數學教科書

6.3.1平面向量基本定理

本節課選自《普通高中課程標準數學教科書-必修第二次承認》（人教A版）第六章《平面向

量及其應用》，本節課主要學習平面向量基本定理及其應用。

本節課是學生在學習平面向量實際背景及基本概念、平面向量的線性運算(向量的加法、減法、

數乘向量、共線向量定理)之后的又一重點內容,它是引入向量坐標表示,將向量的幾何運算轉化為代

數運算的基礎,使向量的工具性得到初步的體現,具有承前啟后的作用。平面向量基本定理揭示了平

面向量之間的基本關系,是向量解決問題的理論基礎

本節內容用1課時完成。

課程目標學科素養

A.理解平面向量基本定理及其意義；

B.會用基底表示某一向量；

C.通過學習平面向量基本定理，讓學生體

驗數學的轉化思想，培養學生發現問題的

能力。

1.數學抽象：平面向量基本定理的意義；

2.邏輯推理：推導平面向量基本定理；

3.數學運算：用基底表示其它向量；

1.教學重點：平面向量基本定理及其意義；

2.教學難點：平面向量基本定理的探究。

多媒體

教學過程教學設計意圖

核心素養目標

一、復習回顧，溫故知新

1.共線向量定理

【答案】向量)0(?aa與

b

共線的充要條件是：存在唯一一個實數

?，使ab??。

2.向量的加法法則

【答案】三角形法則

ACBCAB??。

特點:首奮斗素材 尾相接，連首尾。

平行四邊形法則

OCOBOA??

特點:同一起點,對角線。

二、探索新知

探究：如圖6.3-2（1），設

21

ee，是同一平面內兩個不共線的向量，

a

是這一平面內與

21

ee，都不共線的向量，如圖6.3-2（2），在平面

內任取一點O，作,,,

21

aOCeOBeOA???將

a

按

21

ee，的方向分

通過復習前面所學

知識，引入本節新

課。建立知識間的

聯系，提高學生概

括、類比推理的能

力。

通過探究，利用

向量加法的平行四

邊形法則，用兩個不

解，你有什么發現？

【答案】如圖，

2211

eeONOMOCa???????

思考1.若向量

a

與

21

ee或共線，a還能用

2211

eea????表示嗎？

【答案】當向量

a

與

1

e共線時，

211

0eea???。

當向量

a

與

2

e共線時，

221

0eea???。

思考2.當

a

是零向量時，

a

還能用

2211

eea????表示嗎？

【答案】

21

00eea??

思考3.設

21

ee，是同一平面內兩個不共線的向量，在

2211

eea????

中，

21

??，是否唯一？

【答案】假設

221122112211

eeeeeea???????????，則，

即0,00)()(

2211222111

????????????????且，所以ee，

所以

2211

??????，且，所以

21

??，唯一。

1.平面向量基本定理：

如果

21

ee，是同一平面內的兩個不共線的向量，那么對于這一平面內

共線的向量表示另

一個向量，引出平面

向量基本定理，提高

學生的解決問題、分

析問題的能力。

通過思考，進

一步完善結論，推

出平面向量基本定

理。提高學生分析

問題、概括能力。

的任一向量

a

，有且只有一對實數

21

??，，使

2211

eea????。

我們把}{

21

ee，叫做表示這一平面內所有向量的一個基底。

說明：(1).基底的選擇是不唯一的；

(2).同一向量在選定基底后，

21

??，是唯一存在的。

(3).同一向量在選擇不同基底時，

21

??，可能相同也可能不同。

例1.如圖，OBOA,不共線，且)(RtABtAP??，用OBOA,表示

OP。

解：因為)(RtABtAP??

，所以

ABtOAAPOAOP????

