數學文化節

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第七屆時代學習報數學文化節

八年級第一輪活動書面解答題(2011年12月2日)

(時間：90分鐘．總分：l50分)

（第1題6分，第2題5分，第19題ll分，其余各題，每題8分)

班級學號姓名得分

數學之史

1．宏偉的金字塔“埃及金字塔”是世界七大建筑奇跡之一，

其形狀為正四棱錐(如圖l)，底部為正方形．金字塔的建造工程浩

大，設計精密，其中也反映了古埃及的偉大數學成就，如：

(1)計算“截頂金字塔”(如圖2)的體積．這是古埃及幾何的一

項最杰出的成就，出現于一個具體實例中：如果一個截頂金字塔的

高為6，上、下底正方形的邊長為2和4，那么它的體積為

.6)4422(

3

1

22??????V

一般地，請你寫出高為h，上、下底正方形的邊長為a，b的“截

頂金字塔”的體積公式：V=

(2)計算金字塔的“陡度”．考慮到單位換算，可用公式將陡度

寫為

h

l7

(l，h的意義如圖1)，則高為250寸，底面正方形的邊長為

360寸的金字塔的陡度為．

2．太極八卦八卦是中國古代道家論述萬物變化的經典《周易》中的8種基本圖形，

由符號“—”和“--”組成(如圖3)．

現代計算機采用的數制是二進制，其主要原因在于，可以分別用二進制中的“l”和“0”

來表示電路的“通”、“斷”兩種狀態．

德國數學家萊布尼茲發明了二進制，他認為，世界上最早的二進制表示法就是中國的八

卦(“—”和“--”分別表示l和0)。

填寫下面關于八卦與二進制關系的表(表1)：

表1

主辦單位：

江蘇教育出版社時代學習報

江蘇省教育學會中學數學教學專業委員會

圖1

2

數學之美

3．萬變不離其宗在6×6的正方形網格中，沿網格中的虛線裁剪成4塊全等的圖形，

如圖4是其中的一種裁剪方法．請畫出其他3種裁剪法．(把圖5中應改的虛線改成實線即

可)

4．環環相扣如圖6，

2012個同心圓的半徑分別為

1，2，3，4，?，2011，2012，

則圖中陰影部分的面積

為．

5．移形換位如圖7，在

等邊三角形ABC中，D，E，F，

G為BC邊的五等分點，M，N

分別為AB，AC的第一個五等

分點，連接各分點，則∠1+∠

2+∠3+∠4=°．

數學之思

6．疊出新天地如圖8．將一副直角三角尺按如圖8②放置，使含30°角的三角尺的

較短直角邊與等腰直角三角尺的一條直角邊重合，則圖8②中∠1=°．

7．構造等腰圖9是由9個邊長為1×3的長方形構成的圖形，已知A，B兩個格點．試

在其他格點上找一點C，使以A，B，C為頂點的三角形是等腰三角形，則滿足條件的點C共

有個，符合條件的等腰三角形的周長是．

8．形數結合在數軸上有A，B兩點，點A在數軸原點的左側，點B在原點右側，點A

對應整數a，點B對應整數b，點O在原點．

(1)若

2010??ba

，且AO=2B0，則a=，b=；

(2)若

2011??ba

，則當a取最大值時，b=。

9．巧分三角形給出三個等邊三角形

(如圖l0)．請在圖1①②③中把這三個等邊

三角形分別分成兩個、三個、四個全等的圖

形．(在圖中畫出分割線即可)

3

10．妙在對稱中在平面直角坐標系xOy中，已知點P(-l，3)，則點P關于原點O的

對稱點Q的坐標為(，)，點P關于直線y=-x的對稱點R的坐標為(，)，

連接PQ，QR和RP，則△PQR的形狀是三角形．

11．棋盤構圖如圖12，在4×4的正方形棋盤上的每一個格點上都有一粒棋子，共25

粒．

(1)在這個棋盤上畫一個三角形，使這個三角形的頂點、各邊的中點以及三條中線的交

點都在格點上；

(2)若棋盤中的每個小正方形的面積都為1cm2，則你所畫的三角形的面積為

cm2

12．變與不變如圖13，在平面直角坐標系xOy中，等腰直角三角形AOB的直角頂點

B在x軸上，點A的坐標為(1，1)．現將△AOB作如下旋轉：

第一次將△AOB繞點B按順時針方向旋轉90°，得到△A1O1B1；第二次將得到的△A1O1B1

繞點A1按順時針方向旋轉135°，得到△A2O2B2；第三次將所得的△A2O2B2繞點O2按順時針方

向旋轉135°，得到△A303B3，按此旋轉規律繼續旋轉下去，得到旋轉后的第2011個三角形(記

為△A2011O2011B2011)，則點A2011的坐標為（，）．

圖13

數學之用

13．動靜結合在矩形ABCD中，AB=2,BC=1，動點P從點B出發，沿路線B→C→D→A

作勻速運動，連接AP，得△ABP．小明畫出了△ABP的面積S與動點P的運動路程x之間的

函數的部分圖象(圖l4)．請你畫出余下部分的圖象．

4

14．數字定位在平面直角坐標系中，已知點P(a，b)，其中a≠b，且a，b分別是-2，

-l，1，2，3中的某個數．

(1)滿足上述條件的點P共有個；

(2)在所有滿足條件的點P中，落在第象限的點最少．

15．馬路黃線馬路中間的黃線將馬路兩側的雙向車道隔開，圖l5為一段等寬馬路的

示意圖，圖中數據單位為“米”，則馬路中間黃線的長度為米．

16．呼喚正八邊形圖l6是一塊正方形地板磚，上面的圖案由一個小正方形和4個相

同的等腰梯形(腰長是上底長的一半)組成．如果用這種地板磚鋪地面，鋪成的地面上有正八

邊形圖案，那么地面上出現了兩個正八邊形圖案時，這樣的地板磚至少鋪了()．

(A)7塊(B)8塊(C)9塊(D)11塊

17．評委的力量某屆電視小品大獎賽中，共有7個評委．按照評分規則，去掉一個最

高分a和一個最低分b，演員甲的最后得分(即其余5位評委打分的平均分)為75分．如果

不去掉最高分，只去掉最低分，那么甲的得分為76分．

(1)a=分．

(2)如果b=58分，那么不去掉最高分和最低分，演員甲的最終得分為分．(取整數)

18．必勝策略圖l7中的“2012”是用39個相同的正方形拼成的，小雙與小好兩入輪

流在39個小正方形上涂色，每次可涂1個、2個或3個小正方形，最后把整個圖形涂滿的

一方獲勝．現在小雙先涂，他有必勝策略嗎?如果有，他的必勝策略是什么?如果沒有，為什

么?

數學之語

19．請你以《今天我參加數學文化節》為題，寫一篇200～300字的短文，談一談你在

解答本屆數學文化節問題后的感悟、心得，或提一些對今后數學文化節出題的建議．寫出你

的主要感想(主題明確，可自己加上副標題，不求面面俱到但與數學聯系密切．)(另附紙作

答，寫作要求見參考答案)