世界三大悖論

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《“四次”數學危機與世界十大經典數學悖論》

“四次”數學危機

第一次危機發生在公元前580～568年之間的古希臘，數學家畢達哥拉斯建班級目標 立了畢達

哥拉斯學派。這個學派集宗教、科學和哲學于一體，該學派人數固定，知識保密，所有發

明創造都歸于學派領袖。當時人們對有理數的認識還很有限，對于無理數的概念更是一無

所知，畢達哥拉斯學派所說的數，原來是指整數，他們不把分數看成一種數，而僅看作兩

個整數之比，他們錯誤地認為，宇宙間的一切現象都歸結為整數或整數之比。該學派的成

員希伯索斯根據勾股定理（西方稱為畢達哥拉斯定理）通過邏輯推理發現，邊長為1的正

方形的對角線長度既不是整數，也不是整數的比所能表示。希伯索斯的發現被認為是“荒

謬”和違反常識的事。它不僅嚴重地違背了畢達哥拉斯學派的信條，也沖擊了當時希臘人

的傳統見解。使當時希臘數學家們深感不安，相傳希伯索斯因這一發現被投入海中淹死，

這就是第一次數學危機。

最后，這場危機通過在幾何學中引進不可通約量概念而得到解決。兩個幾何線段，如果存

在一個第三線段能同時量盡它們，就稱這兩個線段是可通約的，否則稱為不可通約的。正

方形的一邊與對角線，就不存在能同時量盡它們的第三線段，因此它們是不可通約的。很

顯然，只要承認不可通約量的存在使幾何量不再受整數的限制，所謂的數學危機也就不復

存在了。

我認為第一次危機的產生最大的意義導致了無理數地產生，比如說我們現在說的，

都無法用來表示，那么我們必須引入新的數來刻畫這個問題，這樣無理數便產生了，正

是有這種思想，當我們將負數開方時，人們引入了虛數i（虛數的產生導致復變函數等學

科的產生，并在現代工程技術上得到廣泛應用），這使我不得不佩服人類的智慧。但我個

人認為第一次危機的真正解決在1872年德國數學家對無理數的嚴格定義，因為數學是很

強調其嚴格的邏輯與推證性的。

第二次數學危機發生在十七世紀。十七世紀微積分誕生后，由于推敲微積分的理論基

礎問題，數學界出現混亂局面，即第二次數學危機。其實我翻了一下有關數學史的資料，

微積分的雛形早在古希臘時期就形成了，阿基米德的逼近法實際上已經掌握了無限小分析

的基本要素，直到2100年后，牛頓和萊布尼茲開辟了新的天地——微積分。微積分的主

要創始人牛頓在一些典型的推導過程中，第一步用了無窮小量作分母進行除法，當然無窮

小量不能為零；第二步牛頓又把無窮小量看作零，去掉那些包含它的項，從而得到所要的

公式，在力學和幾何學的應用證明了這些公式是正確的，但它的數學推導過程卻在邏輯上

自相矛盾．焦點是：無窮小量是零還是非零？如果是零，怎么能用它做除數？如果不是零，

又怎么能把包含著無窮小量的那些項去掉呢？

直到19世紀，柯西詳細而有系統地發展了極限理論。柯西認為把無窮小量作為確定的量，

即使是零，都說不過去，它會與極限的定義發生矛盾。無窮小量應該是要怎樣小就怎樣小

的量，因此本質上它是變量，而且是以零為極限的量，至此柯西澄清了前人的無窮小的概

念，另外Weistrass創立了極限理論，加上實數理論，集合論的建立，從而把無窮小量

從形而上學的束縛中解放出來，第二次數學危機基本解決。

而我自己的理解是一個無窮小量，是不是零要看它是運動的還是靜止的，如果是靜止的，

我們當然認為它可以看為零；如果是運動的，比如說1/n，我們說，但n個1/n相乘就

為1，這就不是無窮小量了，當我們遇到等情況時，我們可以用洛比達法則反復求導來