OAtOBtOAOAOBtOA??????)(

OBtOAt???)1(

思考4：觀察OBtOAtOP???)1(你有什么發現？

【結論】如果BAP、、三點共線，點O是平面內任意一點，若

OBOAOP????，則1????。

例2.如圖，CD是ABC?的中線，ABCD

2

1

?，用向量方法證明

ABC?是直角三角形。

證明：設,,,,,baCBbDBbaCAbDAaCD????????于是則

通過說明，讓波字成語 學生進

一步理解平面向量

基本定理，提高學生

理解問題的能力。

通過例題練習平面

向量基本定理的運

用，提高學生解決

問題的能力。

通過思考，得

到結論，提高學生

的觀察、概括能

力。

通過例題鞏固平面

向量基本定理的運

ABCDbababaCBCA

2

1

.))((22???????因為

所以2

2

2

2,DAbCDaDACD???，因為，

所以

CBCACBCA???。因此0

。

于是ABC?是直角三角形。

用，提高學生用向

量知識解決問題的

能力。

三、達標檢測

1．已知平行四邊形ABCD，則下列各組向量中，是該平面內所有向量

基底的是()

A．AB

→

，DC

→

B．AD

→

，BC

→

C．BC

→

，CB

→

D．AB

→

，DA

→

【解析】由于AB

→

，DA

→

不共線，所以是一組基底．

通過練習鞏固本節

所學知識，通過學

生解決問題的能

力，感悟其中蘊含

的數學思想，增強

學生的應用意識。

【答案】D

2．已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，其中e電腦開機藍屏 1，e2不共線，則a＋b與

c＝6e1－2e2的關系是()

A．不共線B．共線C．相等D．不確定

【解析】∵a＋b＝3e1－e2，∴c＝2(a＋b)，

∴a＋b與c共線．

【答案】B

3．如圖，在矩形ABCD中，若BC

→

＝5e1，DC

→

＝3e2，則OC

→

＝()

A．

1

2

(5e1＋3e2)B．

1

2

(5e1－3e2)

C．

1

2

(3e2－5e1)D．

1

2

(5e2－3e1)

【解析】OC

→

＝

1

2

AC

→

＝

1

2

(BC

→

＋AB

→

)

＝

1

2

(BC

→

＋DC

→

)＝

1

2

(5e1＋3e2)．

【答案】A

4．已知A，B，D三點共線，且對任一點C，有CD

→

＝

4

3

CA

→

＋CB

→

，則

＝()

A．

2

3

B．

1

3

C．－

1

3

D．－

2

3

【解析】∵A，B，D三點共線，

∴存在實數t，使AD

→

＝tAB

→

，則CD

→

－CA

→

＝t(CB

→

－CA

→

)，即CD

→

＝CA

→

＋

定理部分講解比較到位,把總結和找關鍵詞的機會給學生,充分發揮了學生的主觀能動性,掌握的

效果也比較好。為了理解定理中的關鍵詞適當插入思考鞏固,效果比較好,幫助學生加深印象。

平面向量基本定理的出現如果是由教師直接給出,在自我鑒定大專 定理給出之后讓學生觀看例題板演然后練習

鞏固,這樣就完全體現不出來新課程的數學教學理念,因為在新課程的結束的英文短語 理念中重點強調了,教師在

進行數學教學時要充分考慮到數學學科的特點,針對不同水平、不同興趣學生的學習需要,運用

多種教學方法和手段引導學生積極主動的學習。

t(CB

→

－CA

→

)＝(1－t)CA

→

＋tCB

→

，∴

?

?

?

?

?

1－t＝

4

3

，

t＝，

即＝－

1

3

.

【答案】C

5．已知e1，e2是平面內兩個不共線的向量，a＝3e1－2e2，b＝－2e1＋

e2，c＝7e1－4e2，試用向量a和b表示c.

【解】∵a，b不共線，

∴可設c＝xa＋yb，

則xa＋yb＝x(3e1－2e2)＋y(－2e1＋e2)

＝(3x－2y)e1＋(－2x＋y)e2＝7e1－4e2.

又∵e1，e2不共線，

∴

?

?

?

?

?3x－2y＝7，

－2x＋y＝－4，

解得

?

?

?

?

?x＝1，

y＝－2，

∴c＝a－2b.

