畢業論文標準格式

畢業論文標準格式及范文

LT

紙張型號：A4紙。A4210×297毫米

論文份數：一式三份。

其他（調查報告、學習心得）：一律要求打印。

2、論文的封面由學校統一提供。(或聽老師的安排）

3、論文格式的字體：各類標題（包括“參考文獻”

標題）用粗宋體；作者姓名、指導教師姓名、摘要、

關鍵詞、圖表名、參考文獻內容用楷體；正文、圖

表、頁眉、頁腳中的文字用宋體；英文用TimesNew

Roman字體。

4、字體要求：

（1）論文標題2號黑體加粗、居中。

（2）論文副標題小2號字，緊挨正標題下居中，

文字前加破折號。

（3）填寫姓名、專業、學號等項目時用3號楷

體。

（4）內容提要3號黑體，居中上下各空一行，

內容為小4號楷體。

（5）關鍵詞4號黑體，內容為小4號黑體。

（6）目錄另起頁，3號黑體，內容為小4號仿

宋，并列出頁碼。

（7）正文文字另起頁，論文標題用3號黑體，

正文文字一般用小4號宋體，每段首起空兩個格，

單倍行距。

（8）正文文中標題

一級標題：標題序號為“一、”，4號黑體，獨

占行，末尾不加標點符號。

二級標題：標題序號為“（一）”與正文字號相

同，獨占行，末尾不加標點符號。

三級標題：標題序號為“1.”與正文字號、

字體相同。

四級標題：標題序號為“（1）”與正文字號、字

體相同。

五級標題：標題序號為“①”與正文字號、

字體相同。

（9）注釋：4號黑體，內容為5號宋體。

（10）附錄：4號黑體，內容為5號宋體。

（11）參考文獻：另起頁，4號黑體，內容為5

號宋體。

（12）頁眉用小五號字體打印“上海復旦大學

XX學院2007級XX專業學年論文”字樣，并左對

齊。

5、紙型及頁邊距：A4紙(297mm×210mm)。

6、頁邊距：天頭（上）20mm，地角（下）15mm，

訂口（左）25mm，翻口（右）20mm。

7、裝訂要求：先將目錄、內容摘要、正文、參考文

獻、寫作過程情況表、指導教師評議

表等裝訂好，然后套裝在學校統一印制的論文封面

之內（用膠水粘貼，訂書釘不能露在封面外）。

1.紙張與頁面設置

（1）A4，縱向；

（2）頁邊距：上1.0cm，下2cm，左側2.5cm，右

側2cm

2.頁眉

（1）設置：1.4cm

（2）字體：統一使用漢語：小五號宋體。

（3）分割線：3磅雙線；

（4）內容：××學院本科期末論文，居中。

3.頁腳

內容：頁碼，居中。

4.論文基本內容與要求

（1）論文題目：單獨成行，居中，日語：小2號黑

體；英語：TimesNewRoman18號；

（2）作者姓名：另起一行，居中，日語：小4號宋

體；英語：TimesNewRoman12號；

（3）內容提要：另起一行，日語：4號黑體，內容

為小4號黑體，長度要求150字以上；英語：Times

NewRoman12號，長度要求在100字左右；

（4）關鍵詞：另起一行，日語：4號黑體，3-5個

關鍵詞，每個關鍵詞之間用“；”分割，內容為小4

號黑體；英語TimesNewRoman12號；

（5）正文

正文部分的要求如下：①正文部分與“關鍵詞”行

間空兩行；②日語正文文字采用小四號宋體；英語

正文文字采用TimesNewRoman12號，標題日語

采用四號黑體，英語采用TimesNewRoman14號，

每段首起空兩格，1.25倍行距；③段落間層次要分

明，題號使用要規范。理工類專業畢業設計，可以

結合實際情況確定具體的序號與層次要求；④文字

要求：文字通順，語言流暢，無錯別字，無違反政

治上的原則問題與言論，要采用計算機打印文稿；

⑤圖表要求：所有圖表、線路圖、流程圖、程序框

圖、示意圖等不準用徒手圖，必須按國家規定的工

作要求采用計算機或手工繪圖，圖表中的文字日語

用小五號宋體；英語采用TimesNewRoman10.5

號；圖表編號要連續，如圖1、圖2等，表1、表2

等；圖的編號放在圖的下方，表的編號放在表的上

方，表的左右兩邊不能有邊；⑥字數要求：一般不

少于1500(按老師要求）；⑦學年論文引用的觀點、

數據等要注明出處，一律采用尾注。

（6）注釋

注釋部分的要求如下：①與正文部分空出兩行；②

按照文中的索引編號分別或合并注釋；③“注釋”

