二次函數知識點總結

-1-

二次函數知識點總結及相關典型題目

第一部分基礎知識

1.定義:一般地，如果cbacbxaxy,,(2???是常數,)0?a，那么y叫做x的二次函數。

2。二次函數2axy?的性質

(1）拋物線2axy?的頂點是坐標原點,對稱軸是y軸.

（2）函數2axy?的圖像與a的符號關系.

①當0?a時?拋物線開口向上?頂點為其最低點；

②當0?a時?拋物線開口向下?頂點為其最高點。

（3）頂點是坐標原點,對稱軸是y軸的拋物線的解析式形式為2axy?）（0?a.

3。二次函數cbxaxy???2的圖像是對稱軸平行于（包括重合）y軸的拋物線。

4.二次函數cbxaxy???2用配方法可化成：??khxay???2的形式，其中

a

bac

k

a

b

h

4

4

2

2?

???，。

5。二次函數由特殊到一般，可分為以下幾種形式：①2axy?；②kaxy??2；③??2hxay??；④??khxay???2;

⑤

cbxaxy???2。

6。拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點.

①

a

的符號決定拋物線的開口方向:當0?a時,開口向上；當0?a時，開口向下;

a相等，拋物線的開口大小、形狀相同.

②平行于y軸（或重合)的直線記作hx?。特別地，y軸記作直線0?x.

7.頂點決定拋物線的位置.幾個不同的二次函數，如果二次項系數

a

相同,那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同，

只是頂點的位置不同。

8。求拋物線的頂點、對稱軸的方法

（1）公式法：

a

bac

a

b

xacbxaxy

4

4

2

2

2

2

?

?

?

?

?

?

?

?

?????，∴頂點是），（

a

bac

a

b

4

4

2

2?

?,對稱軸是直線

a

b

x

2

??.

（2）配方法：運用配方的方法,將拋物線的解析式化為??khxay???2的形式,得到頂點為（h，k),對稱軸是直線

hx?。

（3)運用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對稱

-2-

軸,對稱軸與拋物線的交點是頂點.

用配方法求得的頂點，再用公式法或對稱性進行驗證，才能做到萬無一失.

9。拋物線cbxaxy???2中，cba,,的作用

（1)

a

決定開口方向及開口大小,這與2axy?中的a完全一樣。

（2）b和

a

共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線cbxaxy???2的對稱軸是直線

a

b

x

2

??,故：①0?b時，對稱軸為y軸；②0?

a

b

（即

a

、b同號）時,對稱軸在y軸左側；③0?

a

b

（即

a

、

b異號)時，對稱軸在y軸右側。

(3）

c

的大小決定拋物線cbxaxy???2與y軸交點的位置。

當0?x時，cy?，∴拋物線cbxaxy???2與y軸有且只有一個交點（0，

c

）：

①0?c，拋物線經過原點；②0?c,與y軸交于正半軸;③0?c，與y軸交于負半軸。

以上三點中，當結論和條件互換時,仍成立。如拋物線的對稱軸在y軸右側，則0?

a

b

。

10。幾種特殊的二次函數的圖像特征如下：

函數解析式開口方向對稱軸頂點坐標

2axy?

當0?a時

開口向上

當0?a時

開口向下

0?x（y軸）

（0，0）

kaxy??20?x（y軸)

（0,k）

??2hxay??

hx?（h，0)

??khxay???2hx?（h，k)

cbxaxy???2

a

b

x

2

??

(

a

bac

a

b

4

4

2

2?

?，）

11。用待定系數法求二次函數的解析式

（1）一般式:

cbxaxy???2。已知圖像上三點或三對

x

、y的值，通常選擇一般式。

（2）頂點式:??khxay???2

。已知圖像的頂點或對稱軸，通常選擇頂點式.

(3）交點式：已知圖像與

x

軸的交點坐標

1

x、

2

x，通常選用交點式：????

21

xxxxay???。

12.直線與拋物線的交點

（1）y軸與拋物線

cbxaxy???2得交點為（0,

c

)。

-3-

（2)與y軸平行的直線hx?與拋物線cbxaxy???2有且只有一個交點(h,cbhah??2）.

