直角三角形怎么畫

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第1章直角三角形

1.1直角三角形的性質(zhì)和判定（Ⅰ）

一、復(fù)習(xí)提問：（1）什么叫直角三角形？

（2）直角三角形是一類特殊的三角形，除了具備三角形的性質(zhì)外，還具備哪些性質(zhì)?

（一）直角三角形性質(zhì)定理1：直角三角形的兩個銳角互余。

練習(xí)1（1）在直角三角形中，有一個銳角為520，那么另一個銳角度數(shù)

（2）在Rt△ABC中，∠C=900，∠A-∠B=300，那么∠A=，∠B=。

練習(xí)2在△ABC中，∠ACB=900，CD是斜邊AB上的高，那么，（1）與∠B互余的角

有（2）與∠A相等的角有。（3）與∠B相等的角有。

（二）直角三角形的判定定理1

提問：“在△ABC中，∠A+∠B=900那么△ABC是直角三角形嗎？”

歸納：有兩個銳角互余的三角形是直角三角形

練習(xí)3:若∠A=600，∠B=300，那么△ABC是三角形。

（三）直角三角形性質(zhì)定理2

直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。

三、鞏固訓(xùn)練：

練習(xí)4：在△ABC中，∠ACB=90，CE是AB邊上的中線，那么與CE相等

的線段有_________，與∠A相等的角有_________，若∠A=35，那么∠ECB=

_________。

練習(xí)5：已知：∠ABC=∠ADC=90O，E是AC中點。

求證：（1）ED=EB

(2)∠EBD=∠EDB

（3）圖中有哪些等腰三角形？

練習(xí)6已知：在△ABC中，BD、CE分別是邊AC、AB上的高，M是BC的中點。

如果連接DE,取DE的中點O,那么MO與DE有什么樣的關(guān)系存在?

1.1直角三角形的性質(zhì)和判定（Ⅰ）

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E

D

C

B

A

提出命題：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

證明命題：（教師引導(dǎo)，學(xué)生討論，共同完成證明過程）

推理證明思路：①作點D1②證明所作點D1具有的性質(zhì)③證明點D1與點D重合

應(yīng)用定理：

例1、已知：如圖，在△ABC中，∠B=∠C，AD是∠BAC的平分線，

E、F分別AB、AC的中點。

求證：DE=DF

分析：可證兩條線段分別是兩直角三角形的斜邊上的中線，

再證兩斜邊相等即可證得。

（上一題我們是兩個直角三角形的一條較長直角邊重合，現(xiàn)在我們將圖形變化使

斜邊重合，我們可以得到哪些結(jié)論？）

練習(xí)變式：

1、已知：在△ABC中，BD、CE分別是邊AC、AB上的高，F(xiàn)是BC的中點。

求證：FD=FE

練習(xí)引申：

（1）若連接DE，能得出什么結(jié)論？

（2）若O是DE的中點，則MO與DE存在什么結(jié)論嗎？

上題兩個直角三角形共用一條斜邊，兩個直角三角形位于斜邊的同側(cè)。如果共用一

條斜邊，兩個直角三角形位于斜邊的兩側(cè)我們又會有哪些結(jié)論？

2、已知：∠ABC=∠ADC=90，E是AC中點。你能得

到什么結(jié)論？

例2、求證：一個三角形一邊上的中線等于這一邊的一半，那么這個三角形是直角

三角形。P4

練習(xí)P42

(四）、作業(yè)：P7習(xí)題A組1、2

1.1直角三角形的性質(zhì)和判定（Ⅰ）

F

E

D

C

B

A

O

F

E

D

C

B

A

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一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

1直角三角形有哪些性質(zhì)？

(1)兩銳角互余；（2）斜邊上的中線等于斜邊的一半

2按要求畫圖：

（1）畫∠MON，使∠MON=30，

(2)在OM上任意取點P，過P作ON的垂線PK，垂足為K，量一量PO,PK的長度，PO,PK

有什么關(guān)系？

(3)在OM上再取點Q,R，分別過Q,R作ON的垂線QD,RE,

垂足分別為D,E，量一量QD，OQ，它們有什么關(guān)系？量

一量RE,OR，它們有什么關(guān)系？

由此你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

直角三角形中，如果有一個銳角等于30，那么

它所對的直角邊等于斜邊的一半。

為什么會有這個規(guī)律呢？這節(jié)課我們來研究這個問題.

