黎曼假設(shè)

一、什么是黎曼猜想

黎曼猜想——最重要的數(shù)學(xué)猜想

早在1737年，大數(shù)學(xué)家歐拉就發(fā)現(xiàn)了質(zhì)數(shù)分布問題與Zeta函數(shù)的聯(lián)系，給出并證明了

歐拉乘積公式，使得Zeta函數(shù)成為研究質(zhì)數(shù)問題的經(jīng)典方法。

歐拉乘積公式，其中p為質(zhì)數(shù)，n為自然數(shù)

黎曼猜想（RiemannHypothesis）由大數(shù)學(xué)家黎曼在1859年首次提出，討論黎曼Zeta函

數(shù)的非平凡解問題。

黎曼猜想是眾多尚未解決的最重要的數(shù)學(xué)問題之一，被克雷數(shù)學(xué)研究所列為待解身體的英語怎么寫 決的七

大千禧問題，懸賞百萬美金證明或者證偽。一百年前希爾伯特就曾被問過一個問題“假定你

能死而復(fù)生，你會做什么？”，他的回答是，“我會問黎曼猜想是否已經(jīng)解決”。可見黎曼猜

想多么吸引人

黎曼猜想是關(guān)于黎曼Zeta函數(shù)的零點(diǎn)分布的猜想。黎曼Zeta函數(shù)長這個樣子：

黎曼Zeta函數(shù)有兩種零點(diǎn)，一種是位于實(shí)數(shù)軸線上的零點(diǎn)，被稱為平凡零點(diǎn)，另一種

是位于其他復(fù)平面區(qū)域上的零點(diǎn)，被稱為非平凡零點(diǎn)，目前數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明這些非平凡零點(diǎn)

全部位于實(shí)部區(qū)間為0到1的復(fù)平面內(nèi)，而黎曼則大膽猜想，這些非平凡零點(diǎn)全部位于實(shí)部

為1/2的一條直線上。

“所有非平凡零點(diǎn)都位于實(shí)部為1/2的直線上”是一個尚未得到嚴(yán)格證明的猜想，但

數(shù)學(xué)家們至今找到的上萬億個非平凡零點(diǎn)的確都位于這條直線上，無一例外。

黎曼猜想還跟冪律分布有關(guān)。

我們都知道冪律分布是指

其中x如果只能取1,2,3,...,n的整數(shù)，c為歸一化常數(shù)，滿足：

而這里面的

就是Zeta函數(shù)，黎曼猜想就是關(guān)于這個函數(shù)的，但是a可以取復(fù)

數(shù)值。

黎曼猜想真的會被證明嗎？

質(zhì)數(shù)分布沒有簡單規(guī)律，但質(zhì)數(shù)出現(xiàn)的頻率跟黎曼Zeta函數(shù)緊密相關(guān)。有數(shù)學(xué)家甚至

認(rèn)為黎曼猜想與強(qiáng)條件下的質(zhì)數(shù)定理是等價(jià)的。目前已經(jīng)驗(yàn)證了前1,500,000,000個質(zhì)數(shù)對

這個定理都成立，但至今沒有完全證明。黎曼猜想得證，對質(zhì)數(shù)研究、數(shù)論研究意義重大。

黎曼猜想對許多數(shù)學(xué)領(lǐng)域都意義重大，質(zhì)數(shù)分布只是其中一個。有上千個數(shù)學(xué)命題都建

立在黎曼猜想為真的基礎(chǔ)上。多數(shù)數(shù)學(xué)家認(rèn)為這個猜想是正確的，如果黎曼猜想被證偽，數(shù)