（3)拋物線與

x

軸的交點

二次函數cbxaxy???2的圖像與

x

軸的兩個交點的橫坐標

1

x、

2

x，是對應一元二次方程02???cbxax的兩

個實數根。拋物線與

x

軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判別式判定:

①有兩個交點?0???拋物線與

x

軸相交；

②有一個交點(頂點在

x

軸上）?0???拋物線與

x

軸相切;

③沒有交點?0???拋物線與

x

軸相離。

（4）平行于

x

軸的直線與拋物線的交點

同（3）一樣可能有0個交點、1個交點、2個交點。當有2個交點時,兩交點的縱坐標相等,設縱坐標為k,則橫坐

標是kcbxax???2的兩個實數根。

(5)一次函數??0???knkxy的圖像l與二次函數??02????acbxaxy的圖像G的交點,由方程組

cbxaxy

nkxy

???

??

2

的解的數目來確定：①方程組有兩組不同的解時?l與G有兩個交點;②方程組只有一組解時

?l與G只有一個交點；③方程組無解時?l與G沒有交點。

（6)拋物線與

x

軸兩交點之間的距離：若拋物線cbxaxy???2與

x

軸兩交點為????00

21

，，，xBxA,由于

1

x、

2

x是方

程02???cbxax的兩個根，故

a

c

xx

a

b

xx?????

2121

,

????

aa

acb

a

c

a

b

xxxxxxxxAB

?

?

?

??

?

?

?

?

?

?

?????????

44

4

2

2

21

2

21

2

2121

第二部分典型習題

１。拋物線y＝x2＋2x－2的頂點坐標是（D）

A.（2，－2)B.（1，－2）C.(1,－3）D.（－1，－3）

２。已知二次函數cbxaxy???2的圖象如圖所示，則下列結論正確的是（C）

Ａ．ab＞0,c＞0Ｂ．ab＞0,c＜0Ｃ．ab＜0，c＞0Ｄ．ab＜0，c＜0

C

A

E

F

B

D

第２，３題圖第4題圖

-4-

３.二次函數cbxaxy＋＋＝2的圖象如圖所示，則下列結論正確的是（Ｄ)

A．a＞0，b＜0，c＞0B．a＜0,b＜0，c＞0

C．a＜0，b＞0，c＜0D．a＜0,b＞0，c＞0

４.如圖，已知?ABC中，BC=8,BC上的高h?4，D為BC上一點，EFBC//,交AB于點E,交AC于點F（EF不過A、B），

設E到BC的距離為

x

，則?DEF的面積y關于

x

的函數的圖象大致為（Ｄ）

D

O

4

2

4

O

4

2

4

O

4

2

4

O

4

2

4

A

y

x

B

C

2

4

82,4

84

EFx

EFxyxx

?

????????

５.拋物線322???xxy與x軸分別交于A、B兩點，則AB的長為4．

6。已知二次函數11)(2k2－－＋＝xkxy與x軸交點的橫坐標為

1

x、

2

x（

21

xx＜），則對于下列結論：①當x＝－2時,y

＝1；②當

2

xx＞時，y＞0；③方程011)(22＝－＋?xkkx有兩個不相等的實數根

1

x、

2

x；④1

1

?＜x，1

2

＞－x；⑤

2

21

14k

xx

k

＋

－＝

，其中所有正確的結論是①③④（只需填寫序號）．

7。已知直線??02????bbxy與x軸交于點A，與y軸交于點B；一拋物線的解析式為??cxbxy????102。

（1）若該拋物線過點B，且它的頂點P在直線bxy???2上，試確定這條拋物線的解析式；

(2）過點B作直線BC⊥AB交x軸交于點C，若拋物線的對稱軸恰好過C點，試確定直線bxy???2的解析式.

解：（1)

102??xy或642???xxy

將0)b（，代入，得cb?。頂點坐標為

21016100

(,)

24

bbb???

?，由題意得

21016100

2

24

bbb

b

???

?????,

解得

12

10,6bb????。

（2)22???xy

8。有一個運算裝置，當輸入值為x時，其輸出值為y，且y是x的二次函數,已知輸入值為2?,0,

1

時，相應的輸出值

分別為5,3?,4?．

(1)求此二次函數的解析式；

-5-

第9題

（2)在所給的坐標系中畫出這個二次函數的圖象，并根據圖象寫出當輸出值y為正數時輸入值

x

的取值范圍.

解：（1）設所求二次函數的解析式為

cbxaxy???2，

則

?

?

?

?

?

?

?

????

??????

?????

4

300

5)2()2(

2

2

cba

cba

cba

,即

?

?

?

?

?

???

??

??

1

42

3

ba

ba

c

,解得

?

?

?

?

?

??

??

?

