向量知識(shí)點(diǎn)與公式總結(jié)

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數(shù)學(xué)向量知識(shí)點(diǎn)(10篇)

數(shù)學(xué)向量學(xué)問點(diǎn)1

1．基本概念：

向量的定義、向量的模、零向量、單位向量、相反向量、共線

向量、相等向量。

2．加法與減法的代數(shù)運(yùn)算：

(1)若a=〔x1,y1〕,b=〔x2,y2〕則ab=〔x1+x2,y1+y2〕．

向量加法與減法的幾何表示：平行四邊形法則、三角形法則。

向量加法有如下規(guī)律：＋=＋(交換律);+(+c)=(+)+c

〔結(jié)合律〕;

3．實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量。

(1)｜｜=｜｜｜｜;

(2)當(dāng)a＞0時(shí)，與a的方向相同；當(dāng)a＜0時(shí)，與a的方

向相反；當(dāng)a=0時(shí)，a=0．

兩個(gè)向量共線的充要條件：

(1)向量b與非零向量共線的充要條件是有且僅有一個(gè)實(shí)

數(shù)，使得b=．

(2)若=〔〕,b=〔〕則‖b．

平面對(duì)量基本定理：

若e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平

面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，，使得=e1+e2．

4．P分有向線段所成的比：

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設(shè)P1、P2是直線上兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是上不同于P1、P2的任意

一點(diǎn)，則存在一個(gè)實(shí)數(shù)使=，叫做點(diǎn)P分有向線段所成的比。

當(dāng)點(diǎn)P在線段上時(shí)，＞0；當(dāng)點(diǎn)P在線段或的延長(zhǎng)線上時(shí)，

＜0；

分點(diǎn)坐標(biāo)公式：若=；的坐標(biāo)分別為〔〕,〔〕,〔〕；則

〔－1〕，中點(diǎn)坐標(biāo)公式：．

5．向量的數(shù)量積：

〔1〕．向量的夾角：

已知兩個(gè)非零向量與b，作=,=b,則AOB=〔〕叫做向量與

b的夾角。

〔2〕．兩個(gè)向量的數(shù)量積：

已知兩個(gè)非零向量與b，它們的夾角為，則b=｜｜｜b｜

cos．

其中｜b｜c(diǎn)os稱為向量b在方向上的投影．

〔3〕．向量的數(shù)量積的性質(zhì)：

若=〔〕,b=〔〕則e=e=｜｜c(diǎn)os(e為單位向量);

bb=0〔，b為非零向量〕;｜｜=;

cos==．

(4)．向量的數(shù)量積的運(yùn)算律：

b=b()b=(b)=(b);(＋b)c=c+bc．

6.主要思想與方法：

本章主要樹立數(shù)形轉(zhuǎn)化和結(jié)合的觀點(diǎn)，以數(shù)代形，以形觀數(shù)，

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用代數(shù)的運(yùn)算處理幾何問題，特殊是處理向量的相關(guān)位置關(guān)系，正確

運(yùn)用共線向量和平面對(duì)量的基本定理，計(jì)算向量的模、兩點(diǎn)的距離、

向量的夾角，推斷兩向量是否垂直等。由于向量是一新的工具，它往

往會(huì)與三角函數(shù)、數(shù)列、不等式、解幾等結(jié)合起來(lái)進(jìn)行綜合考查，是

學(xué)問的交匯點(diǎn)。

數(shù)學(xué)向量學(xué)問點(diǎn)2

向量的的數(shù)量積

定義：已知兩個(gè)非零向量a,b。作OA=a,OB=b,則角AOB稱作向

量a和向量b的夾角，記作〈a,b〉并規(guī)定0≤〈a,b〉≤

定義：兩個(gè)向量的數(shù)量積(內(nèi)積、點(diǎn)積)是一個(gè)數(shù)量，記作ab。

若a、b不共線，則ab=abcos〈a，b〉;若a、b共線，則ab=+-?a??b?。

向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示：ab=xx'+yy'。

向量的數(shù)量積的運(yùn)算律

ab=ba(交換律);

(a)b=(ab)(關(guān)于數(shù)乘法的結(jié)合律);

(a+b)c=ac+bc(安排律);

向量的數(shù)量積的性質(zhì)

aa=a的平方。

a⊥b〈=〉ab=0。

ab≤ab。

向量的數(shù)量積與實(shí)數(shù)運(yùn)算的主要不同點(diǎn)

