平面向量的所有公式

1、向量的的數(shù)量積

定義：已知兩個非零向量a,b。作OA=a,OB=b,則角AOB稱作向量a和向量b

的夾角，記作〈a,b〉并規(guī)定0≤〈a,b〉≤π

定義：兩個向量的數(shù)量積（內(nèi)積、點積）是一個數(shù)量，記作a?b。若a、b不

共線，則a?b=|a|?|b|?cos〈a，b〉；若a、b共線，則a?b=+-∣a∣∣b∣。

向量的數(shù)量積的坐標表示：a?b=x?x'+y?y'。

向量的數(shù)量積的運算律

a?b=b?a（交換律）；

(λa)?b=λ(a?b)(關(guān)于數(shù)乘法的結(jié)合律)；

（a+b)?c=a?c+b?c（分配律）；

向量的數(shù)量積的性質(zhì)

a?a=|a|的平方。

a⊥b〈=〉a?b=0。

|a?b|≤|a|?|b|。

向量的數(shù)量積與實數(shù)運算的主要不同點

1、向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即：(a?b)?c≠a?(b?c)；例如：

(a?b)^2≠a^2?b^2。

2、向量的數(shù)量積不滿足消去律，即：由a?b=a?c(a≠0)，推不出b=c。

3、|a?b|≠|(zhì)a|?|b|

4、由|a|=|b|，推不出a=b或a=-b。

2、向量的向量積

定義：兩個向量a和b的向量積（外積、叉積）是一個向量，記作a×b。若a、

b不共線，則a×b的模是：∣a×b∣=|a|?|b|?sin〈a，b〉；a×b的方向是：

垂直于a和b，且a、b和a×b按這個次序構(gòu)成右手系。若a、b共線，則a×b=0。

向量的向量積性質(zhì)：

∣a×b∣是以a和b為邊的平行四邊形面積。

a×a=0。

a‖b〈=〉a×b=0。

向量的向量積運算律

a×b=-b×a；

（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；

（a+b）×c=a×c+b×c.

注：向量沒有除法，“向量AB/向量CD”是沒有意義的。

3、向量的三角形不等式

1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣；

①當且僅當a、b反向時，左邊取等號；

②當且僅當a、b同向時，右邊取等號。

2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。

①當且僅當a、b同向時，左邊取等號；

②當且僅當a、b反向時，右邊取等號。

4、定比分點

定比分點公式（向量P1P=λ?向量PP2）

設(shè)P1、P2是直線上的兩點，P是l上不同于P1、P2的任意一點。則存在一個

實數(shù)λ，使向量P1P=λ?向量PP2，λ叫做點P分有向線段P1P2所成的比。

若P1（x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，則有

OP=(OP1+λOP2)(1+λ)；（定比分點向量公式）

x=(x1+λx2)/(1+λ),

y=(y1+λy2)/(1+λ)。（定比分點坐標公式）

我們把上面的式子叫做有向線段P1P2的定比分點公式

5、三點共線定理

若OC=λOA+μOB,且λ+μ=1,則A、B、C三點共線

三角形重心判斷式

在△ABC中，若GA+GB+GC=O,則G為△ABC的重心

向量共線的重要條件

若b≠0，則a