四則運算的意義

《四則運算》教材分析

通過前面七冊的學習，學生已經掌握了整數的四則運算，編排本單元的目的是對以前的知識進行較為

系統的概括和總結，完善學生的認知結構。主要內容分為三個方面：四則運算的意義和各部分間的關系（例

1～例3）；混合運算的順序（例4）；解決問題（例5）。

一、主要內容

本單元的主要內容是在復習已學過四則運算的知識的基礎上，對加、減、乘、除四則運算進行概括。

在學生已經掌握的整數四則混合運算的基礎上，對四則混合運算順序進行歸納總結。這里第一次出現中括

號，使四則混合運算方面的知識趨于完整。本單元包括三部分內容，即：四則運算的意義，每種運算中各

部分間的關系；四則混合運算；解決實際問題。本單元的內容安排如下：

從上面可以看出，本單元教學內容分為三個層次。

1．四則運算的意義和各部分間的關系（例1——例3）．學生在前七冊教材中，對整數四則運算已經

有了較多的接觸，積累了豐富的感性認識并掌握了相應的基礎知識和技能。在此基礎上，對整數四則運算

的意義和關系進行抽象、概括，使學生對每種運算的認識從感性上升到理性。整數四則運算的意義是學習

小數、分數四則運算意義的基礎，對于四則運算意義認識的提升，將為學習小數、分數四則運算的意義和

關系打下基礎。

2．四則混合運算（例4）。四則混合運算和運算順序是計算教學中的重要基礎知識。本單元在學生已

學過的混合運算及運算順序，初步認識小括號的作用的基礎上，認識中括號，對整數四則混合運算進行概

括和總結。由此，不僅使學生豐富了計算知識，提高計算能力，也為學生列綜合算式解決問題打好基礎。

為進一步學習代數運算做好準備。

3．解決問題（例5）。本單元設置用兩、三步計算解決的實際問題，旨在讓學生合理靈活的運用相關

知識解決問題，感受、領悟優化思想，提高解決問題的能力。

四則運算的意義、四則混合運算的順序是本單元的教學重點也是教學的難點。

二、教學目標

1．結合具體情境，理解加、減、乘、除四則運算的意義，掌握四則運算中各部分間的關系，對四則

運算知識進行較系統的概括和總結。

2．認識中括號，掌握四則混合運算的順序，能進行簡單的四則混合運算。

3．讓學生經歷解決實際問題的過程，學會用四則混合運算知識解決一些實際問題，感受解決問題的

一些策略和方法。

4．通過數學學習，提高抽象概括能力，養成認真審題、獨立思考等良好的學習習慣。

三、教學建議

1．讓學生經歷從感性認識上升到理性認識的過程。

學生在前面已經學會加、減、乘、除的計算方法，積累了豐富的有關加、減、乘、除的意義的感性認

識。在此基礎上，通過解決簡單的實際問題，激活學生已有的知識與經驗，再以“為什么要用加（減、乘、

除）法計算？”引導學生思考，概括運算的意義。例如教學加法的意義時，可放手讓學生解決“西寧到拉

薩的鐵路長多少千米”這個問題。在解決問題中經歷把814km與1142km合在一起，即把814與1142合

成一個數的計算過程，喚起學生已有的知識和經驗。之后，通過“為什么要用加法計算？”引導學生思考：

加法是什么樣的運算？在此基礎上，概括加法的意義，進而概括說明加法算式各部分的名稱。由解決問題

到概括出加法的意義，是學生對加法的認識從感性上升到理性。

2．重視歸納整理，溝通知識間的內在聯系，完善學生的知識結構。

本單元教學的重要內容是概括四則運算的意義，豐富、梳理四則混合運算順序的知識。教材設置了4

道例題，依次教學加、減、乘、除法的意義及各部分間的關系，0的運算特性，四則混合運算等教學內容。

教學中，教師要縱觀全局駕馭教材，適時引導學生把分散學習的知識串成線、結成網，逐步完善知識結構。

例如，在概括四則運算的意義之后，可引導學生用圖表的形式，歸納整理知識，溝通知識間的內在聯系，

加深對知識的理解和掌握。

3．組織好練習，深化知識，培養能力