1、向量的數(shù)量積不滿意結(jié)合律，即：(ab)c≠a(bc);例如：

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(ab)^2≠a^2b^2。

2、向量的數(shù)量積不滿意消去律，即：由ab=ac(a≠0)，推不

出b=c。

3、ab≠ab

4、由a=b，推不出a=b或a=-b。

數(shù)學(xué)向量學(xué)問點(diǎn)3

向量的概念、向量的基本定理

【內(nèi)容解讀】了解向量的實(shí)際背景，把握向量、零向量、平行

向量、共線向量、單位向量、相等向量等概念，理解向量的幾何表示，

把握平面對(duì)量的基本定理。

留意對(duì)向量概念的理解，向量是可以自由移動(dòng)的，平移后所得

向量與原向量相同;兩個(gè)向量無(wú)法比較大小，它們的模可比較大小。

考點(diǎn)二：向量的運(yùn)算

【內(nèi)容解讀】向量的運(yùn)算要求把握向量的加減法運(yùn)算，會(huì)用平

行四邊形法則、三角形法則進(jìn)行向量的加減運(yùn)算;把握實(shí)數(shù)與向量的

積運(yùn)算，理解兩個(gè)向量共線的含義，會(huì)推斷兩個(gè)向量的平行關(guān)系;擅長(zhǎng)的英文 把

握向量的數(shù)量積的運(yùn)算，體會(huì)平面對(duì)量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系，

并理解其幾何意義，把握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面對(duì)量積的

運(yùn)算，能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用向量積推斷兩個(gè)平面

對(duì)量的垂直關(guān)系。

【命題規(guī)律】命題形式主要以選擇、填空題型消失，難度不大，

考查重點(diǎn)為模和向量夾角的定義、夾角公式、向量的坐標(biāo)運(yùn)算，有時(shí)

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也會(huì)與其它內(nèi)容相結(jié)合。

考點(diǎn)三：定比分點(diǎn)

【內(nèi)容解讀】把握線段的定比分點(diǎn)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，并能嫻熟

應(yīng)用，求點(diǎn)分有向線段所成比時(shí)，可借助圖形來(lái)關(guān)心理解。

【命題規(guī)律】重點(diǎn)考查定義和公式，主要以選擇題或填空題型

消失，難度一般。由于向量應(yīng)用的廣泛性，常常也會(huì)與三角函數(shù)，解

析幾何一并考查，若消幼犬怎么喂食 失在解答題中，難度以中檔題為主，間或也以

難度略高的題目。

考點(diǎn)四：向量與三角函數(shù)的綜合問題

【內(nèi)容解讀】向量與三角函數(shù)的綜合問題是高考常常消失的問

題，考查了向量的學(xué)問，三角函數(shù)的學(xué)問，到達(dá)了高考中試題的掩蓋

面的要求。

【命題規(guī)律】命題以三角函數(shù)作為坐標(biāo)，以向量的坐標(biāo)運(yùn)算或

向量與解三角形的內(nèi)容相結(jié)合，也有向量與三角函數(shù)圖象平移結(jié)合的

問題，屬中檔偏易題。

考點(diǎn)五：平面對(duì)量與函數(shù)問題的交匯

【內(nèi)容解讀】平面對(duì)量與函數(shù)交匯的問題，主要是向量與二次

函數(shù)結(jié)合的問題為主，要留意自變量的取值范圍。

【命題規(guī)律】命題多以解答題為主，屬中檔題。

考點(diǎn)六：平面對(duì)量在平面幾何中的應(yīng)用

【內(nèi)容解讀】向量的坐標(biāo)表示事實(shí)上就是向量的代數(shù)表示.在

引入向量的坐標(biāo)表示后，使向量之間的運(yùn)算代數(shù)化，這樣就可以將

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“形”和“數(shù)”緊密地結(jié)合在一起.因此，很多平面幾何問題中較難

解決的問題，都可以轉(zhuǎn)化為大家熟識(shí)的代數(shù)運(yùn)算的論證.也就是把平

面幾何圖形放到適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，給予幾何圖形有關(guān)點(diǎn)與平面對(duì)量詳

細(xì)的坐標(biāo)，這樣將有關(guān)平面幾何問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)

算，從而使問題得到解決.