學(xué)體系將失去重要根基。

二、黎曼猜想被證明了嗎？

如果這是真的，Atiyah爵士將不僅獲得由克雷數(shù)學(xué)研究所懸賞的一百萬美金獎勵，更

是他個人的至高榮譽(yù)和整個數(shù)學(xué)界的狂歡。

然而，根據(jù)我們目前的了解，Atiyah爵士極有可能是在自娛自樂逗大家玩……

黎曼函數(shù)和黎曼猜想簡介

大家這幾天應(yīng)該被動惡補(bǔ)了不少黎曼函數(shù)和黎曼猜想的介紹了，這里還是不厭其煩地再簡單

說下。

首先有無窮級數(shù)(s)：

當(dāng)s取1時，它就是調(diào)和級數(shù)1+1/2+1/3+1/4+...，算數(shù)意義上不收斂。s=2時，級數(shù)收斂于

2/6。等等。當(dāng)s的取值為復(fù)數(shù)s=x+iy時，它會把復(fù)平面上的點(diǎn)s(x,iy)映射到另一點(diǎn)s'(x',iy')。

我們注意到這個級數(shù)要求s的實(shí)部大于1（x>1），否則這個級數(shù)不收斂，也就沒有我們熟悉

的數(shù)值和結(jié)果。

(s)在復(fù)平面上的圖像，Re(s)>1，此時圖像全部分布在Re()=1/2線的右側(cè)。圖源

3blue1brown

黎曼函數(shù)是(s)在整個復(fù)平面的解析延拓，將s的定義域擴(kuò)展到整個復(fù)平面。（值得說明的

是，解析延拓是一種非常強(qiáng)的約束。如果一個函數(shù)存在解析延拓，那么解析延拓的結(jié)果是唯

一的。

在這里(s)的解析延拓剛好展現(xiàn)出了仿佛對稱的樣式，而不是先做了一個對稱然后把它稱

為解析延拓）

黎曼函數(shù)在整個復(fù)平面上的圖像。圖源3blue1brown

黎曼在提出黎曼函數(shù)時輕松地發(fā)現(xiàn)，當(dāng)s取負(fù)偶數(shù)整數(shù)時，函數(shù)值為零，那么s=-2n（n

為自然數(shù)）就被稱為黎曼函數(shù)的平凡零點(diǎn)（平凡表示沒什么難度的、很容易理解的）。

同時，在解析延拓后的方程中帶入s=-1，得到1+2+3+4+...=-1/12；帶入s=-3，得到

1+23+33+43+...=1/120。這樣的結(jié)果并不是我們熟悉的1+1=2那樣的算數(shù)和，它只是揭示身邊的真善美 了

等號左邊和右邊的式子有某種我們還不完全理解聯(lián)系。

另一些零點(diǎn)就沒那么普通了（非平凡零點(diǎn)），它們是復(fù)數(shù)，而且有耐人尋味的分布規(guī)律。黎

曼在1859年《論小于給定數(shù)值的素?cái)?shù)個數(shù)》論文中提出了三個命題：

命題一，認(rèn)為非平凡零點(diǎn)都位于Re()=0到Re()=1的條狀區(qū)間內(nèi)