本單元設置了3個練習，都突出了教學的重點和難點，教學時，應突出練習的針對性，注重學生的理

解和掌握。例如，練習一第1題是四道有關加、減運算意義的問題。題目中特別提出：“下面各題應用什

么方法計算？為什么？”要求用加、減法得意義說明各題選擇方法的道理。教學時，應讓學生切實經歷把

加、減法的意義應用于具體問題進行判斷、推理和表述的過程。這樣，才能讓學生加深理解加、減法的意

義，培養學生的判斷、推理能力及有根據的說理能力。又如，練習2第3題“調皮的小貓”，調皮的小貓

的爪印遮住了等式中的因數、除數或被除數。教學時，不僅要用好活潑有趣的素材，激發學生參與練習活

動的興趣；還要組織好交流，請學生說說求出“爪印下”各數的根據。學生根據算式各部分間的關系來說

明，或是利用乘、除法的關系來解釋，將使學生對乘、除法算式各部分間的關系的認識得到進一步提高，

使學生加深對乘、除法關系的理解。

4．建議用6課時教學

《四則運算》課標解讀

一、課標要求

《義務教育數學課程標準（2011年版）》在“學段目標”的“第二學段”中提出了“掌握必要的運算

技能”“初步形成數感和空間觀念，感受符號和幾何直觀的作用”“嘗試從日常生活中發現并提出簡單的

數學問題，并運用一些知識加以解決”“能探索分析和解決簡單問題的有效方法，了解決問題方法的多樣

性”“能回顧解決問題的過程，初步判斷結果的合理性”“在運用數學知識和方法解決問題的過程中，認

識數學的價值”。

《義務教育數學課程標準（2011年版）》在“課程內容”的“第二學段”中提出了“能計算三位數乘

兩位數的乘法，三位數除以兩位數的除法”“認識中括號，能進行簡單的整數四則混合運算（以兩步為主，

不超過三步）”“在具體運算和解決簡單實際問題的過程中，體會加與減、乘與除的互逆關系”“在具體

情境中，了解常見的數量關系：總價=單價×數量、路程=速度×時間，并能解決簡單的實際問題”“經歷

與他人交流各自算法的過程，并能表達自己的想法”。

二、課標解讀

1．數的運算：四則運算的含義

數（自然數）是刻畫一個集合中事物數量信息的符號，運算（整數四則運算）是刻畫多個集合中事物

數量信息之間關系的符號（組合）。從數學發展的邏輯體系來看，加法運算是四則運算的基礎，減法是加

法的逆運算，乘法是一種特殊的加法，除法是乘法的逆運算。

加法的定義：對于規定運算表示在的后面增加個的序數，如果這個序數為，那么，

稱為與的和。求和的運算叫做加法，記作：。顯然，加法運算滿足封閉性、交換律、結合律。

乘法的定義：乘法在本質上是一類特殊的加法，乘法是數自相加的縮寫。一般地，對于自然數，

規定乘法運算表示個相加。顯然，乘法運算滿足封閉性、交換律、結合律、分配律。

減法的定義：減法是加法的逆運算，減法是通過加法來定義的。由于減法將出現負整數，因此，運算

的集合需要從自然數集合（）擴展到整數集合）。整數集合包含正整數、0、負整數。對于，

如果，則稱為減的差，求差的運算叫做減法，記作：。顯然，整數集對于減法運算是

封閉的，而且，存在著“相反數”與“單位元”，使得，。

除法的定義：除法是乘法的逆運算。除法是通過乘法來定義的。由于除法將出現分數，因此，運算的

集合需要從整數集合（）擴展到有理數集合（）。對于，如果，則稱為與的

商，求商的運算叫做除法，記作：（=）。顯然，有理數集對于除法運算是封閉的，而且，存

在著“相反數”與“單位元”，使得，。

2．數的運算

數的運算內容貫串于整個一、二學段，是這兩個學段比較重要、占用學習時間最多的內容。對于數的

運算首先要使學生理解為什么要運算，這達到不同目的，決定了選擇不同的運算方式和不同的精度要求。

美國數學教師學會（NCTM）1989年編寫的《學校數學課程與評價標準》中對計算問題有一段論述，反映對

運算的觀念（見下圖），從中可以受到一些啟示。