二、合作交流，探究新知

1探究直角三角形中，如果有一個銳角等于30，那么它所對的直角邊為什么等于

斜邊的一半。

如圖，Rr△ABC中，∠A=30，BC為什么會等于

1

2

AB

分析：要判斷BC=

1

2

AB,可以考慮取AB的中點，如果如

果BD=BC，那么BC=

1

2

AB，由于∠A=30,所以∠B=60,

如果BD=BC,則△BDC一定是等邊三角形，所以考慮判斷△BDC是等邊三角形，你會判

斷嗎？

由學(xué)生完成

歸納：直角三角形中，如果有一個銳角等于30，那么它所對的直角邊等于

斜邊的一半。

這個定理的得出除了上面的方法外，你還有沒有別的方法呢？

先讓學(xué)生交流，得出把△ABC沿著AC翻折，利用等邊三角形的性質(zhì)證明。

2上面定理的逆定理

D

C

B

A

K

P

O

M

D

C

B

A

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上面問題中，把條件“∠A=30”與結(jié)論“BC=

1

2

AB”交換，結(jié)論還成立嗎？

學(xué)生交流

方法（1）取AB的中點，連接CD，判斷△BCD是等邊三角形，得出∠B=60,從而

∠A=30

（2）沿著AC翻折，利用等邊三角形性質(zhì)得出。

（3）你能把上面問題用文字語言表達(dá)嗎？

歸納：直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所

對的角等于30度。

三、應(yīng)用遷移，鞏固提高

1、定理應(yīng)用

例1、在△ABC中，△C=90，∠B=15，DE垂直平分AB，垂足為點E，交BC邊于

點D,BD=16cm，則AC的長為______

例2、如圖在△ABC中，若∠BAC=120，AB=AC,AD

⊥AC于點A，BD=3，則BC=______.

2實際應(yīng)用

例3、（P5）在A島周圍20海里水域有暗礁，一輪船由西向東航行到O處時，發(fā)現(xiàn)

A島在北偏東60的方向，且與輪船相距303海里，該輪船如果不改變航向，有觸

礁的危險嗎？

1.2直角三角形的性質(zhì)和判定（Ⅱ）

E

D

C

A

B

D

C

A

B

北

東

B

D

A

O

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勾股定理

（1）三角形的三邊關(guān)系

（2）問題：直角三角形的三邊關(guān)系，除了滿足一般關(guān)系外，另外的特殊關(guān)系嗎？

2、定理的獲得讓學(xué)生用文字語言將上述問題表述出來．

勾股定理：直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方

強(qiáng)調(diào)說明：

（1）勾――最短的邊、股――較長的直角邊、弦――斜邊

（2）學(xué)生根據(jù)上述學(xué)習(xí)，提出自己的問題（待定）

3、定理的證明方法

方法一：將四個全等的直角三角形拼成如圖1所示的正方形.

方法二:將四個全等的直角三角形拼成如圖2所示的正方形,

方法三：“總統(tǒng)”法.如圖所示將兩個直角三角形拼成直角梯形

以上證明方法都由學(xué)生先分組討論獲得，教師只做指導(dǎo).最后總結(jié)說明

1、定理的應(yīng)用

練習(xí)P11

例題1、已知：如圖，在△ABC中，∠ACB＝900，AB＝5cm，BC＝3cm，CD⊥AB

于D，求CD的長.