考查極限，也可以用Taylor展式展開后，一階一階的比，我們總會在有限階比出大小。

第三次數學危機發生在1902年，羅素悖論的產生震撼了整個數學界，號稱天衣無縫，

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絕對正確的數學出現了自相矛盾。

我從很早以前就讀過“理發師悖論”，就是一位理發師給不給自己理發的人理發。那

么理發師該不該給自己理發呢？還有大家熟悉的“說謊者悖論”，其大體內容是：一個克

里特人說：“所有克里特人說的每一句話都是謊話。”試問這句話是真還是假?從數學上

來說，這就是羅素悖論的一個具體例子。

羅素在該悖論中所定義的集合R，被幾乎所有集合論研究者都認為是在樸素集合論中

可以合法存在的集合。事實雖是這樣但原因卻又是什么呢？這是由于R是集合，若R含有

自身作為元素，就有RR，那么從集合的角度就有RR。一個集合真包含它自己，這樣的

集合顯然是不存在的。因為既要R有異于R的元素，又要R與R是相同的，這顯然是不可

能的。因此，任何集合都必須遵循RR的基本原則，否則就是不合法的集合。這樣看來，

羅素悖論中所定義的一切RR的集合，就應該是一切合法集合的集合，也就是所有集蓮花酥 合的

集合，這就是同類事物包含所有的同類事物，必會引出最大的這類事物。歸根結底，R也

就是包含一切集合的“最大的集合”了。因此可以明確了，實質上，羅素悖論就是一個以

否定形式陳述的最大集合悖論。

從此，數學家們就開始為這場危機尋找解決的辦法，其中之一是把集合論建立在一組

公理之上，以回避悖論。首先進行這個工作的是德國數學家策梅羅，他提出七條公理，建

立了一種不會產生悖論的集合論，又經過德國的另一位數學家弗芝克爾的改進，形成了一

個無矛盾的集合論公理系統（即所謂ZF公理系統），這場數學危機到此緩和下來。

現在，我們通過離散數學的學習，知道集合論主要分為Cantor集合論和Axiomatic

集合論，集合是先定義了全集I，空集，在經過一系列一元和二元運算而得來得。而在

七條公理上建立起來的集合論系統避開了羅素悖論，使現代數學得以發展。

中國數學愛好者李明波，根據他所發現的純數學及應用數學中種種意想不到的錯誤現

象，精辟地在警示人們:數學中的錯誤，正在關系到公眾的安危。李明波在1997年7月

的遼寧省數學年會上首次指出，人類歷史上的“第四次數學危機”已經在中國開始了。但

是，由于當時他的論文印數不多，而沒能產生太大的影響。時隔8年之后的2005年9

月，李明波在他原文章的基礎上，增添了“重重反例的愛希阿引理”，并整理出了專題文

章《第四次數學危機》。這篇堪稱宣布第四次數學危機已經在中國開始的經典論文，已被

本人以《李明波與第四次數學危機》為題投放到東陸論壇。

世界著名數學疑難問題之

哥尼斯堡七橋問題

18世紀在哥尼斯堡城(今俄羅斯加里寧格勒)的普萊格爾河上有7座橋，

將河中的兩個島和河岸連結，如圖1所示。城中的居民經常沿河過橋散步，于是提出從頭開始的網名 了一

個問題：能否一次走遍7座橋，而每座橋只許通過一次，最后仍回到起始地點。這就是七

橋問題，一個著名的圖論問題。

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圖1圖2

這個問題看起來似乎不難，但人們始終沒有能找到答案，最后問題提到

了大數學家歐拉那里。歐拉以深邃的洞察力很快證明了這樣的走法不存在。歐拉是這樣解

