀的唯一因素，所以架線時的水平張力對架
空線的空間形狀有著決定性的影響。
在導出式(4-6)的過程中，并沒有用到等高懸點的限定條件，因此式(4-6)同樣可用于不
等高懸點的情況。
二、等高懸點架空線的弧垂
架空線上任一點的弧垂是指該點距兩懸掛點連線的垂向距離。在架空輸電線路設計中，
需計算架空線任一點x處的弧垂
X
f，以驗算架空線對地安全距離，參見圖4-2，顯然
yyf
BX
??
而
?
B
y
?
?
0（ch1
2
0
?
?
rl
）
所以
?
X
f]
2
)2(
2
[]
2
[
0
1
0
0
00
0
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?xlr
ch
l
ch
x
ch
l
ch
?
???(4-7)
利用恒等式ch?-ch?=
2
sh
2
2sh
??????
對上式進行變換，可以得到
?
X
f
0
1
0
1
0
2
)(
2
2
???
?xlr
sh
rx
sh
?
(4-8)
在檔距中央，弧垂有最大值f，此時x=0或x1＝
2
l
，所以有
0
2
0
0
0
4
2
]1
2
(
?
?
?
?
?
?
?
?
l
sh
l
chyf
B
????(4-9)
除非特別說明，架空線的弧垂一般指的是最大弧垂。最大弧垂在線路的設計、施工中占
有十分重要的位置。
三、等高懸點架空線的線長
弧垂最低點O與任一點C之間的架空線長度
OC
L(參見圖4-1)可由式（4-3）和式（4-4）
聯立求解，并考慮到0
1
?C而得到。線長
OC
L計算式為
0
0
??
?
rx
shL
OC
?
或記為
0
0
??
?
rx
shL
X
?
將
2/lX?
代入上式，可得到半檔距架空線的長度
2/lX
L
?
，整檔架空線的線長L是
2/lX
L
?
的2倍，即
??
?2/
2
lX
LL
0
0
2
2
??
?
rl
sh(4-10)
上式表明，在檔距l一定時，架空線的線長隨比載?和水平應力
0
?的變化而改變，即架
空線的線長是其比載的應力的函數。應該指出，式(4-10)計算得出的是按架空線的懸掛曲線
幾何形狀的計算長度，與架空線的制造長度不盡相同。
四、等高懸點架空線的應力
架空線上任一點C處的應力指的是該點的軸向應力，其方向同該點線軸方向，如圖4-1
（a）所示。軸向應力
x
?可視為水平應力
0
?和垂向應力
0
?的合成。
0
?是架空線最低點處
的應力，工程上常作為已知條件。當架空線的比載?也已知時，任一點的應力為
??
0
2
0
0
0
2
0
2
0
1
2
2?
?
?
????
rx
sh
rx
shrL
OCx
??
?
?
?
?
?
?
?
?
????
根據恒等變換ch??21sh??，可得
0
0?
??
rx
ch
x
?(4-11)
在兩等高懸掛點A、B處，有
0
02?
???
rl
ch
BA
??(4-12)
如果用弧垂表示，則為
rf
BA
???
0
???
上式表明，等高懸點處架空線的應力等于其水平應力和作用在其上的比載與中央弧垂的
乘積的和。必須指出，懸掛點處的應力除按式（4-12）計算的靜態應力外，還有線夾的橫
向擠壓應力，考慮剛度時的附加彎曲應力和振動時產生的附加動應力等。
第三節不等高懸點架空線的弧垂、線長和應力
地形的起伏不平或桿塔高度的不同，將造成架空線懸掛高度不相等。同一檔距兩懸掛點
間的高度差簡稱為高差，兩懸掛點連線與水平面的夾角稱為高差角。
一、不等高懸點架空線的懸鏈線方程
為應用方便起見，取坐標原點位于左側懸掛點處，如圖4-3所示。
圖4-3不等高懸點架空線的懸鏈線
在所選坐標系中，當x=
a
時，
0/?
xy
dd，代入式（4-4）求得aC??
1
；當x=0時，
y=0，代入式（4-5）并注意到aC??
1
，求得
0
0
2?
?
ra
ch
r
C??，將C1、C2之值再代回到
式（4-5），有
00
0
00
0
2
)2(
2
2
]
)(
[
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
ax
sh
x
sh
ra
ch
ax
chy
?
??
?
?(4-13)
上式即為不等高懸點架空線的懸鏈線方程，但式中架空線最低點至左側低懸掛點的水平
距離
a
待求。將x=l時y=h的邊界條件代入式(4-13)，可以得到
0
0
0
2
2
2
?
?
?
?
x
sh
r
h
arcsh
r
l
a??
上式中反雙曲線函數一項的分母，實際上就是式（4-10）表示的等高懸點架空線的檔內
懸鏈線長度，記為
0?h
L，即
0
0
02
2
?
?
?
?
l
shL
h
?
?
(4-10/)
所以
0
0
2
?
??
h
L
h
arcsh
r
l
a
?
(4-14)
相應地，弧垂最低點距右側高懸掛點的水平距離為
0
0
2
?
??
h
L
h
arcsh
r
l
b
?
(4-15)
由于
0
2
000
00
2
00
00
000
2
)(
)(1
2
)(
2
)(
)(1
2
)(
]
2
)(
[
]
2
[
2
)2(
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
xl
sh
L
hxl
ch
L
h
L
hlx
ch
L
hlx
sh
L
h
arcsh
lx
sh
ax
sh
ax
sh
hh
hh
h
?