采用五號黑體，注釋內容日語采用小五號宋體，英

語采用TimesNewRoman9號。

英語注釋具體要求如下：

①在文中要有引用標注，如×××[1]；②如果重復

出現同一作者的同一作品時，只注明作者的姓和引

文所在頁碼（姓和頁碼之間加逗號）；格式要求如下：

[1]（空兩格）作者名（名在前，姓在后，后加英文

句號），書名（用斜體，后加英文句號），出版地（后

加冒號），出版社或出版商（后加逗號），出版日期

（后加逗號），頁碼（后加英文句號）。

[2]（空兩格）作者名（名在前，姓在后，后加英文

句號），文章題目（文章題目用“”引起來）（空一

格）緊接雜志名（用斜體，后加逗號），卷號（期號），

出版年，起止頁碼，英文句號。

（7）參考文獻

參考文獻部分的要求如下：①與注釋部分間空兩行；

②應列明期末論文參考的主要文獻資料，“參考文

獻”采用五號黑體，參考文獻內容日語、漢語采用

小五號宋體，英語TimesNewRoman10.5號。參考

文獻的著錄，按著錄、題目、出版事項順序排列，

其格式為：

期刊類：著者.題名[J].雜志名,年份,（期號）。

書籍類：著者.書名[M].城市名:出版社,年份,頁數。

網絡類：著者.題名[EB/OL].www.***.com.年-月-日。

③英文作者超過3人寫“etal”(斜體)。

英文參考文獻格式要求如下：

[1]（空兩格）作者名（姓在前，名在后，姓與名之

間用逗號分開，后加英文句號），書名（用斜體，后

加英文句號），出版地（后加冒號），出版社或出版

商（后加逗號），出版日期（后加英文句號）。

[2]（空兩格）作者名（姓在前，名在后，姓與名之

間用逗號分開，后加英文句號），文章題目（文章題

目用“”引起來）（空一格）緊接雜志名（用斜體，

后加逗號），卷號（期號），出版年，英文句號。

科學技術報告

是描述一項科學技術研究結果或進展或一項技

術研制試驗和評價的結果；

是論述某項科學技術問題的現狀的文件。

科學技術報告中一般應該提供系統的或按工作

進程的充分信息，可以包括正反兩方面的結果和經

驗。

學術論文

是某一學術課題在實驗性、理論性或觀測性上

具有新的科學研究成果或創新見解和知識的科學記

錄；

是某種已知原理應用于實際中取得新進展的科

學總結，用以提供學術會議上宣讀、交流和討論；

是在學術刊物上發表；

有其他用途的書面文件。

它應提供新的科學技術信息，其內容應有所發

現、有所發明、有所創造、有所前進，絕對不允許

重復、模仿、抄襲別人的工作。

論文題名

是以最恰當、最簡明但能夠反映學術論文中最

重要的特定內容的符合語法的詞語組合。

題名中所用的每一詞語必須考慮到有助于選定

關鍵詞和編制題錄、索引等二次文獻所可以提供檢

索的特定實用信息。

題名中不能使用不常見的縮寫詞、首字母縮寫

字、字符、代號和公式。

建議不使用副題名。

論文摘要（以下簡稱"摘要"）

是報告、論文的內容不加注釋和評論的簡短陳

述。

應具有獨立性和自含性，即不閱讀報告、論文

的全文，就能獲得必要的信息。

可以有數據、有結論，是一篇完整的短文，可

以獨立使用，可以為其他文獻獨立引用。

內容應包含與報告、論文同等量的主要信息。

一般應說明研究工作的目的、實驗方法、結果

和最終結論。

寫作重點是結果和結論。

摘要要素

目的、研究、研制、調查等的前提、目的和任

務，以及所涉及的主題范圍。

方法、所用的原理、理論、條件、對象、材料、

工藝、結構、手段、裝備、程序等。

結果、實驗或研究的結果、數據、被確定的關

系、觀察結果、性能等。

結論、結果的分析、研究、比較、評價和應用，

提出的問題，今后的課題，假設，啟發，建議，預

測等

其他、不屬于研究、研制、調查的主要目的，

但就其見識和情報價值而言也是重要的信息

摘要類型

報道型摘要表明一次文獻的主題范圍及內容