3

2

1

c

b

a

故所求的解析式為:

322???xxy

。

（2)函數圖象如圖所示。

由圖象可得，當輸出值y為正數時，

輸入值

x

的取值范圍是1??x或3?x．

9。某生物興趣小組在四天的實驗研究中發現：駱駝的體溫會隨外部環境溫度的變化而變化,而且在這四天中每晝夜的體

溫變化情況相同．他們將一頭駱駝前兩晝夜的體溫變化情況繪制成下

圖．請根據圖象回答：

⑴第一天中,在什么時間范圍內這頭駱駝的體溫是上升的?它的體溫

從最低上升到最高需要多少時間？

⑵第三天12時這頭駱駝的體溫是多少?

⑶興趣小組又在研究中發現，圖中10時到

22時的曲線是拋物線,求該拋物線的解

析式．

解：⑴第一天中，從4時到16時這頭駱駝的

體溫是上升的

它的體溫從最低上升到最高需要12小時

⑵第三天12時這頭駱駝的體溫是39℃

⑶??2210242

16

1

2??????xxxy

10.已知拋物線4)3

3

4

(2????xaaxy與x軸交于A、

B兩點,與y軸交于點C．是否存在實數a，使得

△ABC為直角三角形．若存在，請求出a的值；若不

存在,請說明理由．

解：依題意，得點C的坐標為(0,4）．

設點A、B的坐標分別為（

1

x，0），(

2

x，0)，

-6-

由04)3

3

4

(2????xaax，解得3

1

??x，

a

x

3

4

2

??．

∴點A、B的坐標分別為（—3，0),（

a3

4

?，0)．

∴|3

3

4

|???

a

AB，522???OCAOAC，

???22OCBOBC224|

3

4

|??

a

．

∴9

8

9

16

9

3

4

32

9

16

|3

3

4

|

22

22???????????

aaaaa

AB，

252?AC，16

9

16

2

2??

a

BC．

〈ⅰ〉當222BCACAB??時,∠ACB＝90°．

由222BCACAB??，

得)16

9

16

(259

8

9

16

22

?????

aaa

．

解得

4

1

??a．

∴當

4

1

??a時，點B的坐標為(

3

16

，0)，

9

625

2?AB,252?AC，

9

400

2?BC．

于是222BCACAB??．

∴當

4

1

??a時，△ABC為直角三角形．

〈ⅱ〉當222BCABAC??時，∠ABC＝90°．

由222BCABAC??,得)16

9

16

()9

8

9

16

(25

22

?????

a

a

a

．

解得

9

4

?a．

當

9

4

?a時,3

9

4

3

4

3

4

??

?

??

a

，點B（-3，0)與點A重合，不合題意．

<ⅲ〉當222ABACBC??時，∠BAC＝90°．

由222ABACBC??，得)9

8

9

16

(2516

9

16

22

?????

a

aa

．

解得

9

4

?a．不合題意．

綜合<ⅰ〉、〈ⅱ>、〈ⅲ>，當

4

1

??a時，△ABC為直角三角形．

11。已知拋物線y＝－x2＋mx－m＋2。

(1）若拋物線與x軸的兩個交點A、B分別在原點的兩側，并且AB＝

5

，試求m的值;

-7-

（2）設C為拋物線與y軸的交點，若拋物線上存在關于原點對稱的兩點M、N，并且△MNC的面積等于27，試求m的值。

解：（1)Ａ（x

1

,0），B(x

2

，0）.則x

1

,x

2

是方程x2－mx＋m－2＝0的兩根。

∵x

1

＋x

2

＝m,x

1

·x

2

=m－2＜0即m＜2;

又AB＝∣x

1

—x

2

∣＝

1212

45xxxx??2（+）

，

∴m2－4m＋3=0。

解得：m=1或m=3（舍去），∴m的值為1.

（2）M(a，b）,則N(－a，－b).

∵M、N是拋物線上的兩點，

∴

2

2

2,

2.

amamb

amamb

?

?????

?

?

??????

?

?

①

②

①＋②得:－2a2－2m＋4＝0.∴a2＝－m＋2。

∴當m＜2時,才存在滿足條件中的兩點M、N.

∴

2am???

.

這時M、N到y軸的距離均為

2m?

，

又點C坐標為（0，2－m）,而S△MNC

=27,

∴2×

1

2

×（2－m）×

2m?

=27.

∴解得m=－7.