命題二，認(rèn)為幾乎所有非平凡零點(diǎn)都位于Re()=1/2的中士的工資是多少一月 直線上，這條線也被稱為臨十三英語 界線

命題三，黎曼謹(jǐn)慎地猜測有可能所有非平凡零點(diǎn)都位于Re()=1/2的直線上

Re()=1/2經(jīng)黎曼函數(shù)變換后的曲線的一部分。它彎彎曲曲無數(shù)次穿過了函數(shù)值為0的點(diǎn)—

—通過圖像我們也可以直觀猜測黎曼函數(shù)有無窮多個非平凡零點(diǎn)在Re()=1/2的直線上。圖

源3blue1brown

大家應(yīng)該還聽說過黎曼函數(shù)揭示了素?cái)?shù)的精細(xì)分布規(guī)律，限于本文作者學(xué)識有限這里

暫不介紹，有興趣的同學(xué)歡迎自行百度盧昌海的《黎曼猜想漫談》。

黎曼猜想證明的進(jìn)度

黎曼的這篇論文發(fā)表于1859年。當(dāng)時的數(shù)學(xué)家不怎么喜歡發(fā)論文，他們發(fā)表的成果只

是自己所有研究中的經(jīng)過深思熟慮、有充足的論據(jù)支撐的一小部分。黎曼在當(dāng)時也是領(lǐng)先于

時代的數(shù)學(xué)家，以致于他的論文發(fā)表后，當(dāng)時的許多數(shù)學(xué)家連他提出的命題一和二都認(rèn)為只

是黎曼的單方面幻想（黎曼在文中則是由非常肯定的語氣提出的）。

由于黎曼猜想的難度之高，數(shù)學(xué)界做出進(jìn)展的速度極為遲緩，甚至有觀點(diǎn)認(rèn)為“如果黎

曼是錯的，我們的日子反倒會好過一些”。

論文發(fā)表46年后，數(shù)學(xué)界終于證明了命題一；73年后，另一位德國數(shù)學(xué)家Siegel整理

黎曼僅存的手稿，讓黎曼當(dāng)時演算零點(diǎn)所用的公式重見天日（并命名為Riemann-Siegel公式），

同時震驚了整個數(shù)學(xué)界，因?yàn)檫@一公式比73年后數(shù)學(xué)家們所用的公式還要先進(jìn)；數(shù)學(xué)界也

更加為黎曼的思想以及猜想的前瞻性所折服。

借著這一公式，后來的數(shù)學(xué)家與計(jì)算機(jī)科學(xué)家們用計(jì)算的方法加以驗(yàn)證，已經(jīng)驗(yàn)證了超

過前200億個非平桃花源記教案 凡零點(diǎn)都在臨界線上——但數(shù)學(xué)畢竟不是經(jīng)驗(yàn)科學(xué)，這并不能證明第三個

命題正確。

第二個命題（幾乎都位于臨界線上）的證明則推進(jìn)到“至少有40%的非平凡零點(diǎn)在臨界

線上”，就再也沒有新的進(jìn)展了。黎曼猜想，尤其是命題三，仍未得到證明。

一窺前15個非平凡零點(diǎn)