梗概的簡明摘要。

指示型摘要表明一次文獻的主題范圍的簡明

摘要。

報道／指示型摘要是以報道型文摘的形式表

述一次文獻中信息價值較高的部分，而以指示性文

摘的形式表示其余的部分的文摘形式。

摘要特點

報道型摘要方法、結果、結論等3部分必須

寫得詳細，目的和其他等2部分寫得簡單。

指示型摘要目的部分必須寫得詳細，而方法、

結果、結論、其他等4部分可以寫得簡單。

報道／指示型摘要上述5個部分都必須寫得

詳細。字數一般以400字左右為宜。

摘要寫作要求

中文摘要

英文墑要

對于使用漢語言作為學術論文的文字載體的作

者，使用報道／指示型文摘是使其從事的科研工作

和科研成果獲得國際承認的最基礎前提！

論文引言

用于簡要說明研究工作的目的、范圍、相關領

域的已有工作、知識空白、理論基礎、分析、研究

設想、研究方法、實驗設計、預期結果和研究意義

等。

應言簡意賅，不能與摘要雷同，不可成為摘要

的注釋。

普通教科書中已有的知識，不必在引言中出現。

論文正文

是學術論文的核心部分，占主要篇幅。

表達對象是，調查對象、實驗方法、觀測方法、

儀器設備、材料原料、實驗結果、觀測結果、計算

方法、編程原理、數據資料、經過加工整理的圖表、

形成的論點和導出的結論。

由于學科、選題、研究方法、工作進程、結果

表達方式的差異，本次交流活動對正文內容不作統

一的規定。

正文內容必須實事求是，客觀真切，準確完備，

合乎邏輯，層次分明，簡練可讀。

論文結論

是最終的、總體的結論。

不能與正文各段中的小結相重復。

應該準確、完整、明確、精練。

如果未能導出結論，也可以沒有結論而進行必

要的討論。

可以在結論或討論中提出建議、研究設想、儀

器設備改進意見、尚需解決的問題。

論文致謝

作為一名研究者，應該尊重為形成學術論文所

進行的研究所提供幫助的單位、個人表達，肯定他

們在形成學術論文過程中所起的作用。

由于縱向課題的學術論文在論文題名處已給予

標注，因而本致謝中可以不提出。

應該對以下方面致謝：

橫向課題合同單位，資助或支持研究的企業、

組織或個人；

協助完成研究工作或提供便利條件的組織或個

人；

在研究工作中提出建議或提供幫助的人員；

給予轉載和引用權的資料、圖片、文獻、研究

思想和設想的所有者；

其他應感謝的組織或個人。

本科學年論文

題目

院別數學與信息科學學院

專業數學與應用數學

指導教師（姓名居中暫不填

閱教師（姓名居中暫不填）

班級2007級

姓名（姓名居中）

學號（學號居中）

年月日

目錄

摘要(四號黑體不加

粗)…………………………………………………

……………………Ⅰ

Abstract(四號TimesNewRoman體加

粗)…………………………………………………

…Ⅰ

1引言(四號黑體不加

粗)…………………………………………………

……………………1

1.1(小四號黑體不加

粗)…………………………………………………

………………………1

1.1.1(小四號仿宋體加

粗)…………………………………………………

…………………1

2閉區間套定理在1R的推

廣…………………………………………………

…………………2

3閉區間套定理在一般度量空間上的推

廣………………………………………………4

4閉區間套定理在nR

上的推

廣…………………………………………………

……………5

5閉區間套定理的應用舉

例…………………………………………………

………………6

結束

語…………………………………………………

…………………………………………8

參考文

獻…………………………………………………

………………………………………8

致

謝…………………………………………………

………………………………………9

