數(shù)學(xué)史概論

數(shù)學(xué)史研究之微積分的發(fā)展

這學(xué)期，我選修了數(shù)學(xué)史這門課程，聽了一個學(xué)期下來，隨著老師的精心講解，我

對數(shù)學(xué)又有了重新的認識，以前只是學(xué)習(xí)、做題，數(shù)學(xué)題倒是做了不少，可是真要說對

數(shù)學(xué)的認識，還有很大的差距，甚至連概念都數(shù)不清楚，所以，想要學(xué)好數(shù)學(xué)，對數(shù)學(xué)

史的研究必不可少。數(shù)學(xué)史，顧名思義，分開來理解，數(shù)學(xué)與歷史，他的研究對象涉及

到數(shù)學(xué)以及歷史，所以和傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)研究方法又不同，他著重于研究過去歷史上的數(shù)學(xué)

方法，數(shù)到歷史，他又為我們展現(xiàn)了數(shù)學(xué)的一個發(fā)展過程，帶我們走過了幾千年的數(shù)學(xué)

歷史，從簡單到復(fù)雜，逐步為我們剖析，使我們對數(shù)學(xué)的發(fā)展過程有了大概的了解，作

為一個當(dāng)代大學(xué)生，我想大家都有必要了解這些，數(shù)學(xué)在當(dāng)今社會已變得越來越重要以

及普遍，幾乎涉及到每個方面，所以學(xué)好數(shù)學(xué)對每一個人的思維鍛煉有很大好處。

談到高等數(shù)學(xué)，大學(xué)生能應(yīng)該都知道，這是大學(xué)必修的基礎(chǔ)學(xué)科。而其中微積分又

是重中之重，貫穿整個高等數(shù)學(xué)，以及其他理工課程。學(xué)好微積分，對深入學(xué)習(xí)一些課

程很重要。微積分的創(chuàng)立，被譽為“人類精神的最高勝利”。在18世紀(jì)，微積分進一步

深入發(fā)展，這種發(fā)展與廣泛的應(yīng)用緊密交織在一起，刺激和推動了許多數(shù)學(xué)新分支的產(chǎn)

生，從而形成了“分析”這樣一個在觀念上和方法上都具有鮮明特點的數(shù)學(xué)領(lǐng)域。在數(shù)

學(xué)史上，18世紀(jì)可以說是分析的時代，也是向現(xiàn)代數(shù)學(xué)過度的重要時期。

微積分學(xué)的觸角幾乎遍至當(dāng)今科學(xué)的各個角落,是當(dāng)代科學(xué)大廈的重要石,微積分的

發(fā)展過程是數(shù)學(xué)家集體智慧的結(jié)晶。微積分的發(fā)展大致可分為以下4個階段:早期萌芽,

醞釀時期,創(chuàng)建期,發(fā)展完善期。

一：早起萌芽

微積分，顧名思義，涉及到微分與積分，他們的發(fā)展是獨立的，接下來我想大家分

別介紹。

1．積分學(xué)

積分學(xué)的思想萌芽可以追溯到古代,因為面積與體積的計算自古以來一直是數(shù)學(xué)家

們感興趣的課題,這里介紹幾位具有突出貢獻的數(shù)學(xué)家以及他們的學(xué)術(shù)理論,他們的理論

代表著數(shù)學(xué)研究的思想、精神和方法。

古希臘數(shù)學(xué)家歐多克斯(約公元前410-前347年)發(fā)展安提豐的“窮竭法”為“設(shè)給

定兩個不相等的量,如果以較大的量減去比它的一半大的量,再以所得量減去比這個量的

一半大的量,繼續(xù)重復(fù)這一過程,必有某個量將小于給定的較小的量”。歐多克斯的窮竭

法可看作微積分的第一步,但沒有明確地用極限概念,也回避了“無窮小”概念,并證明

了“棱椎體積是同等同高的棱柱體積的三分之一”。古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德(公元前287