【命題規(guī)律】命題多以解答題為主，屬中等偏難的試題。

成果不抱負(fù)的緣由

1、對(duì)學(xué)問點(diǎn)的理解停留在一知半解的層次上;

2、解題始終不能把握其中關(guān)鍵的數(shù)學(xué)技巧，孤立的看待每一

道題，缺乏舉一反三的力量;

3、解題時(shí)，小錯(cuò)誤太多，始終不能完好的解決問題;

4、解題效率低，在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)不能完成肯定量的題目，不

適應(yīng)考試節(jié)奏;

5、未養(yǎng)成總結(jié)歸納的習(xí)慣，不能習(xí)慣性的歸納所學(xué)的學(xué)問點(diǎn);

6、學(xué)習(xí)缺少科學(xué)性，上課不仔細(xì)記筆記，課后不能準(zhǔn)時(shí)穩(wěn)固、

復(fù)習(xí);忙于應(yīng)付作業(yè)，對(duì)學(xué)問不求甚解。

7、忽視基礎(chǔ)，有些“自我感覺良好”的同學(xué)，常輕視基礎(chǔ)學(xué)

問、基本技能和基本方法的學(xué)習(xí)與訓(xùn)練，常常是知道怎么做就算了，

而不去仔細(xì)演算書寫，反而對(duì)難題很感愛好，以顯示自己的“水平”，

好高騖遠(yuǎn)，重“量”輕“質(zhì)”，沒有堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)和基本功，到考試時(shí)

取得不了高分;

8、忽視作業(yè)或練習(xí)，缺乏對(duì)問題的深化思索，有時(shí)練習(xí)冊(cè)上

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的答案由于印刷錯(cuò)誤，孩子們作業(yè)做完后核對(duì)答案時(shí)不信任自己的結(jié)

論，把自己的答案一劃，把錯(cuò)誤答案抄上;書寫規(guī)范性差;

9、周練考試出錯(cuò)率高，一種是一時(shí)想不出怎么做，事后會(huì)做，

臨場(chǎng)狀態(tài)不好;其次種是外表上會(huì)做，但由于審題不認(rèn)真，對(duì)概念理

解不清，計(jì)算不精確;第三種是時(shí)間不夠，解題速度慢，平常做題習(xí)

慣不好，不講速度;第四種是根本做不出來(lái)，基本功不行，更欠缺融

會(huì)貫穿力量。

集合的特性

1、確定性

給定一個(gè)集合，任給一個(gè)元素，該元素或者屬于或者不屬于該

集合，二者必居其一，不允許有模棱兩可的狀況消失。

2、互異性

一個(gè)集合中，任何兩個(gè)元素都認(rèn)為是不相同的，即每個(gè)元素只

能消失一次。有時(shí)需要對(duì)同一元素消失多次的情形進(jìn)行刻畫，可以使

用多重集，其中的元素允許消失多次。

3、無(wú)序性

一個(gè)集合中，每個(gè)元素的地位都是相同的，元素之間是無(wú)序的。

集合上可以定義序關(guān)系，定義了序關(guān)系后，元素之間就可以根據(jù)序關(guān)

系排序。但就集合本身的特性而言，元素之間沒有必定的序。

數(shù)學(xué)向量學(xué)問點(diǎn)4

平面對(duì)量

戴氏航天學(xué)校老師總結(jié)加法與減法的代數(shù)運(yùn)算：

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(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2)則ab=(x1+x2,y1+y2).

向量加法與減法的幾何表示：平行四邊形法則、三角形法則。

戴氏航天學(xué)校老師總結(jié)向量加法有如下規(guī)律：+=+(交換律);

+(+c)=(+)+c(結(jié)合律);

兩個(gè)向量共線的充要條件：

(1)向量b與非零向量共線的充要條件是有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)，

使得b=.

(2)若=(),b=()則‖b.

平面對(duì)量基本定理：

若e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平

面內(nèi)的任一向量，戴氏航天學(xué)校老師提示有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，，使得

=e1+e2

高考數(shù)學(xué)必修四學(xué)習(xí)方法

養(yǎng)成良好的課前和課后學(xué)習(xí)習(xí)慣：在當(dāng)前高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，培

育正確的學(xué)習(xí)習(xí)慣是一項(xiàng)重要的學(xué)習(xí)技能。雖然有一種刻板印象的猜

疑，但在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)真的是反復(fù)嘗試和錯(cuò)誤的。同學(xué)們不得不預(yù)習(xí)