（注：①目錄不加頁碼；

②中、英文摘要加頁碼，用羅馬數字：Ⅰ，Ⅱ…；

③正文另行加頁碼，用阿拉伯數字：1，2，3，…．）

摘要(四號黑體不加粗)：在介紹了閉區間套定理的基礎上，通過綜

合應用類比法、分析法、演繹推理法將閉區間套定理進行了推廣，得到了嚴格

開區間套定理和嚴格半開半閉區間套定理以及一般完備度量空間上的閉集套定

理和常用完備度量空間上的閉集套定理，并給出了這些定理的證明．結合典型

例題，分析、討論了閉區間套定理及推廣后的閉集套定理的實際應用，說明了

閉區間套定理不僅具有重要的理論意義，而且還有很好的應用價值．(小四號仿

宋體不加粗,“摘要”字數須300字以上)

關鍵詞(四號黑體不加粗)：閉區間套定理；嚴格開區間套定理；推廣；

應用(小四號仿宋體不加粗，關鍵詞的個數：3—5個)

Abstract(四號TimesNewRoman體加粗):Thetheoremofnestedclod

intervalwaxtendedonthebasisofitsdefinitionwithsyntheticapplicationof

analogyanalysisanddeductivereasoning,andgotariesoftheoremssuchas

thetheoremofstrictopennestedinterval,thetheoremofstrictopenandclod

nestedintervalandthetheoremofclodnestedtonordinaryandpopular

metricspace,lapplicationofthetheoremof

nestedclodintervalandthetheoremofclodnestedtafterextensionwas

discusdbyanalysisofsometypicalexamplessoastodemonstrateitsimportant

theoreticalmeaningandufulapplication.(小四號TimesNewRoman體不加粗)

Keywords(四號TimesNewRoman體加粗):theoremofnested

clodinterval;theoremofstrictopennestedinterval;extension;application(小

四號TimesNewRoman體不加粗，每個關鍵詞開頭字母均不大寫，結尾處無標

點符號)

1引言

（一級標題四號黑體不加粗，段前斷后空0.5行．）

1.1小四號黑體不加粗

（二級標題小四號黑體不加粗，段前斷后不空行．）

1.1.1小四號仿宋體加粗

（三級標題小四號仿宋體加粗，段前斷后不空行．）

說明：（1）全文要求：行距：最小值22磅；頁邊距：上2.2cm、左2.5cm、

右2.3cm、下1.8cm、頁眉1.2cm、頁腳1.5cm；頁眉中，若是論文就刪去“設

計”二字，若是設計就刪去“論文”二字．

（2）各級標題一律頂格，標題末尾不加標點符號．

（3）正文中所引用的文獻應加尾注，以文獻在文中出現的先后順序依次編

號為：[1]，[2]，…，某種文獻中的內容被多次引用時以第一次出現時的序號為

準，即一種文獻只有一個序號，可以重復出現．添加尾注的格式如下：

愛因斯坦說：提出一個問題往往比解決一個問題更重要[1]．

愛因斯坦說：“提出一個問題往往比解決一個問題更重要”[1]．

愛因斯坦說：“提出一個問題往往比解決一個問題更重要．”[1]

（4）正文中出現的圖象與表格以編號（依出現的先后順序編號）的方式分

別加以命名．

圖象：圖1，圖2，…

表格：表一，表二，…

（5）行文要符合文法格式，每段開頭應空兩個漢字的位置．若一行中只有

符號表達式，則可以居中或居中偏左．

（6）正文中所有的標點符號，一律用全角；句號用“．”

