雞兔同籠假設法

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雞兔同籠問題講解及習題

雞兔同籠問題是按照題目的內容涉及到雞與兔而命名的，它是一

類有名的中國古算題。許多小學算術應用題，都可以轉化為雞兔同籠

問題來加以計算。

例1小梅數她家的雞與兔，數頭有16個，數腳有44只。問：

小梅家的雞與兔各有多少只?

分析：假設16只都是雞，那么就應該有216＝32(只)腳，但

實際上有44只腳，比假設的情況多了44—32＝12(只)腳，出現這種

情況的原因是把兔當作雞了。

如果我們以同樣數量的兔去換同樣數量的雞，那么每換一只，頭

的數目不變，腳數增加了2只。因此只要算出12里面有幾個2，就

可以作文格子 求出兔的只數。‘

解：有兔(44—216)(4—2)＝6(只)，

有雞16—6＝10(只)。

答：有6只兔，10只雞。

當然，我們也可以假設16只都是兔子，那么就應該有416＝

64(只)腳，但實際上有44只腳，比假設的情況少了64—44＝2職位目標 0(只)

腳，這是因為把雞當作兔了。我們以雞去換兔，每換一只，頭的數目

不變，腳數減少了4—2＝2(只)。因此只要算出20里面有幾個2，就

可以求出雞的只數。有雞(416—44)(4—2)＝10(只)，有兔16—

10＝6(只)。

由例1看出，解答雞兔同籠問題通常采用假設法，可以先假設都

是雞，然后以兔換雞；也可以先假設都是兔，然后以雞換兔。因此這

類問題也叫置換問題。

例2100個和尚140個饃，大和尚1人分3個饃，小和尚1人

分1個饃。問：大、小和尚各有多少人?

分析與解：本題由中國古算名題“百僧分饃問題”演變而得。如

果將大和尚、小和尚分別看作雞和兔，饃看作腿，那么就成了雞兔同

籠問題，可以用假設法來解。

假設100人全是大和尚，那么共需饃300個，比實際多300—140

＝160(個)。現在以小和尚去換大和尚，每換一個總人數不變，而饃

就要減少3—1＝2(個)，因為1602＝80，故小和尚有80人，大和

尚有100—80＝20(人)。同樣，也可以假設100人都是小和尚，同學

們不妨自己試試。

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在下面的例題中，我們只給出一種假設方法。

例3彩色文化用品每套19元，普通文化用品每套11元，這兩

種文化用品共買了16套，用錢280元。問：兩種文化用品各買了多

少套?

分析與解：我們設想有一只“怪雞”有1個頭11只腳，一種“怪

兔”有1個頭19只腳，它們共有16個頭，280只腳。這樣，就將買

文化用品問題轉換成雞兔同籠問題了。

假設買了16套彩色文化用品，則共需1916＝304(元)，比實際多

304－280＝24(元)，現在用普通文化用品去換彩色文化用品，每換一

套少用19—11＝8(元)，所以買普通文化用品248＝3(套)，買彩

色文化用品16－3＝13(套)。

例4雞、兔共100只，雞腳比兔腳多20只。問：雞、兔各多

少只?

分析：假設100只都是雞，沒有兔，那么就有雞腳200只，而兔

的腳數為零。這樣雞腳比兔腳多200只，而實際上只多20只，這說

明假設的雞腳比兔腳多的數比實際上多200－20＝180(只)。

現在以免換雞，每換一只，雞腳減少2只，兔腳增加4只，即雞

腳比兔腳多的腳數中就會減少4＋2＝6(只)，而1806＝30，因此有

兔子30只，雞100－30＝70(只)。

解：有兔(2100—20)(2＋4)＝30(只)，

有雞100－30＝70(只)。

答：有雞70只，兔30只。

例5現有大、小油瓶共50個，每個大瓶可裝油4千克，每個

小瓶可裝油2千克，大瓶比小瓶共多裝20千克。問：大、小瓶各有

多少個?