解：∵△ABC是直角三角形，AB＝5，BC＝3，由勾股定理有

∴

又∠2＝∠C

∴CD的長是2.4cm

例題2、如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝900，D是BC上任一點，

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求證：BD2+CD2=2AD2

證法一：過點A作AE⊥BC于E

則在Rt△ADE中，DE2+AE2=AD2

又∵AB＝AC，∠BAC＝900

∵BD2+CD2=(BE-DE)2+(CE+DE)2

=BE2+CE2+2DE2

=2AE2+2DE2

=2AD2

∴即BD2+CD2=2AD2

證法二：過點D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F

則DE∥AC，DF∥AB

又∵AB＝AC，∠BAC＝900

∴EB＝ED，F(xiàn)D＝FC＝AE

在Rt△EBD和Rt△FDC中BD2=BE2+DE2,CD2=FD2+FC2

在Rt△AED中，DE2+AE2=AD2

∴BD2+CD2=2AD2

5、課堂小結(jié)：

（1）勾股定理的內(nèi)容

（2）勾股定理的作用

已知直角三角形的兩邊求第三邊

已知直角三角形的一邊，求另兩邊的關(guān)系

6、作業(yè)布置

P16習(xí)題A組1、2、3

課后反思：

1.2直角三角形的性質(zhì)和判定（Ⅱ）

勾股定理的逆定理

逆定理：如果三角形的三邊長a、b、c有下面關(guān)系：a2+b2=c2,那么這個三角形是

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直角三角形

強(qiáng)調(diào)說明：

（1）勾股定理及其逆定理的區(qū)別

勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，逆定理是直角三角形的判定定理．

（2）判定直角三角形的方法：①角為900②垂直③勾股定理的逆定理

2、定理的應(yīng)用

P15例題3判定由線段a,b,c組成的三角形是不是直角三角形。

（1）a=6,b=8,c=10;

（2）a=12,b=15,c=20.

P15例題4如圖1-21，在△ABC中，已知AB=10，BD=6，AD=8，AC=17.求DC的長。

補(bǔ)充：

1、如果一個三角形的三邊長分別為a2=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2(m＞n)

則這三角形是直角三角形

證明：∵a2+b2=(m2-n2)2+(2mn)2

=m4+2m2n2+n4

=(m2+n2)2

∴a2+b2=c2,∠C＝900

2、已知：如圖，四邊形ABCD中，∠B＝，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13

求四邊形ABCD的面積

解：連結(jié)AC

∵∠B＝，AB＝3，BC＝4

∴∴AC＝5

∵

∴

∴∠ACD＝900

1.2直角三角形的性質(zhì)和判定（Ⅱ）

勾股定理的應(yīng)用

例題：在一棵樹的l0m高的D處有兩只猴子，其中一只猴子爬下樹走到離樹20m處

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的池塘A處，另一只爬到樹頂后直接躍向池塘A處，如果兩只猴子所經(jīng)過的距離相

等，試問這棵樹有多高？

評析：如圖所示，其中一只猴子從D→B→A共走了30m，另一只猴子從D→C→

A也共走了30m,且樹身垂直于地面，于是這個問題可化歸到直角三角形解決．

教師提出問題，引導(dǎo)學(xué)生分析問題、明確題意，用化歸的思想解決問題．

解：設(shè)DC=xm，

依題意得：BD+BA=DC+CA

CA=30－x，BC=l0＋x在RtnABC中222BCABAC??

AC'=AB'+BC

即

????2

2

2102030xx????

解之x=5所以樹高為15m.