課本。我預(yù)備的數(shù)學(xué)教科書不是簡(jiǎn)潔的閱讀，而是一個(gè)例子，至少非

常鐘的思索。在使用前不能通過學(xué)習(xí)學(xué)問解決問題的狀況下，可以在

教學(xué)內(nèi)容中找到答案，然后在教材中考察問題的解決過程，把握解決

問題的思路。同時(shí)，在課堂上支配筆記也是必要的。在高中數(shù)學(xué)討論

中，建議采納兩種形式的筆記，一種是課堂速記，另一種是課后筆記。

這不僅提高了課堂記憶的汲取力量，而且有助于對(duì)筆記內(nèi)容的查詢。

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高考數(shù)學(xué)必修四學(xué)習(xí)技巧

養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)習(xí)慣

多質(zhì)疑、勤思索、好動(dòng)手、重歸納、留意應(yīng)用。同學(xué)在學(xué)習(xí)數(shù)

學(xué)的過程中，要把老師所傳授的學(xué)問翻譯成為自己的特別語(yǔ)言，并永

久記憶在自己的腦海中。良好的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)習(xí)慣包括課前自學(xué)、用心上

課、準(zhǔn)時(shí)復(fù)習(xí)、作業(yè)、解決疑難、系統(tǒng)小結(jié)和課外學(xué)習(xí)幾個(gè)方面。

準(zhǔn)時(shí)了解、把握常用的數(shù)學(xué)思想和方法

中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要重點(diǎn)把握的的數(shù)學(xué)思想有以上幾個(gè)：集合與對(duì)

應(yīng)思想，分類商量思想，數(shù)形結(jié)合思想，運(yùn)動(dòng)思想，轉(zhuǎn)化思想，變換

思想。

有了數(shù)學(xué)思想以后，還要把握詳細(xì)的方法，比方：換元、待定

系數(shù)、數(shù)學(xué)歸納法、分析法、綜合法、反證法等等。在詳細(xì)的方法中，

常用的有：觀看與試驗(yàn)，聯(lián)想與類比，比較與分類，分析與綜合，歸

納與演繹，一般與特別，有限與無(wú)限，抽象與概括等。

數(shù)學(xué)向量學(xué)問點(diǎn)5

1．有向線段的定義

線段的端點(diǎn)A為始點(diǎn)，端點(diǎn)B為終點(diǎn)，這時(shí)線段AB具有射線

AB的方向.像這樣，具有方向的線段叫做有向線段.記作：.

2.有向線段的三要素：有向線段包含三個(gè)要素：始點(diǎn)、方向和

長(zhǎng)度.

3.向量的定義：(1)具有大小和方向的量叫做向量.向量有兩個(gè)

要素：大小和方向.

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(2)向量的表示方法：①用兩個(gè)大寫的英文字母及前頭表示，

有向線段來(lái)表示向量時(shí)，也稱其為向量.書寫時(shí)，則用帶箭頭的小寫

字母，，，來(lái)表示.

4.向量的長(zhǎng)度〔模〕：假如向量=，那么有向線段的長(zhǎng)度表示向

量的大小，叫做向量的長(zhǎng)度(或模)，記作||.

5．相等向量：假如兩個(gè)向量和的方向相同且長(zhǎng)度相等，則稱

和相等，記作：=.

6．相反向量：與向量等長(zhǎng)且方向相反的向量叫做的相反向量，

記作：-.

7．向量平行〔共線〕：假如兩個(gè)向量方向相同或相反，則稱這

兩個(gè)向量平行，向量平行也稱向量共線.向量平行于向量，記作//.

規(guī)定：//.

8．零向量：長(zhǎng)度等于零的向量叫做零向量，記作：.零向量的

方向是不確定的，是任意的.由于零向量方向的特別性，解答問題時(shí)，

肯定要看清題目中是零向量還是非零向量.

9．單位向量：長(zhǎng)度等于1的向量叫做單位向量.

10．向量的加法運(yùn)算：

(1)向量加法的三角形法則

1１．向量的減法運(yùn)算

12、兩向量的和差的模與兩向量模的和差之間的關(guān)系

對(duì)于任意兩個(gè)向量，，都有|||-|||||+||.

13．?dāng)?shù)乘向量的定義：

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實(shí)數(shù)和向量的乘積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做數(shù)乘向量，記作.

向量的長(zhǎng)度與方向規(guī)定為：(1)||=|

(2)當(dāng)0時(shí)，與方向相同;當(dāng)0時(shí)，與方向相反.

(3)當(dāng)=0時(shí)，當(dāng)=時(shí)，=.