分析：本題與例4非常類似，仿照例4的解法即可。

解：小瓶有(450—20)(4+2)＝30得了性疾病有什么癥狀 (個)，

大瓶有50—30＝20(個)。

答：有大瓶20個，小瓶30個。

例6一批鋼材，用小卡車裝形容幸福的成語 載要45輛，用大卡車裝載只要36

輛。已知每輛大卡車比每輛小卡車多裝4噸，那么這批鋼材有多少噸?

分析：要算出這批鋼材有多少噸，需要知道每輛大卡車或小卡車

能裝多少噸。

利用假設法，假設只用36輛小卡車來裝載這批鋼材，因為每輛

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大卡車比每輛小卡車多裝4噸，所以要剩下436＝144(噸)。根據

條件，要裝完這144噸鋼材還需要45—36＝9(輛)小卡車。這樣每輛

小卡車能裝1449＝16(噸)。由此可求出這批鋼材有多少噸。

解：436(45—36)45＝720(噸)。

答：這批鋼材有720噸。

例7樂樂百貨商店委托搬運站運送500只花瓶，雙方商定每只

運費0．24元，但如果發生損壞，那么每打破一只不僅不給運費，而

且還要賠償1．26元，結果搬運站共得運費115．5元。問：搬運過

程中共打破了幾只花瓶?

分析：假設500只花瓶在搬運過程中一只也沒有打破，那么應得

運費0．24500＝120(元)。實際上只得到115．5元，少得120—115．5

二4．5(元)。搬運站每打破一只花瓶要損失0．24＋1．26＝1．5(元)。

因此共打破花瓶4．51．5＝3(只)。

解：(0．24500－115．5)(0．24＋1．26)＝3(只)。

答：共打破3只花瓶。

例8小樂與小喜一起跳繩，小喜先跳了2分鐘，然后兩人各跳

了3分鐘，一共跳了780下。已知小喜比小樂每分鐘多跳12下，那

么小喜比小樂共多跳了多少下?

分析與解：利用假設法，假設小喜的跳繩速度減少到與小樂一樣，

那么兩人跳的總數關于春天的四字成語 減少了12(2+3)＝60(下)。可求出小樂每分鐘跳

(780－60)(2+3+3)＝90(下)，

小樂一共跳了903＝270(下)，因此小喜比小樂共多跳

780—2702＝240(下)。

練習題

1．雞、兔共有頭100個，腳350只，雞、兔各有多少只?

2．學校有象棋、跳棋共26副，2人下一副象棋，6人下一副跳

棋，恰好可供120個學生進行活動。問：象棋與跳棋各有多少副?

3．班級購買活頁簿與日記本合計32本，花錢74元。活頁簿每本

L9元，日記本每本3．1元。問：買活頁簿、日記本各幾本?

4．龜、鶴共有100個頭，鶴腿比龜腿多20只。問：龜、鶴各幾

只?

5．小蕾花40樊南生 元錢買了14張賀年卡與明信片。賀年卡每張3元

5角，明信片每張2元5角。問：賀年卡、明信片各買了幾張?

6．一個工人植樹，晴天每天植樹20棵，雨天每天植樹12棵，

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他接連幾天共植樹112棵，平均每天植樹14棵。問：這幾天中共有

幾個雨天?

7．振興小學六年級舉行數學競賽，共有20道試題。做對一題

得5分，沒做或做錯一題都要扣3分。小建得了60分，那么他做對

了幾道題?

8．有一批水果，用大筐80只可裝運完，用小筐120只也可裝運

完。已知每只大筐比每只小筐多裝運20千克，那么這批水果有多

少千克?

9．蜘蛛有8條腿，蜻蜓有6條腿和2對翅膀，蟬有6條腿和1

對翅膀。現有三種小蟲共18只，有118條腿和20對翅膀。問：每種

小蟲各有幾只?

10．雞、兔共有腳100只，若將雞換成兔，兔換成雞，則共有腳

92只。問：雞、兔各幾只?