-前212)在《處理力學(xué)問題的方法》一文中闡明了“平衡法”,即“將需要求積的量(面

積、體積等)分成許多微小單元(如微小線段、薄片等),再用另一組微小單元來進行比較,

而后一組小單元的總和是可以計算的,但它要借助于海洋性貧血 杠桿的平衡原理來計算”。實質(zhì)上

“平衡法”是一種原始的“積分法”。阿基米德用“平衡法”證明了球體積公式:球體

積=

4

3

3R??,且等于外切圓柱體積的

2

3

。

中國數(shù)學(xué)家劉徽(生于公元263年),發(fā)明了“割圓術(shù)”———“割之彌細,所失彌少,

割之又割,以至于不可割,則與圓合體而無所失矣”,并求得圓周率≈3.14。

祖暅(5世紀(jì)-6世紀(jì)),解決了劉徽絞盡腦汁未果的求球體積問題,祖用的方法是祖氏

定理“冪勢既同,則積不容異”和“岀入相補原理”,祖暅的球體積公式為V球=

1

6

3D??(D為球的直徑)。

2．微分學(xué)

與積分學(xué)相比,微分學(xué)的起源則要晚得多,早期應(yīng)用微分學(xué)思想是靜止的,不是動態(tài)

的,與現(xiàn)代微積分相差甚遠。

二：醞釀時期

15,16世紀(jì)在歐洲文藝復(fù)興的高潮中,數(shù)學(xué)的發(fā)展與科學(xué)的革命緊密結(jié)合在一起,提

出了以下亟待解決的問題:

(1)如何確定非勻速運動物體的速度與加速度及瞬時變化率問題。

(2)望遠鏡的設(shè)計需要確定透鏡曲面上任意一點的法線,求任意曲線切線的連續(xù)變化

問題。

(3)確定炮彈的最大射程及尋求行星軌道的近日點與遠日點等涉及的函數(shù)極大值、

極小值問題。

(4)行星沿軌道運動的路程、行星矢徑掃過的面積以及物體重心與引力的計算等。

為解決科學(xué)發(fā)展所帶來的一系列問題,17世紀(jì)上半葉被人們遺忘千年的微積分重又

成為重點研究對象,幾乎所有的科學(xué)大師都竭力尋求這些問題的解決方法,有代表性的成

果有以下幾個方面:

1．開普勒與旋轉(zhuǎn)體體積

德國天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家開普勒(1571-1630)在1615年發(fā)表的《測量酒桶的新立體幾

何》中,采用“用無數(shù)個同維無限小元素之和來確定曲邊形的面積及旋轉(zhuǎn)體的體積”。例

如,他認為球的體積是無數(shù)個小圓錐的體積的和,這些圓錐的頂點在球心日本簽證要求 ,底面則是球的

一部分;他又把圓錐面看作極薄的圓盤之和,并由此計算出它的體積,然后得出球體體積

為:球的半徑乘以球面面積的三分之一(V=R42R??

1

3

)。

2．卡瓦列里不可分量原理

意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列里(1598-1647)在《用新方法促進的連續(xù)不可分量的幾何學(xué)》

中發(fā)展了系統(tǒng)的不可分量方法:“兩個等高的立體,如果它們的平行于底面且離開底面有

相等距離的截面望洞庭湖贈張丞相 面積之比為定值,那么這兩個立體的體積之間也有同樣的比”(當(dāng)比為1:

1時,就是祖原理,只不過相差1000多年),并于1639年利用平面上不可分量原理建立了等

價于積分

a

1

0

1

n

n

a

xdx

n

?

??

?

?的基本結(jié)果,使早期積分突破體積計算的現(xiàn)實原型而向一般

算法過渡。

3．沃利斯“無窮算術(shù)”

英國數(shù)學(xué)家沃利斯(1616-1703)是牛頓和萊布尼茨之前將分析方法引入微積分貢

獻最大的數(shù)學(xué)家,并在《無窮算術(shù)》中用“分析”的途徑發(fā)展積分法,并獲得許多重要成

果,比如將冪函數(shù)積分公式

a

1

0

1

n

n

a

xdx

n

?

