直角三角形面積

例析平面直角坐標系中面積的求法

我們常常會遇到在平面直角坐標系中求三角形面積的問題.解題時

我們要注意其中的解題方法和解題技巧.現舉例說明如下.

一、有一邊在坐標軸上

例1如圖1，平面直角坐標系中，

△ABC的頂點坐標分別為（－3，0），

（0，3），（0，－1），

你能求出三角形ABC的面積嗎？

分析：根據三個頂點的坐標特征可以看出，△ABC的邊BC在y軸上，

由圖形可得BC＝4，點A到BC邊的距離就是A點到y軸的距離，也就是

A點橫坐標的絕對值3，然后根據三角形的面積公式求解.

解：因為B(0,3),C(0,-1),所以BC=3-（-1）=4.因為A(-3,0),

所以A點到y軸的距離，即BC邊上的高為3，

二、有一邊與坐標軸平行

例2如圖2，三角形ABC三個頂點的坐標

分別為A（4，1），B（4，5），C（-1，2），

求三角形ABC的面積.

分析：由A（4，1），B（4，5）兩點的橫坐標相同，可知邊AB與y

軸平行，因而AB的長度易求.作AB邊上的高CD，則D點的橫坐標與A點

的橫坐標相同，也是4，這樣就可求得線段CD的長，進而可求得三角形

ABC的面積.

解：因為A，B兩點的橫坐標相同，所以邊AB∥y軸，所以AB=5-1=4.

作AB邊上的高CD，則D點的橫坐標為4，所以CD=4-（-1）=5，

所以=.

三、三邊均不與坐標軸平行

例3如圖2,平面直角坐標系中，已知點

A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3），

你能求出三角形ABC的面積嗎？

分析：由于三邊均不平行于坐標軸，所以我們無法直接求邊長，也

無法求高，因此得另想辦法.根據平面直角坐標系的特點，可以將三角形

圍在一個梯形或長方形中，這個梯形（長方形）的上下底（長）與其中

一坐標軸平行，高（寬）與另一坐標軸平行.這樣，梯形（長方形）的面

積容易求出，再減去圍在梯形（長方形）內邊緣部分的直角三角形的面

積，即可求得原三角形的面積.

解：如圖，過點A、C分別作平行于y軸的直線，與過點B平行于x

軸的直線交于點D、E，則四邊形ADEC為梯形.因為A（-3，-1），B（1，

3），C（2，-3），所以AD＝4，CE=6，DB=4，BE=1，DE＝5.所以=（AD+CE）

×DE-AD×DB-CE×BE=×（4+6）×5－×4×4－×6×1＝14.

平面直角坐標系中的面積問題（提高篇）

“割補法”的應用

一、已知點的坐標，求圖形的面積。

1、在平面直角坐標系中，△ABC的頂點坐標分別為A（-2，-2），B

（0，-1），C（1，1），求△ABC的面積。

2、在平面直角坐標系中，四邊形ABCD的各個頂點的坐標分別為A

（-4，-2）B（4，-2）C（2，2）D（-2，3）。求這個四邊形的面積。

3、在平面直角坐標系中，四邊形ABCD的四個點A、B、C、D的坐標

分別為（0，2）、（1，0）、（6，2）、（2，4），求四邊形ABCD的面積。

4、在平面直角坐標系中，△ABC的頂點坐標分別為A（1，-1），B（-1，

4），C（-3，1），（1）求△ABC的面積；

（2）將△ABC先向下平移2個單位長度，再向右平移3個單位長度，

求線段AB掃過的面積。

二、已知面積（可以求面積），求點的坐標

5、在平面直角坐標系中，A（-5，0），B（3，0），點C在y軸上，且△

ABC的面積為12，求點C的坐標。

6、如圖，在平面直角坐標系中，A（－4，0），B（6，0），C（2，4），

D（－3，2）。

（1）求四邊形ABCD的面積；

（2）若點P是y軸上一點，且三角形ABP的面積等于四邊形ABCD面積

的一半，求P點坐標。

7、已知，點A（-2，0）B（4，0）C（2，4）

（1）求△ABC的面積；

（2）設P為x軸上一點，若

1

2APCPBC

SS?

VV

，試求點P的坐標。

8、在平面直角坐標系中，P（1，4），點A在坐標軸上，4

PAO

S?

V

，求

點P的坐標

三、點的存在性問題（運動性）

9、在直角坐標系中，A（-4，0），B（2，0），點C在y軸正半軸上，18

ABC

S?

V

，

（1）求點C的坐標；

（2）是否存在位于坐標軸上的點P，使得

1

2APCABC

SS?

VV

。若存在，請

求出P的坐標，若不存在，說明理由。

10、在平面直角坐標系中，點A、B的坐標分別為（-1，0），（3，0），現

同時將點A、B分別向上平移2個單位，再向右平移1個單位，分別

得到點A、B的對應點C、D，連接AC、BD。

（1）求點C、D的坐標及四邊形ABDC的面積；

（2）在y軸上是否存在一點P，連接PA、PB，使

1

2APBABDC

SS?

V四

，

若存在這樣的點，求出點P的坐標，若不存在，試說明理由。

11、如圖，已知長方形ABCO中，邊AB=8，BC=4。以O為原點，OAOC所

在的直線為y軸和x軸建立直角坐標系。

（1）點A的坐標為（0，4），寫出B、C兩點的坐標；

（2）若點P從C點出發，以2單位/秒的速度向CO方向移動（不超過點

O）,點Q從原點O出發，以1單位/秒的速度向OA方向移動（不超過點A），

設P、Q兩點同時出發，在他們移動過程中，四邊形OPBQ的面積是否發

生變化？若不變，求其值；若變化，求變化的范圍。

12、如圖，在平面直角坐標系中，已知三點A（0，a），B（b，0），C

（b，c），其中a，b，c滿足關系式0|1|)3(|2|2???????bcba

（1）求a，b，c的值；

（2）如果在第二象限內有一點P（m，

2

1

），請用含m的式子表示四邊形

ABOP的面積，

（3）若四邊形ABOP的面積與△ABC的面積相等，請求出點P的坐標；

13、在平面直角坐標系中，已知O是原點，四邊形ABCD是長方形，A、B、

C的坐標分別是A（-3，1）、B（-3，3）、C（2，3）。

（1）求點D的坐標；

（2）將長方形ABCD以每秒1個單位長度的速度水平向右平移，2秒鐘后

所得的四邊形A1B1C1D1四個頂點的坐標各是多少？

（3）平移（2）中的長方形A1B1C1D1，幾秒鐘后△OB1D1的面積等于長方形

ABCD的面積？