閉區間套定理是實分析中的一個重要定理,它同聚點定、有限覆蓋定理、確

界原理、數列的單調有界定理和Cauchy收斂準則一樣都反映了實數的完備性，

也是學習實變函數、復變函數、點集拓撲學等課程的基礎．由于它具有較好的

構造性，因此閉區間套定理在證明與實數相關的命題中有廣泛的應用，如證明

閉區間上的連續函數必有最大值和最小值、閉區間上的連續函數必定一致連續

[1]、閉區間的連續函數的介值性定理等．故閉區間套定理不僅有重要的理論價值，

而且具有很好的應用價值．為了增大閉區間套定理的應用范圍，從閉區間套定

理的概念出發，綜合運用類比分析法、演繹推理法推廣該定理．

首先，將閉區間套定理在一維空間加以推廣，形成嚴格開區間套定理和嚴格

半開半閉區間套定理，增大了區間套定理的應用范圍．緊接著結合一般完備度

量空間的特性，即正定性、對稱性、三角不等式性和完備性，把閉區間套定理

在一般完備度量空間上推廣，形成一般完備度量空間上的閉集套定理，從而把

一維空間上的情景推廣到了更一般化的完備度量空間，使得區間套定理的應用

范圍更為廣泛，并且給出了常用度量空間nR上的閉集套定理．最后結合一些實

例分析說明閉區間套定理的應用，比如證明閉區間上的連續函數必有界、單調

有界定理等，通過構造滿足題意的閉區間列，再應用閉區間套定理證明存在滿

足題意的點．從實際例題中還可以看出閉區間套定理反映了實數的稠密性，所

以閉區間套定理連同其在一般完備度量空間上推廣后的閉集套定理在證明與實

數理論相關命題時發揮著重要的作用．

2閉區間套定理在1R的推廣

康托給分析建立了嚴格的集合論基礎．而在對實數連續性的描述中，閉區間

套定理是一個基本的定理．因此，在對該定理推廣前有必要先回顧一下閉區間

套定理的內容．

定義2.1設????,

nn

ab(1,2,3,n?)是R中的閉區間列，如果滿足：

(1)????

11

,,

nnnn

abab

??

?，1,2,3,n?；

(2)lim()0

nn

n

ba

??

??；

則稱????,

nn

ab為R中的一個閉區間套，或簡稱區間套．

定理2.1[2](閉區間套定理)若????,

nn

ab是一個閉區間套，則存在惟一一點

?，使得

??,

nn

ab??(1,2,3,n?)，

且

limlim

nn

nn

ab?

????

??．

推論2.1[3]若??,

nn

ab??(1,2,3,n?)是區間套????,

nn

ab確定的點，則對任

意正數?，存在自然數N，當nN?時，總有

????,,

nn

abU???．

定義2.2設????,

nn

ab(

1,2,3,n?

)是R中的開區間列，如果滿足：

(1)

1211nnn

aaabbb

?

????????，1,2,3,n?；

(2)lim()0

nn

n

ba

??

??；

則稱????,

nn

ab為R中的一個嚴格開區間套．

定理2.2(嚴格開區間套定理)若????,

nn

ab是R中的一個嚴格開區間套，

則存在惟一一點?，使得

??,

nn

ab??，1,2,3,n?，

且

limlim

nn

nn

ab?

????

??．

證明由定義2.2條件(1)，??

n

a是一個嚴格遞增且有上界的數列．由單調

有界定理，??

n

a有極限，不妨設

lim

n

n

a?

??

?，

且

n

a??，1,2,3,n?．

同理嚴格遞減有下界的數列??

n

b也有極限．由定義2.2條件(2)應有

limlim

nn

nn

ba?

????

??，

且

n

b??，1,2,3,n?．

從而存在??,

nn

ab??(1,2,3,n?)．

最后證明唯一性．假如另有?，使得??,

nn

ab??，1,2,3,n?，那么有

nn

ba?????，1,2,3,n?．在上述不等式兩邊取極限，有

???≤??lim0

nn

n

ba

??

??．

即???．

故原命題成立．

定義2.3[4][5]設????,

nn

ab(1,2,3,n?)是R中的半閉半開區間列，如果滿

足：

(1)

1

a≤

2

a≤≤

n

a≤

11nn

bbb

?

????，1,2,3,n?；

(2)lim()0

nn

n

ba

??

??；

則稱????,

nn

ab為R中的一個嚴格半閉半開區間套．

注：類似可以定義嚴格半開半閉區間套????,

nn

ab．

定理2.3(嚴格半開半閉區間套定理)如果????,

nn

ab是R中的一個嚴格半

開半閉區間套，則存在惟一一點?，使得

??,

nn

ab??，1,2,3,n?，

且

limlim

nn

nn

ab?