12。已知：拋物線

taxaxy＋＋＝42與x軸的一個交點為A（－1，0)．

（1）求拋物線與x軸的另一個交點B的坐標；

(2）D是拋物線與y軸的交點，C是拋物線上的一點，且以AB為一底的梯形ABCD的面積為9，

求此拋物線的解析式;

（3）E是第二象限內到x軸、y軸的距離的比為5∶2的點，如果點E在（2)中的拋物線上，且

它與點A在此拋物線對稱軸的同側，問:在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△APE的周長最

小？若存在,求出點P的坐標;若不存在，請說明理由．

解法一：

(1）依題意，拋物線的對稱軸為x＝－2．

∵拋物線與x軸的一個交點為A(－1，0），

∴由拋物線的對稱性，可得拋物線與x軸的另一個交點B的坐標為（－3，0)．

（2）∵拋物線

taxaxy＋＋＝42與x軸的一個交點為A(－1，0），

N

M

C

x

y

O

-8-

∴0)1(4)1(2＝＋－＋－taa．∴t＝3a．∴aaxaxy342＋＋＝．

∴D（0，3a）．∴梯形ABCD中，AB∥CD，且點C在拋物線aaxaxy342＋＋＝上，

∵C（－4，3a）．∴AB＝2，CD＝4．

∵梯形ABCD的面積為9,∴9)(

2

1

＝ODCDAB??．∴93)42(

2

1

＝＋a．

∴a±1．

∴所求拋物線的解析式為342＋＋＝xxy或342???axxy＝．

（3）設點E坐標為（

0

x，

0

y）.依題意,0

0

＜x,0

0

＜y，

且

2

5

0

0＝

x

y

．∴

002

5

xy＝－．

①設點E在拋物線342＋＋＝xxy上，

∴

34

0

2

00

＋＋＝xxy

．

解方程組

?

?

?

?

?

34

,

2

5

0

2

00

00

＋＋＝

＝－

xxy

xy

得

?

?

?

?

；＝

，＝

15

6

0

0

y

x

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

．＝

，＝

4

5

2

1

0

0

y

x

∵點E與點A在對稱軸x＝－2的同側，∴點E坐標為(

2

1

?，

4

5

）．

設在拋物線的對稱軸x＝－2上存在一點P,使△APE的周長最小．

∵AE長為定值，∴要使△APE的周長最小，只須PA＋PE最小．

∴點A關于對稱軸x＝－2的對稱點是B（－3,0），

∴由幾何知識可知，P是直線BE與對稱軸x＝－2的交點．

設過點E、B的直線的解析式為nmxy＋＝，

∴

?

?

?

?

?

?

.03

,

4

5

2

1

＝＋－

＝＋

nm

nm

解得

?

?

?

?

?

?

?

.

2

3

,

2

1

＝

＝

n

m

∴直線BE的解析式為

2

3

2

1

＋＝xy．∴把x＝－2代入上式，得

2

1

＝y．

∴點P坐標為(－2，

2

1

）．

②設點E在拋物線

342???xxy＝上，∴

34

0

2

00

???xxy＝

．

-9-

解方程組

?

?

?

?

?

???.34

,

2

5

0

2

00

00

xxy

xy

＝

＝－

消去

0

y，得03x

2

3

x

0

2

0

＝＋?．

∴△＜0。∴此方程無實數根．

綜上,在拋物線的對稱軸上存在點P（－2，

2

1

），使△APE的周長最小．

解法二：

（1）∵拋物線taxaxy＋＋＝42與x軸的一個交點為A（－1,0），

∴0)1(4)1(2＝＋－＋－taa．∴t＝3a．∴aaxaxy342＋＋＝．

令y＝0,即0342＝＋＋aaxax．解得1

1

＝－x,3

2

＝－x．

∴拋物線與x軸的另一個交點B的坐標為（－3，0)．

（2）由aaxaxy342＋＋＝，得D(0，3a）．

∵梯形ABCD中,AB∥CD，且點C在拋物線

aaxaxy342＋＋＝上,

∴C(－4，3a）．∴AB＝2，CD＝4．

∵梯形ABCD的面積為9，∴9)(

2

1

＝＋ODCDAB?．解得OD＝3．

∴33＝a．∴a±1．

∴所求拋物線的解析式為

342＋＋＝xxy

或

342－－＝－xxy

．

（3）同解法一得,P是直線BE與對稱軸x＝－2的交點．

∴如圖,過點E作EQ⊥x軸于點Q．設對稱軸與x軸的交點為F．

由PF∥EQ,可得

EQ

PF

BQ

BF

＝．∴

4

5

2

5

1PF

＝．∴

2

1

＝PF．

∴點P坐標為（－2，

2

1

）．

以下同解法一．

13。已知二次函數的圖象如圖所示．

(1）求二次函數的解析式及拋物線頂點M的坐標．

（2）若點N為線段BM上的一點，過點N作x軸的垂線，垂足為點Q．當點N在線段BM上運動時（點N不與點B，點M

-10-

重合）,設NQ的長為l，四邊形NQAC的面積為S,求S與t之間的函數關系式及自變量t的取值范圍;