決問題的：既然陸地是橋梁的連接地點，不妨把圖中被河隔開的陸地看成A、B左庶長是什么官 、C、D4

個點，7座橋表示成7條連接這4個點的線，如圖2所示。

于是“七橋問題”就等價于圖3中所畫圖形的一筆畫問題了。歐拉注意到，每

個點如果有進去的邊就必須有出來的邊，從而每個點連接的邊數必須有偶數個才能完成一

筆畫。圖3的每個點都連接著奇數條邊，因此不可能一筆畫出，這就說明不存在一次走遍

7座橋，而每座橋只許通過一次的走法。歐拉對“七橋問題”的研究是圖論研究的開始，

同時也為拓撲學的研究提供了一個初等的例子。

哥德巴赫猜想

1742年德國人哥德巴赫給當時住在俄國彼得堡的大數學家歐拉寫了一封信，在信中提

出兩個問題：第一，是否每個大于4的偶數都能表示為兩個奇質數之和？如6=3+3，14=3+11

等。第二，是否每個大于7的奇數都能表示3個奇質數之和？如9=3+3+3，15=3+5+7等。

這就是著名的哥德巴赫猜想。它是數論中的一個著名問題，常被稱為數學皇冠上的明珠。

實際上第一個問題的正確解法可以推出第二個問題的正確解法，因為每

個大于7的奇數顯然可以表示為一個大于4的偶數與3的和。1937年，蘇聯數學家維諾

格拉多夫利用他獨創的“三角和”方法證明了每個充分大的奇數可以表示為3個奇質數之

和，基本上解決了第二個問題。但是第一個問題至今仍未解決。由于問題實在太困難了，

數學家們開始研究較弱的命題：每個充分大的偶數可以表示為質因數個數分別為m、n的

兩個自然數之和，簡記為“m+n”。1920年挪威數學家布龍證明了“9+9”；以后的20幾

年里，數學家們又陸續證明了“7+7”，“6+6”，“5+5”，“4+4”，“1+c”，其中c

是常數。1956年中國數學家王元證明了“3+4”，隨后又證明了“3+3”，“2+3”。60

年代前半期，中外數學家將命題推進到“1+3”。1966年中國數學家陳景潤證明了“1+2”，

這一結果被稱為“陳氏定理”，至今仍是最好的結果。陳景潤的杰出成就使他得到廣泛贊

譽，不僅僅是因為“陳氏定理”使中國在哥德巴赫猜想的證明上處于領先地位，更重要的

是以陳景潤為代表的一大批中國數學家克服重重困難，不畏艱險，永攀高峰的精神將鼓舞

和激勵有志青年為使中國成為21世紀世界數學大國而奮斗!

世界十大經典數學悖論

1.理發師悖論（羅素悖論）：某村只有一人理發，且該村的人都需要理發，理發師規

定，給且只給村中不自己理發的人理發。試問：理發師給不給自己理發？

如果理發師給自己理發，則違背了自己的約定；如果理發師不給自己理發，那么按照

他的規定，又應該給自己理發。這樣，理發師陷入了兩難的境地。

2．說謊者悖論：公元前6世紀，古希臘克里特島的哲學家伊壁門尼德斯有如

此斷言：“所有克里特人所說的每一句話都是謊話。”

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如果這句話是真的，那么也就是說，克里特人伊壁門尼德斯說了一句真話，但是卻與

他的真話——所有克里特人所說的每一句話都是謊話——相悖；如果這句話不是真的一切皆有可能作文 ，也

就是說克里特人伊壁門尼德斯說了一句謊話，則真話應是：所有克里特人所說的每一句話

都是真話，兩者又相悖。所以怎樣也難以自圓其說，這就是著名的說謊者悖論。

公元前4世紀，希臘哲學家又提出了一個悖論：“我現在正在說的這句話是假的。”

同上，這又是難以自圓其說！

說謊者悖論至今仍困擾著數學家和邏輯學家。說謊者悖論有許多形式。

如：我預言：“你下面要講的話是‘不’，對不對？用‘是’或‘不是’來回答。”