????

??．

仿定理2.2的證明即可．

2閉區間套定理在一般度量空間上的推廣

完備度量空間具有正定性、對稱性、三角不等式性和完備性．具體到序列，

指的是該序列除了滿足一般度量空間的要求，還應在該空間上收斂．這樣閉區

間套定理就可以在一般度量空間上進行推廣．

定義3.1設H是一個非空集合，在H上定義一個雙變量的實值函數

??,xy?，對任意的,,xyzH?，有：

(1)(正定性)??,xy?≥0，并且??,0xy??當且僅當xy?成立；

(2)(對稱性)????,,xyyx???；

(3)(三角不等式)??,xy?≤

????,,xzzy???；

則稱H為一個度量空間．

定義3.2設F是度量空間H中的一個子集，對于F中的任意點列??

n

x，

若當

0

()0

n

xx?????n??，

有

0

xF?，則稱F為閉集．

定義3.3[6]設??,X?是一度量空間．X中的一個序列??

i

iz

x

?

?

，若對任意的

實數0??，存在整數0N?，使得當

,ijN?

時，有(,)

ij

xx???，則稱??

i

iz

x

?

?

為

一個Cauchy序列．

定義3.4[7]如果對度量空間??,X?中X的每一個Cauchy序列都收斂，則

稱??,X?是一個完備度量空間．

定理3.1[7]設??

n

F是完備度量空間H上的閉集列，如果滿足：

(1)

1nn

FF

?

?(1,2,3,n?)；

(2)lim()0

n

n

dF

??

?

,

(()sup(,))

n

n

F

dF

??

???

?

?

；

則在H中存在唯一一點?，使得

n

F??，1,2,3,n?．

證明任意取

n

F中的點列??

n

x，當mn?時，有

mn

FF?，所以

,

nmn

xxF?，??,

nm

xx?≤()0(

n

dFn???)．

即對于任意給定的實數0??，存在整數0N?，使得當,ijN?時，有

(,)

ij

xx???，所以??

n

x是Cauchy序列．又因為

n

F是閉集列，故??

n

x收斂于一點

?，且有

n

F??，1,2,3,n?．

現證唯一性．如果另有一點

?，使得

n

F??，1,2,3n?．則由定義

3.1條件(3)，有

(,)???≤

??,(,)

nn

xx?????≤2()0()

n

dFn???，

從而???．

故在H中存在唯一一點?，使得

n

F??，1,2,3,n?．

3閉區間套定理在nR

上的推廣

進一步還可以將閉區間套定理在常用度量空間─實數空間nR上推廣．為此，

先給出一個有用的概念．

定義4.1對于任意的??

12n

xxxx?,,,，??

12

,,,n

n

yyyyR??，令

????2

1

,

n

ii

i

xyxy?

?

???，

則稱

?

為nR空間上的距離．

下面驗證對于如上定義的

?

，nR做成完備的度量空間．

證明對于任意的??

12n

xxxx?,,,，??

12

,,,

n

yyyy?，

??

12

,,,n

n

zzzzR??．

(1)??2

1

0

n

ii

i

zx

?

???，并且??,xy?=0當且僅當

ii

xy?(1,2,i?)，即

xy?．

(2)??????22

11

,(,)

nn

iiii

ii

xyxyyxyx??

??

???????．

(3)令

iii

uyx??和

iii

vzy??由Schwarz不等式可以得到

??2

1

n

ii

i

uv

?

???2

1

n

i

i

u

?

?＋222

11

nn

ii

ii

uv

??

???＋2

1

n

i

i

v

?

?．

則

??2

1

n

ii

i

uv

?

???22

11

nn

ii

ii

uv

??

???，

即

??2

1

n

ii

i

zx

?

???????22

11

nn

iiii

ii

yxzy

??

?????．

所以

?

滿足度量的定義，又nR是完備的[6]，故nR是一個完備的度量空間．

于是根據前面的論述，可以得到實數空間nR的閉集套定理：

定理4.1設??

n

F是nR上的閉集列，如果：

(1)

1nn

FF

?

?，1,2,3n?；

(2)lim()0

n

n

dF

??