四、小結

1.平面向量基本定理；

2.基底；

五、作業

習題6.31,11（1）題

通過總結，讓學生

進一步鞏固本節所

學內容，提高概括能

力,提高學生的數學

運算能力和邏輯推

理能力。

高考數學：試卷答題攻略

一、“六先六后”，因人因卷制宜。

考生可依自己的解題習慣和基本功，選擇執行“六先六后”的

戰術原則。1.先易后難。2.先熟后生。3.先同后異。先做同科同類

型的題目。4.先小后大。先做信息量少、運算量小的題目，為解決

大題贏得時間。5.先點后面。高考數學解答題多呈現為多問漸難式

的“梯度題”，解答時不必一氣審到底，應走一步解決一步，步步

為營，由點到面。6.先高后低。即在考試的后半段時間，如估計兩

題都會做，則先做高分題;估計兩題都不易，則先就高分題實施

“分段得分”。

二、一慢一快，相得益彰，規范書寫，確保準確，力爭對

全。

審題要慢，解答要快。在以快為上的前提下，要穩扎穩打，步

步準確。假如速度與準確不可兼得的話，就只好舍快求對了。

三、面對難題，以退求進，立足特殊，發散一般，講究策

略，爭取得分。

對于一個較一般的問題，若一時不能取得一般思路，可以采取

化一般為特殊，化抽象為具體。對不能全面完成的題目有兩種常用

方法：1.缺步解答。將疑難的問題劃分為一個個子問題或一系列的

步驟，每進行一步就可得到一步的分數。2.跳步解答。若題目有兩

問，第一問做不上，可以第一問為“已知”，完成第二問。

四、執果索因，逆向思考，正難則反，回避結論的肯定與否

定。

對一個問題正面思考受阻時，就逆推，直接證有困難就反證。

對探索性問題，不必追求結論的“是”與“否”、“有”與

“無”，可以一開始，就綜合所有條件，進行嚴格的推理與討論，

則步驟所至，結論自明。理綜求準求穩求規范

第一：認真審題。審題要仔細，關鍵字眼不可疏忽。不要以為

是“容易題”“陳題”就一眼帶過，要注意“陳題”中可能有“新

意”。也不要一眼看上去認為是“新題、難題”就畏難而放棄，要

知道“難題”也可能只難在一點，“新題”只新在一處。

第二：先易后難。試卷到手后，迅速瀏覽一遍所有試題，本著

“先易后難”的原則，確定科學的答題順序，盡量減少答題過程中

的學科轉換次數。高考試題的組卷原則是同類題盡量按由易到難排

列，建議大家由前向后順序答題，遇難題千萬不要糾纏。

第三：選擇題求穩定。做選擇題時要心態平和，速度不能太

快。生物、化學選擇題只有一個選項，不要選多個答案;對于沒有

把握的題，先確定該題所考查的內容，聯想平時所學的知識和李官 方法

選擇;若還不能作出正確選擇，也應猜測一個答案，不要空題。物

理題為不定項選擇，在沒有把握的情況下，確定一個答案后，就不

要再猜其他答案，否則一個正確，一個錯誤，結果還是零分。選擇

題做完后，建議大家立即涂卡，以免留下后患。

第四：客觀題求規范。①用學科專業術語表達。物理、化學和

生物都有各自的學科語言，要用本學科的專業術語虎跟狗屬相合不合 和規范的表達方

式來組織答案，不能用自造的詞語來組織答案。②敘述過程中思路

要清晰，邏輯關系要嚴密，表述要準確，努力達到言簡意賅，切中

要點和關鍵。③既要規范書寫又要做到文筆流暢，不寫病句和錯別

字，特別是專業名詞和概念。④遇到難題，先放下，等做完容易的

題后，再解決，盡量回憶本題所考知識與我們平時所學哪部分知識

相近、平時老師是怎樣處理這類問題的。⑤盡量不要空題，不會做

的，按步驟盡量去解答，努力抓分。記住：關鍵時候“濫竽”也是里根總統

可以“充數”的。