又如，“我的下一句話是錯（對）的，我的上一句話是對（錯）的”。

3．跟無限相關的悖論：

{1，2，3，4，5，…}是自然數集：

{1，4，9，16，25，…}是自然數平方的數集。

這兩個數集能夠很容易構成一一對應，那么，在每個集合中有一樣多的元素嗎？

4.伽利略悖論：我們都知道整體大于部分。由線段BC上的點往頂點A

連線，每一條線都會與線段DE內向英文 (D點在AB上,E點在AC上)相交，因此可得DE與BC一樣

長，與圖矛盾。為什么？

5.預料不到的考試的悖論：一位老師宣布說，在下一星期的五天內（星期一到星期五）

的某一天將進行一場考試，但他又告訴班上的同學：“你們無法知道是哪一天，只有到了

考試那天的早上八點鐘才通知你們下午一點鐘考。你能說出為什么這場考試無法進行

嗎？

6.電梯悖論：在一幢摩天大樓里，有一架電梯是由電腦控制運行的，它每

層樓都停，且停留的時間都相同。然而，辦公室靠近頂層的王先生說：“每當我要下樓的

時候，都要等很久。停下的電梯總是要上樓，很少有下樓的。真奇怪！”李小姐對電梯也

很不滿意，她在接近底層的辦公室上班，每天中午都要到頂樓的餐廳吃飯。她說：“不論

我什么時候要上樓，停下來的電梯總是要下樓，很少有上樓的。真讓人煩死了！”

這究竟是怎么回事？電梯明明在每層停留的時間都相同，可為什么會讓接近頂樓和底

層的人等得不耐煩？

7.硬幣悖論：兩枚硬幣平放在一起，頂上的硬幣繞下方的硬幣轉動半圈，結果

硬幣中圖案的位置與開始時一樣；然而，按常理，繞過圓周半圈的硬幣的圖案應是朝下的

才對！你能解釋為什么嗎？

8.谷堆悖論：

顯然，1粒谷子不是堆；

如果1粒谷子不是堆，那么2粒谷子也不是堆；

如果2粒谷子不是堆，那么3粒谷子也不是堆；

……

如果99999粒谷子不是堆，那么100000粒谷子也不是堆；

……

如果1粒谷子落地不能形成谷堆，2粒谷子落地不能形成谷堆，3粒谷子落地也

不能形成谷堆，依此類推，無論多少粒谷子落地都不能形成谷志愿者的英語 堆。這就是令整個古希臘震

驚一時的谷堆悖論。

從真實的前提出發，用可以接受的推理，但結論則是明顯錯誤的。它說明定義

“堆”缺少明確的邊界。它不同于三段論式的多前提推理，在一個前提的連續積累中形成

悖論。從沒有堆到有堆中間沒有一個明確的界限，解決它的辦法就是引進一個模糊的“類”。

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這是連鎖（Sorites）悖論中的一個例子,歸功于古希臘人Eubulides，后來的懷疑論者

不承認它是知識。“Soros”在希臘語里就是“堆”的意思。最初是一個游戲：你可以把

1粒谷子說成是堆嗎？不能；你可以把2粒谷子說成是堆嗎？不能；你可以把3粒谷子說

成是堆嗎？不能。但是你遲早會承認一個谷堆的存在，你從哪里區分他們？

9.寶塔悖論：如果從一磚塔中抽取一塊磚，它不會塌；抽兩塊磚，它也不會

塌；……抽第N塊磚時，塔塌了。現在換一個地方開始抽磚，同第一次不一樣的是，抽第

M塊磚是，塔塌了。恐龍的滅絕原因 再換一個地方，塔塌時少了L塊磚。以此類推，每換一個地方，塔塌

時少的磚塊數都不盡相同。那么到底抽多少塊磚塔才會塌呢？

10.著名的雞與蛋問題：世界上是先有雞還是先有蛋？

▲一些觀點：

老套的問題，當然是先有雞，只是剛開始它不是雞，而是別的動物，后來它們的繁衍

方式發生了變化，——成為了卵生，所以才有了蛋。

最早沒有卵生動物，很多生物還是無性繁殖的，后來慢慢進化成卵生和哺乳動物，

所以按道理應該先進化成生物本體才可能有蛋的由來。

“蛋”有可能來自外星球，后來環境適應而孵化，之后在地球繁衍.....就形成

了雞生蛋，蛋又孵化成雞。