首先應當讓學生理解的是面對具體的情形，確定是否需要計算。然后再確定需要什么樣的計算方法。

口算、筆算、計算器、計算機和估算都是供學生選擇的方式，都可以起到算出結果的目的。

應當重視學生對算理的理解和掌握，按照標準的要求把握運算的熟練程度的要求。重視估算的理解運

用。鼓勵學生用自己的方法去嘗試運算，選擇合適的方法進行運算。理解常見的數量關系，并運用常見的

數量關系解決問題。

（1）整數運算

對于整數的運算《標準》在兩個學段分別提出具體的內容要求。

第一學段：

1．結合具體情境，體會整數四則運算的意義（參見例5）。

2．能熟練地口算20以內的加減法和表內乘除法，能口算百以內的加減法和一位數乘除兩位數。

3．能計算三位數的加減法，一位數乘三位數、兩位數乘兩位數的乘法，三位數除以一位數的除法。

4．認識小括號，能進行簡單的整數四則混合運算（兩步）。

第二學段：

1．能計算三位數乘兩位數的乘法，三位數除以兩位數的除法。

2．認識中括號，能進行簡單的整數四則混合運算（以兩步為主，不超過三步）。

3．探索并了解運算律（加法的交換律和結合律、乘法的交換律和結合律、乘法對加法的分配律），

會應用運算律進行一些簡便運算。

4．在具體運算和解決簡單實際問題的過程中，體會加與減、乘與除的互逆關系。

學習整數的運算首先要使學生理解算理，把握四則運算的本質。如，加一個正數比原數大，學習加法

時，要使學生理解這個算理。減法是加法的逆運算，減去一個正數就比原來的數小。乘法是加法的簡便運

算，是求相同加數的和，這是乘法的本質特征。除法是乘法的逆運算。教學中應強調讓學生理解四則運算，

了解它們之間的關系。

對于運算的難度和熟練程度，《義務教育數學課程標準（2011年版）》針對不同的內容提出明確的要

求。限制運算的步驟是為了控制繁雜的問題，往往四則運算的多步計算會出很繁雜的問題，對于每一步驟

的計算學生可能都會做，但在若干步驟計算中，如果有一個地方出錯，就會導致整個結果出錯。在有的計

算器之后，人們在現實生活中遇到繁雜的問題時，可以選擇用計算工具，而沒有必要把用大量的時間用于

復雜的運算。而對于這種運算，稍不留意就會在某一個環節出錯，也會導致學生失去學習數學的信心。

應當淡化對運算的熟練程度的要求，選擇正確的計算方法，準確地得到運算結果，比運算的熟練程度

更重要。應當重視學生是否理解了運算的道理，是否能準確地得出運算的結果，而不是單純地看運算的速

度。

《四則運算》重難點突破

一、加、減法的意義及各部分間的關系

突破建議：

1．用好主題圖展開教學活動。

教學時，可用課件呈現我國地圖鐵路建設的發展。隨語言描述先定格在西寧至格爾木，再呈現格爾木

至拉薩的鐵路修通。讓學生直觀感受西寧至拉薩包括西寧到格爾木和格爾木到拉薩兩段路程。同時了解我

國鐵路建設的發展，感受時代的發展。以現實情境引入教學，可以促使學生積極主動地參與到教學活動中

來。

2．引導學生對加法的意義進行概括。

解決“西寧到拉薩的鐵路長多少千米”這個問題后，以“為什么用加法計算”來引導學生思考“加法

是什么樣的運算”，讓學生經歷從實際應用到抽象概括意義的過程。這個過程也是培養學生抽象概括能力

的過程。

3．通過對比，突破教學難點。

盡管學生對減法的人是積累了豐富的感性認識，但從本質上認識減法還有很大的距離。因此，教學中

可組織好“對比”活動，讓學生通過對比，發現第2、3題和第1題的聯系，即第1題是已知兩個加數求

它們的和，第2、3題是反過來，已知兩個加數的和和其中一個加數，求另一個加數。從而幫助學生突破

概括減法意義的難點。同時通過對比有效幫助學生理解減法是加法的反向運算，建立逆運算概念，掌握加、

減法的關系。

4．以“問題”引導學生整理出關系式

對加、減法各部分間的關系的總結，以“加（減）法中最基本的數量關系式是什么？”“怎樣求加法？”