14．?dāng)?shù)乘向量的運(yùn)算律：(1))=(結(jié)合律)

(2)(+)=+(第一安排律)(3)(+)=+.(其次安排律)

15．平行向量基本定理

假如向量，則//的充分必要條件是，存在唯一的實(shí)數(shù)，使得=.

假如與不共線，若m=n，則m=n=0.

16．非零向量的單位向量：非零向量的單位向量是指與同向的

單位向量，通常記作.

=||，即==(，)

17．線段中點(diǎn)的向量表達(dá)式

點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，O是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則=(+).

18．平面對(duì)量的直角坐標(biāo)運(yùn)算：假如=(a1，a2)，=(b1，b2)，

則

+=(a1+b1，a2+b2);-=(a1-b1，a2-b2);=(a1，a2).

19．利用兩點(diǎn)表示向量：假如A(x1，y1)，B(x2，y2)，則=(x2-x1，

y2-y1).

20.兩向量相等和平行的條件：若=(a1，a2)，=(b1，b2)，則

=a1=b1且a2=b2.

//a1b2-a2b1=0.特殊地，假如b10，b20，則//=.

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21．向量的長(zhǎng)度公式：若=(a1，a2)，則||=.

22．平面上兩點(diǎn)間的距離公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，

則||=.

23．中點(diǎn)公式

若點(diǎn)A(x1，y1)，點(diǎn)B(x2，y2)，點(diǎn)M(x，y)是線段AB的中點(diǎn)，

則x=，y=.

24．重心公式

在△ABC中，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，A(x3，y3)，，△ABC

的重心為G(x，y)，則

x=，y=

2５．〔1)兩個(gè)向量夾角的取值范圍是[0，p]，即0，p.

當(dāng)=0時(shí)，與同向;當(dāng)=p時(shí)，與反向

當(dāng)=時(shí)，與垂直，記作.

(3)向量的內(nèi)積定義：=||||cos.

其中，||cos叫做向量在向量方向上的正射影的數(shù)量.規(guī)定=0.

(4)內(nèi)積的幾何意義

與的內(nèi)積的幾何意義是的模與在方向上的正射影的數(shù)量，或的

模與在方向上的正射影數(shù)量的乘積

當(dāng)0，90時(shí)，0;=90時(shí)，

90時(shí)，0.

26．向量?jī)?nèi)積的運(yùn)算律：

(1)交換率

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(2)數(shù)乘結(jié)合律

(3)安排律

(4)不滿意組合律

27．向量?jī)?nèi)積滿意乘法公式

29．向量?jī)?nèi)積的應(yīng)用：

數(shù)學(xué)向量學(xué)問點(diǎn)6

1、平面對(duì)量基本概念

有向線段：具有方向的線段叫做有向線段，以A為起點(diǎn)，B為

終點(diǎn)的有向線段記作或AB；

向量的模：有向線段AB的長(zhǎng)度叫做向量的模，記作|AB|；

零向量：長(zhǎng)度等于0的向量叫做零向量，記作或0。〔留意粗

體格式，實(shí)數(shù)“0”和向量“0”是有區(qū)分的，書寫時(shí)要在實(shí)數(shù)“0”

上加箭頭，以免混淆〕；

相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量；

平行向量〔共線向量〕：兩個(gè)方向相同或相反的非零向量叫做

平行向量或共線向量，零向量與任意向量平行，即0//a；

單位向量：模等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量，通常用

e表示，平行于坐標(biāo)軸的單位向量習(xí)慣上分別用i、j表示。

相反向量：與a長(zhǎng)度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向

量，—〔—a〕=a，零向量的相反向量仍舊是零向量。

2、平面對(duì)量運(yùn)算

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加法與減法的代數(shù)運(yùn)算：

〔1〕若a=〔x1，y1〕，b=〔x2，y2〕則ab=〔x1+x2，y1+y2〕。

向量加法與減法的幾何表示：平行四邊形法則、三角形法則。

向量加法有如下規(guī)律：+=+〔交換律〕；+〔+c〕=〔+〕+c〔結(jié)

合律〕；

實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量。

〔1〕||=||||；

〔2〕當(dāng)a>0時(shí)，與a的方向相同；當(dāng)a<0時(shí)，與a的方向相

反；當(dāng)a=0時(shí)，a=0。

兩個(gè)向量共線的充夢(mèng)是真的嗎 要條件：

〔1〕向量b與非零向量共線的充要條件是有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)，

使得b=。

〔2〕若=〔〕，b=〔〕則‖b。

3、平面對(duì)量基本定理

若e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平

面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，，使得=e1+e2。

4、平面對(duì)量有關(guān)推論

三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)O，OAOB=OBOC=OCOA，則點(diǎn)O是三角

