怎么做長方體

制作一個盡可能大的無蓋長方體形盒子

趙天罡

（西北工業大學附中初一18班，陜西西安）

摘要：為了制作一個容積最大的無蓋長方體形盒子，本文運用畫圖法、制表法對邊長20cm的正方形紙裁剪后的無蓋長方

體形盒子容積進行了分析，分別針對五種“九宮格”形的裁剪方法提出了兩種不同的計算公式。計算分析結果表明：在兩種

計算方法中，方法二得到的容積值較方法一大；方法一剪裁的小正方形寬度值取約3.3333時容積最大，方法二剪裁的小正

方形寬度值取時約4.2265時容積最大。

關鍵詞：正方形；長方體無蓋紙盒；容積；裁剪；圖表法

1問題的提出

在幾何數學中，我們經常遇到以下問題：

（1）如何將一張正方形紙板裁剪成長方體無蓋紙盒？

（2）怎樣裁剪使這個紙盒最大？

這兩個問題是兩個相關的問題，其中隱含著正方形紙板的裁剪方法和長方體無蓋紙盒最大容積的計算

和分析方法問題。本文將首先從正方形紙板的裁剪方法研究出發，運用畫圖法、制表法等方法分析計算長

方體無蓋紙盒的最大容積。

2“九宮格”形的裁剪方法

要將一張正方形紙板裁剪成長方體無蓋紙盒首先涉及到的是正方形紙板的裁剪方法，為了直觀簡單的

分析裁剪方法，本文借助了唐代書法家歐陽詢所創制的“九宮格”。

九宮格，又叫“九方格”，即九個一樣大小的正方形組成的大正方形，如圖1所示。

借助九宮格，將正方形紙板裁剪成長方體無蓋紙盒就變得十分容易。所謂“九宮格”形的裁剪方法，

即是將無蓋長方體看作無蓋正方形，無蓋長方體的平面展開圖的長寬跨度均為大正方形邊長；將大正方形

看作九宮格，并剪裁其中四塊小正方形，留下相鄰并可折成無蓋正方體的5塊小正方形，如圖2所示。

圖1九宮格圖2“九宮格”形的裁剪方法

運用“九宮格”，可裁剪成無蓋長方體的方法有8種，如圖3所示，其中后3種裁剪方法（即6~8裁

剪方法）屬于變形“九宮格”形的裁剪方法，計算較為困難，本文不進行分析計算，重點分析前5種方法

的容積計算。

（1）（2）（3）（4）（5）

2

（6）（7）（8）

圖3正方形紙板的9種“九宮格”形的裁剪方法

3無蓋長方體的最大容積計算

下面重點分析上述前5種“九宮格”形的裁剪方法的最大容積計算。經過分析，（1）~（3）種裁剪方

法的容積計算方法相同，（4）、（5）種裁剪方法的容積計算方法相同，應分別計算，下文將（1）~（3）種

裁剪方法的容積計算方法歸為方法一，將（4）、（5）種裁剪方法的容積計算方法歸為方法二。

為便于計算，下列兩種方法均以邊長為20cm的正方形紙為例進行無蓋長方體的裁剪和容積計算。

3.1方法一

（1）裁剪方法

（1）~（3）種“九宮格”形的裁剪方法如圖4所示，圖中黑色為剪裁部分。其中圖（1）中剪裁的小

正方形寬度全部相同；圖（2）中剪裁的小長方形長度為“20cm與剪裁的小正方形寬度的差”，剪裁的

小長方形寬度等于剪裁的小正方形寬度；圖（3）中不規則圖形的2條長邊相等，為剪裁的小正方形寬

度的兩倍，不規則圖形的4條短邊相等，等于剪裁的小正方形的寬度。

（1）（2）（3）

圖4（1）~（3）種“九宮格”形的裁剪方法

（2）容積計算公式

上述（1）~（3）種“九宮格”形的裁剪方法其容積計算公式相同，如式（1）所示：

V=(20-X*2)^2*X（1）

式中：大正方形紙的邊長為20cm；X為剪裁的小正方形邊長（cm），0

的容積（cm3）。

（3）最大容積計算

如果剪去的小正方形邊長按整數值依次變化，即分別取1cm,2cm,3cm,4cm,5cm,6cm,7cm,8cm,9cm,10cm

時，折成的無蓋長方體形盒子的容積運用公式（1）的計算結果如表1和圖5所示。

方法一的無蓋長方體形盒子的容積計算結果表1

小正方形的邊長（cm）無蓋長方體的容積（cm3）小正方形的邊長（cm）無蓋長方體的容積（cm3）

13246384

25127252

35888128

4576936

3

5500100

圖5方法一的無蓋長方體形盒子的容積變化趨勢

從表1和圖5中可以看出，當小正方形邊長小于3cm時，方法一計算的無蓋長方體形盒子的容積逐漸

增大；在3~4cm間容積達到最大，其后隨著小正方形邊長的增加容積逐漸減小；當小正方形邊長為10cm

時，容積為0。

為了進一步計算最大的容積，在小正方形邊長3~4cm間，以0.1cm為步長計算無蓋長方體形盒子的

容積，計算結果如表2和圖6所示。

以0.1cm為步長的無蓋長方體形盒子的容積計算結果表2

小正方形的邊長（cm）無蓋長方體的容積（cm3）小正方形的邊長（cm）無蓋長方體的容積（cm3）

3.1590.3643.6589.824

3.2591.8723.7587.412

3.3592.5483.8584.288

3.4592.4163.9580.476

3.5591.54576

4

圖6以0.1cm為步長的方法一無蓋長方體形盒子的容積變化趨勢

從表2和圖6中可以看出，當小正方形邊長小于3.3cm時，無蓋長方體形盒子的容積逐漸增大；在

3.3~3.4cm間容積達到最大，其后隨著小正方形邊長的增加容積逐漸減小。

以此類推，在3.3~3.4cm間分別以0.01cm，0.001cm，······為步長計算無蓋長方體形盒子的容積，

即可得到小正方形邊長為3.333333333···（即）時，無蓋長方體形盒子的容積的容積最大。