?(

,

()sup(,)

n

n

F

dF

??

???

?

?

)；

則在nR中存在唯一一點?，使得

n

F??，1,2,3,n?．

4閉區間套定理的應用舉例

閉區間套定理證明命題的基本思路是分劃區間構成閉區間套，從而找到屬

于每一個區間的公共點．下面就舉幾個例子說明這一思路．

例1證明：閉區間上連續函數必有界．

分析這個命題如果從正面入手利用閉區間套定理證明比較困難，但是如

果從反面著手，即假設()fx在??,ab上無界，即對任意M?0，存在??

0

,xab?，

有

0

()fxM?．則等分區間后至少有一個子區間上()fx無界，記為性質P．繼

續等分那個無界的區間，可得到如上的性質P．無限次重復上述步驟可構造一

個滿足題意的閉區間套，由閉區間套定理可以推出()fx?M，這與假設矛盾，

從而證明原命題成立．

證明我們用反證法.設函數()fx在??,ab上連續，假設()fx在閉區間??,ab

上無界．將區間二等分，即取??,ab的中點

2

ab?

，則

,

2

ab

a

?

??

??

??

和

,

2

ab

b

?

??

??

??

中至

少有一個區間使得()fx在其上無界．(若兩個都使()fx無界，則任取其中一個)，

記為

11

[,]ab，且

11

1

()

2

baba???．

再將

11

[,]ab等分為兩個區間，同樣其中至少有一個子區間上()fx無界，記為

22

[,]ab，且

2211

[,][,]abab?，

2211

2

11

()()

22

bababa?????．

無限次重復上述步驟，便得到一個閉區間列??[,]

nn

ab，其中每一個區間[,]

nn

ab

有如下特性：

1111

[,][,][,][,]

nnnn

abababab

??

?????，且

1

()0()

2nn

n

baban??????及()fx在[,]

nn

ab上無界．

由區間套定理，存在一點??,

nn

ab??（1,2,3,n?），且

limlim

nn

nn

ab?

????

??．

又()fx在?連續，則對任意的0??，存在0??，當(,)x???????時，有

()()fxf????，

即

()()()ffxf????????．

令??max(),()Mff???????，則

()fx?M．

由推論1，取n充分大可使????,,

nn

ab???????，上述不等式與()fx在閉

區間[,]

nn

ab上無界矛盾．故()fx在閉區間??,ab上有界．

以下內容省略……

結束語

通過對閉區間套定理的簡單分析探究，掌握了該定理的結構形式，學習了

運用類比的思維方法推廣該定理的過程，分析討論了閉區間套定理的實際應用．

首先將閉區間套定理在R推廣，即在一維空間上將條件????

11

,,

nnnn

abab

??

?

減弱為????

11

,,

nnnn

abab

??

?，得到嚴格開區間套定理．緊接著，聯想到一般完備

度量空間的特性和閉區間套定理良好的構造性，從而推廣得到閉集套定理．最

后，應用閉區間套定理和推廣后的閉集套定理證明了證明連續函數必有界、數

列的單調有界定理、一個不動點問題以及nR上的開區域套定理．

至于能否將閉區間套定理推廣到空間以及能否在一般度量空間推廣聚點定

理、有限覆蓋定理，并且運用推廣得到的閉集套定理證明它們兩個問題未做討

論．

參考文獻

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其應用[J]．長沙大學學報，2000，14(4)：4-5．

[2]華東師范大學數學系編．數學分析[M]．北

京：高等教育出版社，1991，第2版．

[3]陳傳璋．數學分析[M]．北京：高等教育出

版社，1983，第2版．

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[6]熊金城．點集拓撲講義[M]．北京：高等教

育出版社，2003，第3版．

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16-17．

[8]錢吉林．數學分析題解精粹[M]．武漢：崇

文書局，2003．

（注：參考文獻各條目用五號宋體字，各條目的

序號應正文中尾注的序號相一致）

致謝

（注：①“致謝”內容單獨用一個版面；

②在“致謝”中主要敘述自己寫作本文的經歷、感受、收獲等，表

達對指導老師或幫助者的感謝之意．）

注：本模版中紅色字體是說明部分，在具體操作時應將其刪除．