形的垂心。

若O是三角形ABC的外心，點(diǎn)M滿意OA+OB+OC=OM，則M是三

角形ABC的垂心。

若O和三角形ABC共面，且滿意OA+OB+OC=0，則O是三角形

第15頁(yè)

ABC的重心。

三點(diǎn)共線：三點(diǎn)A，B，C共線推出OA=OB+aOC〔+a=1〕

數(shù)學(xué)向量學(xué)問點(diǎn)7

數(shù)乘向量

實(shí)數(shù)和向量a的乘積是一個(gè)向量，記作a，且∣a∣=∣∣∣a∣。

當(dāng)0時(shí)，a與a同方向;

當(dāng)0時(shí)，a與a反方向;

當(dāng)=0時(shí)，a=0，方向任意。

當(dāng)a=0時(shí)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，都有a=0。

注：按換屆選舉 定義知，假如a=0，那么=0或a=0。

實(shí)數(shù)叫做向量a的系數(shù)，乘數(shù)向量a的幾何意義就是將表示向

量a的有向線段伸長(zhǎng)或壓縮。

當(dāng)∣∣1時(shí)，表示向量a的'有向線段在原方向(0)或反方向(0)

上伸長(zhǎng)為原來(lái)的∣∣倍;

當(dāng)∣∣1時(shí)，表示向量a的有向線段在原方向(0)或反方向(0)

上縮短為原來(lái)的∣∣倍。

數(shù)與向量的乘法滿意下面的運(yùn)算律

結(jié)合律：(a)b=(ab)=(ab)。

向量對(duì)于數(shù)的安排律(第一安排律)：(+)a=a+a.

數(shù)對(duì)于向量的安排律(其次安排律)：(a+b)=a+b.

數(shù)乘向量的消去律：①假如實(shí)數(shù)0且a=b，那么a=b。②假

如a0且a=a，那么=。

第16頁(yè)

數(shù)學(xué)向量學(xué)問點(diǎn)8

1.平面對(duì)量的數(shù)量積

平面對(duì)量數(shù)量積的定義

已知兩個(gè)非零向量a和b，它們的夾角為，把數(shù)量|a||b|cos叫

做a和b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作ab.即ab=|a||b|cos，規(guī)定0a=0.

2.向量數(shù)量積的運(yùn)算律

(1)ab=ba

(2)(a)b=(ab)=a(b)

(3)(a+b)c=ac+bc

[探究]依據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律，推斷以下結(jié)論是否成立.

(1)ab=ac，則b=c嗎?

(2)(ab)c=a(bc)嗎?

提示：(1)不肯定，a=0時(shí)不成立，

另外a0時(shí)，ab=ac.由數(shù)量積概念可知b與c不能確定;

(2)(ab)c=a(bc)不肯定相等.

(ab)c是c方向上的向量，而a(bc)是a方向上的向量，當(dāng)a

與c不共線時(shí)它們必不相等.

數(shù)學(xué)向量學(xué)問點(diǎn)9

1.向量的基本概念

(1)向量

既有大小又有方向的量叫做向量.物理學(xué)中又叫做矢量.如力、

速度、加速度、位移就是向量.

第17頁(yè)

向量可以用一條有向線段(帶有方向的線段)來(lái)表示，用有向線

段的長(zhǎng)度表示向量的大小，用箭頭所指的方向表示向量的方向.向量

也可以用一個(gè)小寫字母a，b，c表示，或用兩個(gè)大寫字母加表示(其

中前面的字母為起點(diǎn)，后面的字母為終點(diǎn))

(5)平行向量

方向相同或相反的非零向量，叫做平行向量.平行向量也叫做

共線向量.

若向量a、b平行，記作a∥b.

規(guī)定：0與任一向量平行.

(6)相等向量

長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量.

①向量相等有兩個(gè)要素：一是長(zhǎng)度相等，二是方向相同，二者

缺一不行.

②向量a，b相等記作a=b.

③零向量都相等.

④任何兩個(gè)相等的非零向量，都可用同一有向線段表示，但特

殊要留意向量相等與有向線段的起點(diǎn)無(wú)關(guān).