(3)在對稱軸右側的拋物線上是否存在點P,使△PAC為直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存

在，請說明理由；

（4）將△OAC補成矩形，使△OAC的兩個頂點成為矩形一邊的兩個頂點，第三個頂點落在矩

形這一邊的對邊上，試直接寫出矩形的未知的頂點坐標（不需要計算過程）．

解：（1）設拋物線的解析式)2)(1(???xxay，

∴)2(12?????a．∴1?a．∴22???xxy．

其頂點M的坐標是?

?

?

?

?

?

?

4

9

2

1

，．

（2)設線段BM所在的直線的解析式為bkxy??,點N的坐標為N（t，h），

∴

?

?

?

?

?

???

??

.

2

1

4

9

20

bk

bk，

．解得

2

3

?k,3??b．

∴線段BM所在的直線的解析式為3

2

3

??xy．

∴3

2

3

??th，其中2

2

1

??t．∴tts)3

3

2

2(

2

1

21

2

1

??????1

2

1

4

3

2???tt．

∴s與t間的函數關系式是1

2

1

4

3

2???ttS，自變量t的取值范圍是2

2

1

??t．

（3)存在符合條件的點P，且坐標是

1

P

?

?

?

?

?

?

4

7

2

5

，，?

?

?

?

?

?

?

4

5

2

3

2

，P．

設點P的坐標為P)(nm，，則22???mmn．

222)1(nmPA???，5)2(2222????ACnmPC，．

分以下幾種情況討論：

i）若∠PAC＝90°，則

222ACPAPC??．

∴

?

?

?

?

?

??????

???

.5)1()2(

2

2222

2

nmnm

mmn，

解得:

2

5

1

?m，1

2

??m（舍去）．∴點?

?

?

?

?

?

4

7

2

5

1

，P．

ii）若∠PCA＝90°，則

222ACPCPA??．

-11-

∴

?

?

?

?

?

??????

???

.5)2()1(

2

2222

2

nmnm

mmn，

解得:0

2

3

43

??mm，（舍去）．∴點?

?

?

?

?

?

4

5

2

3

2

，－P．

iii）由圖象觀察得,當點P在對稱軸右側時，ACPA?，所以邊AC的對角∠APC不可能是直角．

（4）以點O，點A（或點O，點C）為矩形的兩個頂點，第三個頂點落在矩形這邊OA(或邊OC）的對邊上，如圖a，此

時未知頂點坐標是點D（－1，－2），

以點A，點C為矩形的兩個頂點，第三個頂點落在矩形這一邊AC的對邊上，如圖b，此時未知頂點坐標是E?

?

?

?

?

?

?

5

2

5

1

，，

F?

?

?

?

?

?

?

5

8

5

4

，．

圖a圖b

14。已知二次函數

22－＝axy

的圖象經過點（1，－1)．求這個二次函數的解析式，并判斷該函數圖象與x軸的交點的個

數．

解：根據題意，得a－2＝－1.

∴a＝1．∴這個二次函數解析式是22?xy＝．

因為這個二次函數圖象的開口向上，頂點坐標是（0，－2），所以該函數圖象與x軸有兩個交點．

15.盧浦大橋拱形可以近似看作拋物線的一部分．在大橋截面1∶11000的比例圖上，跨度AB＝5cm，拱高OC＝0.9cm，

線段DE表示大橋拱內橋長，DE∥AB，如圖（1）．在比例圖上,以直線AB為x軸，拋物線的對稱軸為y軸，以1cm作

為數軸的單位長度，建立平面直角坐標系，如圖(2）．

（1）求出圖（2）上以這一部分拋物線為圖象的函數解析式，寫出函數定義域；

-12-

(2)如果DE與AB的距離OM＝0。45cm，求盧浦大橋拱內實際橋長(備用數據：4.12?，計算結果精確到1米）．

解：(1）由于頂點C在y軸上，所以設以這部分拋物線為圖象的函數解析式為

10

9

2＋＝axy．

因為點A(

2

5

?，0)（或B（

2

5

,0)）在拋物線上,所以

10

9

)