??

?

?推及到分數(shù)冪

??

??

1

0

1p+q

a

pq

pqpqq

aq

xdxa

pq

?

?????

?

?,不過沃利斯僅對q=1的特例給出了證明。

4．笛卡爾“圓法”

法國數(shù)學(xué)家笛卡爾(1596-1650)在《幾何學(xué)》中提到了用代數(shù)方法求切線的方法

———“圓法”。笛卡爾的代數(shù)方法在推動微積分的早期發(fā)展方面有很大的影響,牛頓

就是以笛卡爾的“圓法”為起跑點而踏上研究微積分的道路的。

5．費馬求極大值與極小值的方法

法國業(yè)余數(shù)學(xué)家費馬(1601-1665)在給梅森的一封信中提出了求極大值與極小值

的代數(shù)的方法。按費馬的方法,設(shè)函數(shù)f(x)在點a處取值,用a+e代替原來的未知量a,

并使f(a+e)與f(a)逼近,消去公共項后,用e除兩邊再令e消失,即

0

()()

0

a

faefa

e

?

??

??

?

??

??

,此方程求得的a就是f(x)的極值點。

6．巴羅微分三角

英國數(shù)學(xué)家巴羅(1630-1677)在《幾何講義》中應(yīng)用“微分三角形”給出了求曲線

切線的方法,這對于他的學(xué)生牛頓完成微積分理論起到了重要作用。

三：微積分學(xué)的創(chuàng)建

微積分學(xué)是由牛頓與萊布尼茨分別獨立創(chuàng)建的。

1.牛頓的“流數(shù)術(shù)”

英國數(shù)學(xué)家牛頓(1642-1727)于1665年11月發(fā)明“正流數(shù)術(shù)”(微分法),1666年5

月建立“反流數(shù)術(shù)”(積分法)。1666年10月,牛頓將前兩年的工作總結(jié)為《流數(shù)簡論》,

明確了現(xiàn)代微積分的基本方法,是歷史上第1篇系統(tǒng)的微積分文獻。牛頓將自古希臘以來

的求解無限小問題的各種技巧統(tǒng)一為兩類普通的算法)———正、反流數(shù)術(shù)(流數(shù)就是

微商),并證明了二者的互逆關(guān)系,將這兩類運算進一步統(tǒng)一成整體,這是他超越前人的功

績,也正是在這樣的定義下,我們說牛頓發(fā)明了微積分。應(yīng)用微積分理論,牛頓在1687-

1693年里相繼發(fā)表了《運用無限多項方程的分析豬的網(wǎng)名 》(《分析學(xué)》)、《流數(shù)術(shù)與無窮級數(shù)》

(《流數(shù)法》)、《曲線求積術(shù)》(《求積術(shù)》)。在這些文獻中他改變了自己對無限小

量的依賴,提出了極限方法的先導(dǎo)“首末比方法”,第1次引進流數(shù)記號,一次流數(shù)x,y,z,

二次流數(shù)

x

??

,y

??

,z

??

??????等。

2.萊布尼茨

德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨(1646-1716)是從巴羅的“微分三角形”切入微積分研究工

作的,他在研究“微分三角形”時認識到:“求曲線的切線依賴于縱坐標(biāo)的差值與橫坐標(biāo)

的差值在變成無限小時之比;求曲線的面積則依賴于無限小區(qū)間上的縱坐標(biāo)之和”。早

在1666年,萊布尼茨在《組合藝術(shù)》一書中討論過數(shù)列問題并求得許多重要結(jié)論。1972年

開始,萊布尼茨將他對數(shù)列研究的結(jié)果與微積分運算結(jié)合起來,1675年10月29日的一份手

稿中,他決定用sum拉長的s,∫表示積分,1676年11月,萊布尼茨已經(jīng)能夠給出冪函數(shù)的

微分與積分公式:1eedxex??dx與

1

1

e

e

x

xdx

e

?