2.對(duì)于向量概念需留意

(1)向量是區(qū)分于數(shù)量的一種量，既有大小，又有方向，任意

兩個(gè)向量不能比較大小，只可以推斷它們是否相等，但向量的模可以

比較大小.

(2)向量共線與表示它們的有向線段共線不同.向量共線時(shí)，表

第18頁(yè)

示向量的有向線段可以是平行的，不肯定在同一條直線上;而有向線

段共線則是指線段必需在同一條直線上.

(3)由向量相等的定義可知，對(duì)于一個(gè)向量，只要不轉(zhuǎn)變它的

大小和方向，它是可以任意平行移動(dòng)的，因此用有向線段表示向量時(shí)，

可以任意選取有向線段的起點(diǎn)，由此也可得到：任意一組平行向量都

可以平移到同一條直線上.

3.向量的運(yùn)算律

(1)交換律：+=+

(2)結(jié)合律：(+)+=+(+)

(3)數(shù)量加法的安排律：(+)=+

(4)向量加法的安排律：(+)=+

高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法

把握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)實(shí)踐階段:在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中,我們需要使

用正確的學(xué)習(xí)方法,以及科學(xué)合理的學(xué)習(xí)規(guī)章。先生有名的日本教育

在米山國(guó)藏在他的數(shù)學(xué)精神、思想和方法,曾經(jīng)說(shuō)過,尤其是高階段的

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),必需遵循“分層原則”和“循序漸進(jìn)”的原則。與教

學(xué)內(nèi)容的第一周甚至是從基礎(chǔ)開頭,一周后的頭幾天,在教學(xué)難以提

升。以及提升的困難進(jìn)步一步一步,最好不要去追求所謂的“困難”

除了(感愛好),不利于解決問題方法把握連續(xù)性。同時(shí),依據(jù)時(shí)間和課

程支配的長(zhǎng)度適當(dāng)?shù)膶彶?只有這樣才能記住和使用在長(zhǎng)期學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)

學(xué)問,不要遺忘前面的學(xué)習(xí)。

高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)技巧

第19頁(yè)

1不亂買輔導(dǎo)書。

關(guān)于數(shù)學(xué)，我一本輔導(dǎo)書都沒買(高三)，從高三發(fā)的第一張卷

子起到最終一張我高考結(jié)束后全部留著，厚厚的三打。這些卷子留好

后你從第一張看的時(shí)候和輔導(dǎo)書是一樣一樣的由于高三復(fù)習(xí)的時(shí)候

都是按章節(jié)來(lái)的，所以條目很清楚。

1每一張卷子不留題。

不留錯(cuò)題和不明白的題，把每一個(gè)題目都弄明白，不會(huì)的就去

問別人問老師。我一開頭也不好意思去問老師，由于我基礎(chǔ)太差了，

可能我不會(huì)的題其實(shí)只是一個(gè)公式題，所以我都是問四周的同學(xué)，所

幸我四周一圈學(xué)霸，每一個(gè)都被我問煩了要在這里要感謝一下他

們～

1整理錯(cuò)題。

這個(gè)其實(shí)真的挺重要，但我前面也說(shuō)過，我是一個(gè)超懶的人，

所以我沒有做但是我在后期快三模的時(shí)候意識(shí)到了這個(gè)的重要性，

所以把全部卷子集中起來(lái)把錯(cuò)題回顧了一遍，不肯定動(dòng)筆(太懶)去做，

在腦子里想一遍，一般只用不到一分鐘一道，這個(gè)時(shí)間什么時(shí)候都抽

得出來(lái)的。

1整理筆記。

關(guān)于數(shù)學(xué)的筆記我有兩本，一個(gè)是我們老師總結(jié)的一些方法和

技巧，一些公式的記憶以及法則概念之類的(這個(gè)要好好記!做題的時(shí)

候常常用到!沒有公式做題簡(jiǎn)直是…)另一本是關(guān)于一些好題難題錯(cuò)

題典型題，把這些題從紙上剪下來(lái)貼到本子上再做一遍，到高考前我

第20頁(yè)

把這個(gè)錯(cuò)題本又全部重新做了一遍(當(dāng)然，這個(gè)由于太懶，有的題有

點(diǎn)三天打漁兩天曬網(wǎng))