回過頭來想想黎曼給出三個命題時的態(tài)度，對命題一、二，是十分肯定的預(yù)期；而命題

三，他也只敢謹(jǐn)慎地猜測。

160年過去了，數(shù)學(xué)家們幾乎都相信黎曼猜想是正確的，但還沒有人拿出嚴(yán)格的證明。

對于黎曼猜想，數(shù)學(xué)界有兩句調(diào)侃：“如果魔鬼與一位數(shù)學(xué)家做交易，允許他用靈魂交換一

個命題的證明，那他大概率會選擇黎曼猜想的證明”，以及“如果500年后黎曼活過來了，

他要問的第一件事就是黎曼猜想證明了嗎？”足見黎曼猜想的崇高地位。

實(shí)際上，數(shù)學(xué)界已經(jīng)有許多新的理論和公式是建立在假設(shè)黎曼猜想正確的基礎(chǔ)上的，黎

曼猜想一旦證明也是對他們的莫大的鼓舞。

當(dāng)今的數(shù)學(xué)家們直覺上就不相信Atiyah爵士

經(jīng)過剛才的背景介紹，大家想必對黎曼猜想證明的難度已經(jīng)有所感受。簡單明了的證

明方法如果存在，之前一百多年中的數(shù)學(xué)家，包括極具遠(yuǎn)見的黎曼本人都有極大的可能直接

發(fā)現(xiàn)它。

以近幾十年來證明的重要數(shù)學(xué)猜想而言，Perelman證明Poincare猜想，三篇論文用了

將近70頁，而張益唐在給出孿生質(zhì)數(shù)猜想的估計(jì)時也寫了將近60頁。

而Atiyah爵士展現(xiàn)出來的是：一篇長度為5頁的論文預(yù)印本，其中引用的介紹Todd函數(shù)的

論文也只有17頁。以及，介紹自己證明過程的演講中，關(guān)于證明過程本身的PPT只有一頁。

Atiyah爵士演講中用到的一頁P(yáng)PT

只憑證明長度，Atiyah爵士就收獲了大多數(shù)數(shù)學(xué)家的質(zhì)疑。

另一點(diǎn)也引起了直覺上的質(zhì)疑的是，出生于1929年的Atiyah爵士如今已經(jīng)89歲高齡。

縱觀整個數(shù)學(xué)史，尚無一位數(shù)學(xué)家在如此高齡做出這種級別的成果。

Atiyah爵士雖然證明了Atiyah-S我的教育故事 inger指標(biāo)定理（被譽(yù)為上個世紀(jì)微分幾何中最重要的定

理）并獲得了菲爾茲獎與阿貝爾獎，但一方面他是研究幾何/解析幾何的，黎曼猜想則屬于

復(fù)分析與數(shù)論，處于不同的數(shù)學(xué)領(lǐng)域。

另一方面，據(jù)數(shù)學(xué)博士、前浙大物理學(xué)博士后回憶，“老頭在幾年前嚷嚷著自己證明了

6維球面上沒有復(fù)結(jié)構(gòu)最后卻不了了之”，他認(rèn)為這次宣告的大新聞可能仍然是鬧笑話。

宣告大新聞在如今的數(shù)學(xué)界也不是稀罕事，前幾日尼日利亞一位數(shù)學(xué)教授也宣布證明

了黎曼猜想，浙江大學(xué)一位YinYueSha發(fā)布了一份一頁長度的黎曼猜想證明，而日本數(shù)學(xué)教

授望月新一宣告證明ABC猜想直到現(xiàn)在也尚未令人信服。

這不是一份嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明

除了直覺上對“Atiyah爵士證明了黎曼猜想”的質(zhì)疑，針對證明過程本身合理性的質(zhì)

疑也已經(jīng)出現(xiàn)——這才是真正致命的。

閱讀5頁的預(yù)印本以及17頁的介紹Todd函數(shù)的引用論文后，他表示：

事實(shí)上，老頭證明的關(guān)鍵就是在于使用了一個他稱之為弱解析函數(shù)的Todd函數(shù)。

我們follow了他參考文獻(xiàn)中的第二篇論文：THEFINESTRUCTURECONSTANT，粗粗讀完

論文之后，我感覺：

這哪兒是論文啊，這就是一部數(shù)學(xué)史啊！

在整個17頁的論文中，涉及到Todd映射的核心內(nèi)容在3.4。從Todd映射的構(gòu)造來看，

這是一個從復(fù)數(shù)到復(fù)數(shù)的映射，并且是個高度的非線性映射。

他給出了一個希爾伯特空間上的Clifford代數(shù)的無限張量積的弱閉包，這個弱閉包取自

兩個希爾伯特空間的張量積。這個希爾伯特空間上的Clifford代數(shù)的跡誘導(dǎo)出了閉包上的跡，

這個閉包的中心通過兩個同構(gòu)映射的復(fù)合能和復(fù)數(shù)域同構(gòu)，這樣就完成了Todd映射的構(gòu)造。

后面又介紹了Todd多項(xiàng)式的構(gòu)造。但是怎么利用Todd映射和Todd多項(xiàng)式呢？

反正我是沒找到。看到前面這一堆術(shù)語，估計(jì)已經(jīng)有人想打我了，我就打個比方吧。

說：理論上青銅能做工藝品，你給我做個后母戊方鼎。工具？略怎么做？略

。。。

老頭大概就是玩了這么個把戲。

他把為什么Todd映射能夠用于黎曼猜想的證明給。。。略了，我只能表示哭笑不得。

數(shù)學(xué)是一門及其注重嚴(yán)謹(jǐn)性的學(xué)科石桅巖景區(qū) ，推理過程的每一步都要給出嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明，尤其不能

越重要的地方越略過。在@賊叉看來，這個證明九成九是不行的……

另一位科學(xué)松鼠會的@科普君XueShu（新浪微博）也給出了自己的意見。根據(jù)他的解

讀，Atiyah爵士假定他提出的這個弱解析函數(shù)Todd函數(shù)的某種極限等同于物理學(xué)中精細(xì)結(jié)

