中心對稱的性質

中心對稱與中心對稱圖形--知識講解

【學習目標】

1、理解中心對稱和中心對稱圖形的定義和性質，掌握他們之間的區別和聯系；

2、掌握關于原點對稱的點的坐標特征，以及如何求對稱點的坐標；

3、探索圖形之間的變化關系（軸對稱、平移、旋轉及其組合），靈活運用軸對稱、平移和旋

轉的組合進行圖案設計．

【要點梳理】

要點一、中心對稱和中心對稱圖形

1.中心對稱：把一個圖形繞著某一個點旋轉180°，如果它能夠與另一個圖形重合，那么

就說這兩個圖形關于這個點對稱或中心對稱，這個點叫做對稱中心．

這兩個圖形中的對應點叫做關于中心的對稱點．

要點詮釋：（1）有兩個圖形，能夠完全重合，即形狀大小都相同；

（2）位置必須滿足一個條件：將其中一個圖形繞著某一個點旋轉180°能夠與另

一個圖形重合(全等圖形不一定是中心對稱的，而中心對稱的兩個圖形一定是全等的).

2.中心對稱圖形：把一個圖形繞著某一個點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠與原來的

圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心．

要點詮釋：(1)中心對稱圖形指的是一個圖形；

（2）線段，平行四邊形，圓等等都是中心對稱圖形.

3.中心對稱與中心對稱圖形的區別與聯系：

中心對稱中心對稱圖形

區

別

①指兩個全等圖形之間的相互

位置關系．

②對稱中心不定．

①指一個圖形本身成中心對稱．

②對稱中心是圖形自身或內部

的點．

聯

系

如果將中心對稱的兩個圖形看

成一個整體（一個圖形），那么

這個圖形就是中心對稱圖形．

如果把中心對稱圖形對稱的部

分看成是兩個圖形，那么它們又

關于中心對稱．

要點二、關于原點對稱的點的坐標特征

關于原點對稱的兩個點的橫、縱坐標均互為相反數.即點關于原點的對稱點坐標為

，反之也成立.

要點三、中心對稱、軸對稱、旋轉對稱

1.中心對稱圖形與旋轉對稱圖形的比較：

2.中心對稱圖形與軸對稱圖形比較：

要點詮釋：中心對稱圖形是特殊的旋轉對稱圖形；掌握三種圖形的不同點和共同點是靈活運

用的前提.

【典型例題】

類型一、中心對稱和中心對稱圖形

1.下列圖形不是中心對稱圖形的是()

A．①③B．②④C．②③D．①④

【答案】D

【解析】中心對稱圖形要求繞中心旋轉180°與原圖形重合，①④兩個圖形繞中心旋轉

180°不能與原圖形重合，所以選D.

【總結升華】中心對稱的關鍵是：旋轉180°之后可以與原來的圖形重合.

舉一反三

【變式】如圖，若正方形EFGH由正方形ABCD繞某點旋轉得到，則可以作為旋轉中心的是（）

A．M或O或NB．E或O或CC．E或O或ND．M或O或C

【答案】A

2.我們平時見過的幾何圖形,如:線段、角、等腰三角形、等邊三角形、平行四邊形、矩

形、菱形、正方形中，有哪些是中心對稱圖形？哪些是軸對稱圖形？中心對稱圖形指出對稱中

心，軸對稱圖形指出對稱軸.

【答案與解析】

【總結升華】線段、角、等腰三角形、等邊三角形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形是重

要的幾種對稱幾何圖形，要了解其性質特點更要熟記.

類型二、作圖

3.已知：如圖甲，試用一條直線把圖形分成面積相等的兩部分（至少三種方法）.

【答案與解析】

【總結升華】解決這類問題時，關鍵是將圖形轉化成兩個中心對稱圖形（如果原圖形本身就

是中心對稱圖形，則直接過對稱中心作直線即可），再由兩點確定一條直線，過兩個對稱中心

畫直線即滿足條件.

舉一反三

【變式】如圖①，

1

O，

2

O，

3

O，

4

O為四個等圓的圓心，A，B，C，D為切點，請你在圖中畫

出一條直線，將這四個圓分成面積相等的兩部分，并說明這條直線經過的兩個點

是；如圖②，

1

O，

2

O，

3

O，

4

O，

5

O為五個等圓的圓心，A，B，C，D，E為切

點，請你在圖中畫出一條直線，將這五個圓

．．．

分成面積相等的兩部分，并說明這條直線經過的兩

個點是．

【答案】

圖①：

13

OO

或

24

OO

或AC或BD;圖②：

5

OM

或

4

OA

類型三、利用圖形變換的性質進行計算或證明

1

o

2

o

3

o

4

o

C

B

D

A

圖①

圖②

1

o

2

o

3

o

4

o

5

o

A

B

C

E

D

4.如圖所示，邊長為3的正方形ABCD繞點C按順時針方向旋轉30°后得到正方形EFCG，

EF交AD于點H，那么DH的長是__________.

【答案】

【解析】由旋轉的性質可以知道∠BCF=∠DCG=30°，

所以∠FCD=60°，可以連結線段HC（如圖所示），

由已知可知∠F=∠D=90°，FC=DC，HC是Rt△FHC和Rt△DHC公共的斜邊，

根據HL公理可以判斷Rt△FHC≌Rt△DHC，

所以∠FCH=∠DCH=30°，

所以HC=2DH，

根據勾股定理可得

即，

因為DC=3，所以DH=.

【總結升華】把握旋轉特性，是解題的關鍵.

舉一反三

【變式】如圖，三個圓是同心圓，則圖中陰影部分的面積為．

【答案】

4

?

.