?

?

?(其中不一定是正整數(shù))。1677年,

萊布尼茨在一篇手稿中明確陳述了微積分基本定理

()()()

b

a

fxdxFbFa???)。

3．優(yōu)先權(quán)之爭

瑞士數(shù)學(xué)家德丟勒于1699年在一本小冊子中提出:“牛頓是微積分的第一發(fā)明人”

“萊布尼茨是微積分的第二發(fā)明人”。從而引發(fā)了牛頓與萊布尼茨“發(fā)明微積分”優(yōu)先

權(quán)的爭論,這場爭論被稱為“科學(xué)史上最不幸的一章”,并導(dǎo)致了英國與歐洲國家在數(shù)學(xué)

發(fā)展上的分道揚鑣。事實上,牛頓與萊布尼茨是相互獨立的發(fā)明微積分的。

四：微積分的完善時期

牛頓與萊布尼茨的微積分還只能說是姍姍學(xué)步的孩童時期,還很不完善對勾怎么打出來 ,歷經(jīng)眾多數(shù)

學(xué)大家的發(fā)展才有了今天的面貌,主要代表人物有:瑞士數(shù)學(xué)家歐拉(1707———1783)在

1748年出版的《無限小分析引論》以及隨后發(fā)表的《微分學(xué)》和《積分學(xué)》中同時引進

了一批標(biāo)準(zhǔn)的符號,如:f(x)—函數(shù)符號,—求和符號,e—自然對數(shù)底,i—虛

數(shù)號等等,對分析表達的規(guī)范化起了重要作用。法國數(shù)學(xué)家柯西(1789-1851)在《分析

教程》和《無限小計算教程概論》中,以嚴格化為目標(biāo),對微積分的基本概念如變量、函

數(shù)、極限、連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)、微分等給出了明確的定義,并在此基礎(chǔ)上重建關(guān)于元宵節(jié)的手抄報 和拓展了微積

分的一些重要事實與定理,如證明連續(xù)函數(shù)的積分(作為和式的極限)的存在性、證明級

數(shù)Sn收斂的判別準(zhǔn)則、中值定理等,柯西的工作向分析的全面嚴格化邁出了關(guān)鍵辯論賽題目 的一

步。但由于實數(shù)系的不明確,微積分還不夠完善,邏輯上仍存在著一些問題,這導(dǎo)致了19

世紀(jì)后半葉數(shù)學(xué)史上著名的“分析算術(shù)化”運動。德國數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯(1815-

1897)認為實數(shù)系是解決極限與連續(xù)等概念的關(guān)鍵,從而成為全部分析的本源。要使分析

嚴格化,必須使實數(shù)系嚴格化,最可靠的辦法是按照嚴密的推理將實數(shù)歸結(jié)為

整數(shù)(有理數(shù)),這樣分析的所有概念便可由整數(shù)導(dǎo)出,使以往的漏洞和缺陷都能得以填

補。這就是“分析算術(shù)化”綱領(lǐng)。維爾斯特拉斯和他的學(xué)生們?yōu)閷崿F(xiàn)這一綱領(lǐng)付出了艱

苦的努力并獲得了很大的成功?，F(xiàn)代的-語言就是由他創(chuàng)造的,也為他博

得了“現(xiàn)代分析之父”的稱號。

微積分學(xué)至此基本發(fā)展完善。

以上是我對微積分學(xué)的發(fā)展的一個描述，相信通過這篇論文，我已經(jīng)對微積分有了

更深了解，對我的數(shù)學(xué)知識得到了更大的補充，對數(shù)學(xué)史上的成就也有了更深的了解，

學(xué)好數(shù)學(xué)很重要。

參考文獻：

1．《數(shù)學(xué)史概論》李文林高等教育出版社

2．《微積分發(fā)展概論》（美）卡爾.B.波耶復(fù)旦大學(xué)出版社