??
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
??
??
?
上式代入式（4-13），便可得到坐標原點位于左懸點時的不等高懸點架空線的懸鏈線方
程為
]
2
)(
2
2
[)(1]
2
)(
2
2
[
]
2
)(
)(1
2
)(
[
2
2
]
2
)2(
2
2
00
0
2
000
0
0
0
2
0000
0
00
0
??
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
xlr
sh
x
sh
L
hxlr
ch
x
sh
L
h
xl
sh
L
hxlr
ch
L
hx
sh
ax
sh
x
shy
hh
hh
?
??
?
?
?
??
?
?
?
?
??
??
(4-16)
當h=0時，即得到坐標原點位于左懸掛點時的等高懸點的架空線懸鏈線方程
00
0
2
)(
2
2
?
?
?
?
?
?
xl
sh
x
shy
?
??(4-17)
二、不等高懸點架空線的弧垂
根據弧垂的定義，不等高懸點架空線任一點處的弧垂為
]
2
)(
2
2
[)(1]
2
)(
2
2
[
2
)2(
2
2
00
0
2
000
0
0
00
0
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
xlr
sh
x
sh
L
hxl
ch
x
sh
L
h
x
l
h
ax
sh
x
shx
l
h
yx
l
h
f
hh
x
?
??
?
??
?
????
??
(4-
18)
等高懸點h=0時，有
00
0
)0(2
)(
2
2
?
?
?
?
?
?
xl
sh
x
shf
hx
?
??
?
這與式（4-8）是一致的。
架空輸電線路最常用的是檔距中央弧垂，最低點弧垂和最大弧垂（斜切點弧垂），在檔
距中央x=l/2，代入式（4-18）并化簡后得到檔距中央弧垂的計算式
)1
2
()(1
0
0
2
0
2
1
???
?
??
?rl
ch
L
h
f
h
(4-19)
最低點弧垂出現在x=
a
處，代入任一點弧垂公式（4-18）并注意到式（4-4），適當整理
后得
)1
2
)(1[
00
2
0
0
0
????
??hh
L
h
arcsh
l
hrl
ch
L
h
f
??
?
(4-20)
同式（4-19）相比較，上式可寫成
2
00
0
2
10
)(11[
??
?????
hh
L
h
L
h
sharc
l
h
ff
?
?
(4-20/)
最大弧垂出現在0?
dx
df
x處，即
0
)(
)]
)(
([
)(
0
00
0
?
?
??
?
?
??
??
?
??
?
axr
sh
l
h
ra
ch
axr
ch
r
x
l
h
dx
d
yx
l
h
dx
d
dx
df
x
解得出現最大弧垂的位置
)(
2
0
00
?
?????
h
mL
h
arcsh
l
h
arcsh
r
l
l
h
arcsh
r
ax
??
(4-21)
從上式可以看出，不等高懸點架空線的最大弧垂不在檔距中央。由于
0?h
L>l，所以
m
x>2/l，說明最大弧垂位于檔距中央稍偏向高懸掛點一側的位置。將式(4-21)代入任一
點弧垂公式(4-18)，可求得不等高懸點的最大弧垂為
])(1
2
)(1)([2
0
2
00
0
l
hrl
ch
L
h
L
h
arcsh
l
h
arcsh
l
h
f
hh
m
??????
??
??
?
(4-22)
與式(4-19)比較，最大弧垂公式可表示為
)])(1)(1()([2
0
2
0
0
2
1
??
???????
hh
mL
h
l
h
L
h
arcsh
l
h
arcsh
l
h
ff
?
?
(4-22/)
由于上式兩個小括號內的值均為正值且均小，前者略大于后者，所以最大弧垂大于檔距
中央，弧垂，但二者非常接近。
對于等高懸點架空線，有
)1
2
(
0
0
0
2
1
????
??
?
rl
chfff
m
上式表明，等高懸點架空線的最大弧垂、檔距中央弧垂和最低點弧垂三者重合，位于檔
距中央，這是很明顯的。
三、不等高懸點架空線的線長
不等高懸點架空線的線長可利用弧長微分公式通過積分求得。根據式（4-4）有
)()(
0
1
0
ax
r
shCx
r
sh
dx
dy
????
??（4-23）
所以
dx
axr
chdx
axr
shdx
dx
dy
dL
00
22
)()(
1)(1
??
?
?
?
????
架空線上任一點至左懸掛點間的線長為
00
0
00
0
0
0
2
)2(
2
2
]
)(
[
)(
??
?
??
?
?
axr
ch
rx
sh
r
ra
sh
axr
sh
r
dx
axr
chL
x
x
?
?
?
?
?
?
??
（4-24）
當x=l時，即得到整檔線長
00
0
2
)2(
2
2
??
?
alr
ch
rl
sh
r
L
?
?（4-25）
將x=l代入式(4-13)，有
00
0
2
)2(
2
2
??
?
alr
ch
rl
sh
r
h
?
?（4-26）
將式（4-25）的平方減去上式的平方
0
2
)
2
(2
0
22
0
2
2????
h
L
rl
sh
r
hL
?
?
所以
L=22
0
hL
h
?
?
(4-27)
由上式可以看出，高差h的存在，使得不等高懸點架空線的線長大于等高懸點時的線長。
如果視高差h，等高懸點時的線長
h
L=0為直角三角形的兩條直角邊，那么不等高懸點時的
線長就是該直角三角形的斜邊，這樣理解三者之間的關系就容易記憶了。
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