“怎樣求被減數和減數？”等問題，引導學生思考、交流，整理出加、減法各部分間的關系式。由此，提

升學生對加、減法算式中各部分間的關系的認識，是學生受到初步的辯證的思想熏陶。

二、乘、除法的意義及各部分間的關系

突破建議：

1．讓學生經歷“過程”，提升認識

放手讓學生獨立解決問題，激活已有的知識和經驗，在這個基礎上，讓學生比較加法算式與乘法算式，

思考：乘法是什么樣的運算？有解決問題到比較與思考，讓學生經歷“由3+3+3+3=12與3X4=12，用乘法

算比較簡便→求幾個相同加數的和用乘法算簡便→概括出乘法的確切意義”的過程，使學生對乘法的認識

從感性上升到理性。

2．突出除法和乘法的聯系，概括除法的意義

除法是與乘法相反的運算。借助學生對除法意義的感性認識，以解決第（1）、（2）、（3）題為基

礎，組織比較活動。通過比較，弄清楚乘法算式與除法算式中已知數與未知數的變化，進而從除法算式和

乘法算式的聯系出發，思考、概括除法的意義。這樣，不僅利于用比較準確的數學語言概括除法的意義，

還有助于學生理解除法和乘法的關系，認識除法是乘法的逆運算。

3．借助具體實例化解難點

學生對乘、除法各部分間的關系和有關0的運算，在前幾年的學習中積累了比較豐富的認識和經驗。

這里，重點是總結整理出關系式和把有關0的運算知識系統化。其中，概括有余數除法各部分間的關系，

以及“0為什么不能作除數”是教學的難點。

教學中，可以借助具體實例，幫助學生想清楚、弄明白，化解難點。例如，呈現有余數除法算式30÷4=7……

2，185÷12=15……5，據此讓學生思考“怎樣求被除數”等問題，進而概括出關系式。再如，借一個非

零的數除以0（如：5÷0=口）與0÷0的例子，讓學生對例子的討論獲得“0不能作除數”的結論。這個

過程，也讓學生明白了0為什么不能作除數的道理。

三、含括號的混合運算的順序

突破建議：

1．步步深入，發揮學生的主體作用

教學例4時，首先借助基本式題96÷12＋4X2與例4（1）依次展開數學活動，讓學生通過“說”和

“計算”激活已有的混合運算的知識和經驗，并把這些知識和經驗自然運用到三步式題。然后結合例4（2）

引入中括號，要讓學生憑借對小括號的認識，去判定其運算順序，并完成計算，讓學生在親歷中切實感受

和認識中括號的作用，體驗含有兩重括號的混合運算的運算順序。最后，請學生總結帶有中、小括號的四

則混合運算順序……從激活已有的知識和經驗→認識中括號、完成計算→總結運算順序，教學任務步步深

入，利用好學生已有的知識和經驗，充分發揮學生的主體作用。

2．豐富和提升學生的認識

借助復習，引出“加、減、乘、除四種運算統稱四則運算”。在此基礎上，還可以說明：加法和減法

叫做第一級運算，乘法和除法叫做第二級運算。有第一級運算、第二級運算的概念，就為學生更科學地總

結概括四則混和運算的運算順序創造了條件，也為以后學習第三級運算（乘方、開方）做了準備。

四、解決問題

突破建議：

1．創設情境，激發興趣、激活經驗

用課件或掛圖創設師生在公園準備租船游湖的情境，請學生用語言描述并提煉相關的信息，讓學生切

實感受問題的現實性，激發學生對問題的興趣，激活學生的生活經驗與相應的知識，促使學生積極探索租

船的方案。

2．讓學生經歷解決問題的一般過程

首先，讓學生自己弄懂題意，厘清已知信息數據和要解決的問題。“分析與解答”環節，先引導學生

憑借生活經驗與數學知識發現“租大船便宜”，然后再以“空出兩個座位”激發學生尋找最省錢的方案。

“回顧與反思”環節，則應加強引導學生總結解決這類問題的一般策略。讓學生通過思考探索、討論交流

等活動明確解決問題的基本步驟，積累解決問題的經驗。