3.2方法二

（1）裁剪方法

（4）、（5）種“九宮格”形的裁剪方法如圖7所示，圖中黑色為剪裁部分。其中圖中剪裁的小長方形

長度為“=”。

（4）（5）

圖7（4）、（5）種“九宮格”形的裁剪方法

（2）容積計算公式

上述（4）、（5）種“九宮格”形的裁剪方法其容積計算公式相同，如式（2）所示：

V=X*(20-X)*(10-X)（2）

式中：大正方形紙的邊長為20cm；X為剪裁的小長方形寬度（cm），0

的容積（cm3）。

（3）最大容積計算

如果剪去的小長方形寬度按整數值依次變化，即分別取1cm,2cm,3cm,4cm,5cm,6cm,7cm,8cm,9cm,10cm

時，折成的無蓋長方體形盒子的容積運用公式（2）的計算結果如表3和圖8所示。

方法二的無蓋長方體形盒子的容積計算結果表3

小正方形的邊長（cm）無蓋長方體的容積（cm3）小正方形的邊長（cm）無蓋長方體的容積（cm3）

11716336

22887273

33578192

4384999

5375100

5

圖8方法二的無蓋長方體形盒子的容積變化趨勢

從表3和圖8中可以看出，當小長方形寬度小于4cm時，方法二計算的無蓋長方體形盒子的容積逐

漸增大；在4~5cm間容積達到最大，其后隨著小長方形寬度的增加容積逐漸減小；當小長方形寬度為10cm

時，容積為0。

為了精確計算最大的容積，在小長方形寬度4~5cm間，小長方形寬度以0.1cm的步長增加計算無蓋

長方體形盒子的容積，計算結果如表4和圖9所示。

小長方形寬度以0.1cm的步長增加方法二無蓋長方體形盒子的容積計算結果表4

小正方形的邊長（cm）無蓋長方體的容積（cm3）

4.1384.621

4.2384.888

4.3384.807

4.4384.384

圖9以0.1cm為步長的方法二無蓋長方體形盒子的容積變化趨勢

6

從表4和圖9中可以看出，當小長方形寬度小于4.2cm時，方法二計算的無蓋長方體形盒子的容積

逐漸增大；在4.2~4.3cm間容積達到最大，其后隨著小長方形寬度的增加容積逐漸減小。

在小長方形寬度4.2~4.3cm間，小長方形寬度以0.01cm的步長增加計算無蓋長方體形盒子的容積，

計算結果如表5和圖10所示。

以0.01cm為步長的方法二無蓋長方體形盒子的容積計算結果表5

小正方形的邊長（cm）無蓋長方體的容積（cm3）

4.21384.895461

4.22384.899448

4.23384.899967

4.24384.897024

圖10以0.01cm為步長的無蓋長方體形盒子的容積變化趨勢

從表5和圖10中可以看出，當小長方形寬度在4.22~4.23cm間容積達到最大，其后隨著小長方形寬

度的增加容積逐漸減小。

在小長方形寬度4.22~4.23cm間，以0.001cm為步長計算無蓋長方體形盒子的容積，計算結果如表6

和圖11所示。

以0.001cm為步長的方法二無蓋長方體形盒子的容積計算結果表6

小正方形的邊長（cm）無蓋長方體的容積（cm3）

4.225384.9001406

4.226384.9001752

4.227384.9001751

4.228384.9001404

7

圖11以0.001cm為步長的無蓋長方體形盒子的容積變化趨勢

從表6和圖11中可以看出，當小長方形寬度在4.226~4.227cm間容積達到最大，其后隨著小長方形

寬度的增加容積逐漸減小。

進一步在小長方形寬度4.226~4.227cm間，以0.0001cm為步長計算無蓋長方體形盒子的容積，計算

結果如表7和圖12所示。

以0.0001cm為步長的方法二無蓋長方體形盒子的容積計算結果表7

小正方形的邊長（cm）無蓋長方體的容積（cm3）

4.2261384.9001767

4.2262384.9001779

4.2263384.9001788

4.2264384.9001793

4.2265384.9001795

4.2266384.9001793

圖12以0.0001cm為步長的無蓋長方體形盒子的容積變化趨勢

8

從表7和圖12中可以看出，當小長方形寬度小于4.2264cm時，無蓋長方體形盒子的容積緩慢增大；

在4.2265cm附近容積達到最大，其后隨著小長方形寬度的增加容積緩慢減小。

以此類推，在4.2264~4.2266cm間分別以0.00001cm，0.000001cm，······為步長計算無蓋長方體形

盒子的容積，即可得到小長方形寬度為4.226497308···（即）時，無蓋長方體形盒子的容積的容

積最大。

4研究結論

通過以上分析計算，可得出以下研究結論：

（1）“九宮格”形的裁剪方法簡單直觀，適合正方形紙板裁剪成長方體無蓋紙盒的制作；

（2）在兩種計算方法中，方法二得到的容積值較方法一大；

（3）以邊長為20cm的正方形紙為例進行無蓋長方體的裁剪和容積計算，方法一剪裁的小正方形寬度

值取約3.3333時容積最大，在此之前容積逐漸增大，之后逐漸減小，減小速度較快；

方法二剪裁的小正方形寬度值取約4.2265時容積最大，在此之前容積逐漸增大，之后逐漸減小，減小

速度較快；

（4）在“九宮格”形狀的五種剪裁方法中，方法二數值最大，容積最大約為384.9001795cm3。