2

5

(02＋＝??a，得

125

18

＝－a．

因此所求函數解析式為)

2

5

2

5

(

10

9

125

18

2???xxy＋＝－．

（2)因為點D、E的縱坐標為

20

9

,所以

10

9

125

18

20

9

2＋－x?，得2

4

5

?＝x．

所以點D的坐標為(2

4

5

－，

20

9

），點E的坐標為（2

4

5

，

20

9

）．

所以

2

25

)2

4

5

(2

4

5

＝－＝?DE．

因此盧浦大橋拱內實際橋長為385227501.011000

2

25

???＝(米）．

16。已知在平面直角坐標系內，O為坐標原點，A、B是x軸正半軸上的兩點，點A在點B的左側，如圖．二次函數

cbxaxy＋＋＝2（a≠0）的圖象經過點A、B,與y軸相交于點C．

(1）a、c的符號之間有何關系？

（2）如果線段OC的長度是線段OA、OB長度的比例中項，試證

a、c互為倒數；

（3）在（2）的條件下，如果b＝－4，

34＝AB

，求a、c的值．

解:

（1）a、c同號．或當a＞0時，c＞0；當a＜0時，c＜0．

（2）證明：設點A的坐標為（

1

x，0)，點B的坐標為（

2

x，0)，則

21

0xx＜＜．

∴

1

xOA?，

2

xOB?，cOC?．

據題意，

1

x、

2

x是方程)0(02??acbxax＋＋的兩個根．∴

a

c

xx??

21

．

由題意，得2OCOBOA＝?，即2

2cc

a

c

＝＝．

所以當線段OC長是線段OA、OB長的比例中項時，a、c互為倒數．

(3）當4??b時，由(2）知,0

4

21

＞＝＝－＋

aa

b

xx，∴a＞0．

-13-

解法一:AB＝OB－OA＝

21

2

2112

4)(xxxxxx?＋＝－，

∴

aa

ac

a

c

a

AB

32416

)(4)

4

(

2

2?

?

??－

．

∵

34?AB

，∴34

32

＝

a

．得

2

1

?a．∴c＝2.

解法二：由求根公式，

aaa

ac

x

32

2

4164

2

4164?????

＝＝＝，

∴

a

x

32

1

?

＝,

a

x

32

2

?

＝．

∴

aaa

xxOAOBAB

323232

12

＝

－

－＝－＝－＝

?

．

∵

34＝AB

，∴34

32

＝

a

，得

2

1

＝a．∴c＝2．

17.如圖,直線

3

3

3

???xy

分別與x軸、y軸交于點A、B，⊙E經過原點O及A、B兩點．

(1）C是⊙E上一點，連結BC交OA于點D，若∠COD＝∠CBO，求點A、B、C的坐標;

（2）求經過O、C、A三點的拋物線的解析式：

(3)若延長BC到P，使DP＝2，連結AP，試判斷直線PA與⊙E的位置關系，并說明理由．

解：（1）連結EC交x軸于點N（如圖）．

∵A、B是直線

3

3

3

???xy

分別與x軸、y軸的交點．∴A(3，0），B)3,0(．

又∠COD＝∠CBO．∴∠CBO＝∠ABC．∴C是的中點．∴EC⊥OA．

∴

2

3

2

,

2

3

2

1

????

OB

ENOAON

．

連結OE．∴3??OEEC．∴

2

3

???ENECNC

．∴C點的坐標為（

2

3

,

2

3

?

）．

（2)設經過O、C、A三點的拋物線的解析式為??3??xaxy．

∵C(

2

3

,

2

3

?

)．∴

)3

2

3

(

2

3

2

3

????a

．∴

3

9

2

?a

．

-14-

∴

xxy

8

32

9

32

2??

為所求．

（3）∵

3

3

tan??BAO

,∴∠BAO＝30°，∠ABO＝50°．

由（1）知∠OBD＝∠ABD．∴

????????3060

2

1

2

1

ABOOBD

．

∴OD＝OB·tan30°－1．∴DA＝2．

∵∠ADC＝∠BDO＝60°,PD＝AD＝2．

∴△ADP是等邊三角形．∴∠DAP＝60°．

∴∠BAP＝∠BAO＋∠DAP＝30°＋60°＝90°．即PA⊥AB．

即直線PA是⊙E的切線．