1關(guān)于卷子。

由于筆記要剪下來(lái)(這年頭誰(shuí)還自己抄題快去給我站墻角!)貼

到筆記上，所以我都是要漂亮用英語(yǔ)怎么說(shuō) 兩張卷子(老師都是直接問誰(shuí)要兩張自己留

下就行)，兩張卷子一張自己做，另一張用來(lái)剪題(有的時(shí)候正反面都

有就很厭煩啦所以我有的時(shí)候拿三張)

ps：自己做的那張卷子呢做完聽題的時(shí)候要做好標(biāo)記，答主有

一套晨光的彩色筆，還蠻好用，把不會(huì)的題在題號(hào)標(biāo)一種顏色，會(huì)但

是典型的一種顏色。

肯定要把做題過程在卷子上寫清晰!肯定要把做題過程在卷子

上寫清晰!肯定要把做題過程在卷子上寫清晰!重要的事說(shuō)三遍!否則

你看卷子時(shí)說(shuō)忘就忘哭都沒地方哭戴眼鏡的危害

1關(guān)于老師。

答主老師長(zhǎng)的帥啊大于一切優(yōu)點(diǎn)啊要努力查找老師的閃光

點(diǎn)，究竟老師對(duì)于學(xué)習(xí)愛好還是影響很大的。

1補(bǔ)充。

我們老師當(dāng)時(shí)特殊喜愛給我們做模擬題，都是他做了的題然后

剪貼出來(lái)的卷子，所以每道題都很好也是我說(shuō)過不留題的緣由。由于

做套題的時(shí)候就算你許多都不懂，但是選擇題中的集合那些題總都會(huì)

做，不至于像做導(dǎo)數(shù)數(shù)列那些單元的卷子一樣欲哭無(wú)淚=_=(數(shù)學(xué)不好

的人都懂我!)所以可以多做套題來(lái)增添自己的信念。

第21頁(yè)

1信念。

當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)就算很不好的時(shí)候我也沒有放棄過，有一股謎一樣的

自信覺得我肯定能學(xué)好…別問我為什么…我也不知道…總之就是對(duì)

自己有信念一點(diǎn)!肯定會(huì)勝利!

數(shù)學(xué)向量學(xué)問點(diǎn)10

【考綱解讀】

1.理解平面對(duì)量的概念與幾何表示、兩個(gè)向量相等的含義;把

握向量加減與數(shù)乘運(yùn)算及其意義;理解兩個(gè)向量共線的含義,了解向

量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義.

2.了解平面對(duì)量的基本定理及其意義;把握平面對(duì)量的正交分

解及其坐標(biāo)表示;會(huì)用坐標(biāo)表示平面對(duì)量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算;

理解用坐標(biāo)表示的平面對(duì)量共線的條件.

3.理解平面對(duì)量數(shù)量積的含義及其物理意義;了解平面對(duì)量數(shù)

量積與向量投影的關(guān)系;把握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式,會(huì)進(jìn)行平面對(duì)量

數(shù)量積的運(yùn)算;能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角,會(huì)用數(shù)量積推斷

兩個(gè)平面對(duì)量的垂直關(guān)系.

【考點(diǎn)預(yù)報(bào)】

高考對(duì)平面對(duì)量的考點(diǎn)分為以下兩類:

(1)考查平面對(duì)量的概念、性質(zhì)和運(yùn)算,向量概念所含內(nèi)容較多,

如單位向量、共線向量、方向向量等基本概念和向量的加、減、數(shù)乘、

數(shù)量積等運(yùn)算，高考中或直接考查或用以解決有關(guān)長(zhǎng)度，垂直，夾角，

推斷多邊形的樣子等，此類題一般以選擇題形式消失，難度不大.

第22頁(yè)

(2)考查平面對(duì)量的綜合應(yīng)用.平面對(duì)量常與平面幾何、解析幾

何、三角等內(nèi)容交叉滲透，使數(shù)學(xué)問題的情境新奇特別，自然流暢，

此類題一般以解答題形式消失，綜合性較強(qiáng).

【要點(diǎn)梳理】

1.向量的加法與減法:把握平行四邊形法則、三角形法則、多

邊形法則，加法的運(yùn)算律;

2.實(shí)數(shù)與向量的乘積及是一個(gè)向量，嫻熟其含義;

3.兩個(gè)向量共線的條件:平面對(duì)量基本定理、向量共線的坐標(biāo)

表示;

4.兩個(gè)向量夾角的范圍是:[0,]

5.向量的數(shù)量積:嫻熟定義、性質(zhì)及運(yùn)算律，向量的模，兩個(gè)

向量垂直的充要條件.