構(gòu)常數(shù)的倒數(shù)，相當(dāng)于嘗試用這一描述光速、單個電子攜帶電荷數(shù)量、普朗克常數(shù)之間

關(guān)系的物理學(xué)常數(shù)的取值解釋復(fù)解析函數(shù)的非平凡零點(diǎn)的存在規(guī)律。

雖然精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)確實(shí)有奇妙的性質(zhì)，比如它的取值不依賴基本單位大小的選取，

而且目前也沒有找到對它的取值1/137.03599913的好的理論解釋，另一方面之前也在其他

問題中存在物理學(xué)方法和純數(shù)學(xué)方法存在聯(lián)系的例子，但這種跨領(lǐng)域的強(qiáng)加聯(lián)系，未免帶來

一種“用量子糾纏得出小孩感冒了可以針灸扎他媽媽”的民科感。

還補(bǔ)充道：

“（精細(xì)物理常數(shù)）上個世紀(jì)剛發(fā)現(xiàn)的時候，很多物理學(xué)家都想從數(shù)學(xué)角度給出一個解

釋和推導(dǎo)，但后來種種證據(jù)表明這個想法完全不靠譜，早已經(jīng)被扔進(jìn)了歷史的垃圾堆，雖然

目前依然是民科們放飛自我的重災(zāi)區(qū)。

沒想到這次又被Atiyah給翻出來了，還作為一個著名數(shù)學(xué)猜想證明的重要基礎(chǔ)。

其實(shí)這也倒不奇怪，因?yàn)锳tiyah本表白圖片 人是晚年才開始正式學(xué)習(xí)物理的，他的物理直覺是臭名

昭著得差。他經(jīng)常突發(fā)奇想自以為發(fā)現(xiàn)了解決某個物理學(xué)問題的關(guān)鍵，從物理學(xué)家的角度看，

跟網(wǎng)上常見的民科言論基本沒什么差別。但凡有點(diǎn)物理學(xué)素養(yǎng)的人都能看出其中的荒謬。不

過作為他的學(xué)生的著名理論物理學(xué)家兼數(shù)學(xué)家愛德華威騰倒是每次都細(xì)心地列出一堆理由

告訴他為什么這些想法行不通。每條理由都直擊要害，奈何Atiyah至今仍執(zhí)迷不悟。”

“數(shù)學(xué)大帝”丘成桐今天也在“數(shù)理人文”公眾號發(fā)表原創(chuàng)文章表示：“我問過一批專

家，大家都說這篇文章沒有提供一般數(shù)學(xué)家要求的嚴(yán)格性的定理證明……阿蒂亞教授的論點(diǎn)

極為牽強(qiáng)，看不到它的物理或數(shù)學(xué)上的意義。……有時候不完備的證明也會帶有啟發(fā)能力，

但是我還沒有看到這篇文章的啟發(fā)能力。”

幾乎確定的鬧劇英語單詞歌

說到這里，我們幾乎已經(jīng)可以確定Atiyah爵士并沒能證明黎曼猜想，還惦記著那一百

萬美金獎勵的同學(xué)可以先喘口氣了。但除了吃瓜和感到滑稽之外，相信很多同學(xué)都借機(jī)重新

溫習(xí)了復(fù)分析和級數(shù)的知識（比如雷鋒網(wǎng)AI科技評論的編輯們自己），也對數(shù)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)許多

有趣的方法和猜想有了新的認(rèn)識；最棒的情況當(dāng)然是重新發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣了。

Atiyah爵士的名譽(yù)倒是不需要我們擔(dān)憂，他憑現(xiàn)有的成果和獎項(xiàng)就可以繼續(xù)名垂青史。

而我們繼續(xù)一邊重新學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，一邊期待真正嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹⒔?jīng)得起檢驗(yàn)的黎曼猜想證明出現(xiàn)。