二、范例學(xué)習(xí)

如圖，在55的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為1，請在給定網(wǎng)格中

按下列要求畫出圖科技用英語怎么說 形：（1）從點A出發(fā)畫一條線段ＡＢ，使它的另一個端點Ｂ在格

點（即小正方形的頂點）上，且長度為22；（2）畫出所有的以（1）中的ＡＢ為邊

的等腰三角形，使另一個頂點在格點上，且另兩邊的長度都是無理數(shù)．

教師分析只需利用勾股定理看哪一個矩形的對角線滿足要求．

解（1）圖1中AB長度為22．

（2）圖2中△ABC、△ABD就是所要畫的等腰三角形．

例如圖，已知CD＝6m，AD＝8m，∠ADC＝90，BC＝24m，AB＝26m．求圖中陰

影部分的面積．

教師分析：課本圖14.2.7中陰影部分的面積是一個不規(guī)則的圖形，因此我們首

先應(yīng)考慮如何轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的和差形，這是方向，同學(xué)們記住，實際上陰

S

=ABC

S

?

－ACD

S

?，現(xiàn)在只要明確怎樣計算ABC

S

?和ACD

S

?了。

解在Rt△ADC中，

AC2＝AD2＋CD2＝62＋82＝100（勾股定理），∴AC＝10m．

∵AC2＋BC2＝102＋242＝676＝AB2

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∴△ACB為直角三角形（如果三角形的三邊長a、b、c有關(guān)系：a2＋b2＝c2，

那么這個三角形是直角三角形），∴S陰影部分＝Ｓ△ACB－Ｓ△ACD＝1/21024

－1/268＝96（m2）．

評析：這題應(yīng)總結(jié)出兩種思想方法：一是求不規(guī)則圖形的面積方法“將不規(guī)則

圖化成規(guī)則”，二是求面積中，要注意其特殊性.

三、課堂小結(jié)

此課時是運(yùn)用勾股定理和判定直角三角形的勾股逆定理來解決實際問題，解決

這類問題的關(guān)鍵是畫出正確的圖形，通過數(shù)形結(jié)合，構(gòu)造直角三角形，碰到空間曲

面上兩點間的最短距離間題，一般是化空間問題為平面問題來解決．即將空間曲面

展開成平面，然后利用勾股定理及相關(guān)知識進(jìn)行求解，遇到求不規(guī)則面積問題，通

常應(yīng)用化歸思想，將不規(guī)則問題轉(zhuǎn)換成規(guī)則何題來解決．解題中，注意輔助線的使

用．特別是“經(jīng)驗輔助線”的使用．

五、布置作業(yè)

P17習(xí)題A組5、6B組7、8、9

六、課后反思：

1.3直角三角形全等判定

（第7課時）

教學(xué)目標(biāo)

1．使學(xué)生理解判定兩個直角三角形全等可用已經(jīng)學(xué)過的全等三角形判定方法

來判定．

2．使學(xué)生掌握“斜邊、直角邊”公理，并能熟練地利用麻辣燙的配料 這個公理和一般三角

形全等的判定方法來判定兩個直角三角形全等．指導(dǎo)學(xué)生自己動手，發(fā)現(xiàn)問題，探

索解決問題(發(fā)現(xiàn)探索法)．由于直角三角形是特殊的三角形，因而它還具備一般三

角形所沒有的特殊性質(zhì)．因為這是第一次涉及特殊三角形的特殊性，所以教學(xué)時要

注意滲透由一般到特殊的數(shù)學(xué)思想，從而體現(xiàn)由一般到特殊處理問題的思想方法．

教學(xué)重點：“斜邊、直角邊”公理的掌握．

難點：“斜邊、直角邊”公理的靈活運(yùn)用．

教學(xué)手段：剪好的三角形硬紙片若干個

教學(xué)方法：觀察、比較、合作、交流、探索.

教學(xué)過程

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(一)復(fù)習(xí)提問

1．三角形全等的判定方法有哪幾種？

2．三角形按角的分類．

(二)引入新課

前面我們學(xué)習(xí)了判定兩個三角形全等的四種方法——SAS、ASA、AAS、SSS．我

們也知道“有兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等”，這些結(jié)論

適用于一般三角形．我們在三角形分類時，還學(xué)過了一些特殊三角形(如直角三角

形)．特殊三角形全等的判定是否會有一般三角形不適用的特殊方法呢？

我們知道，斜邊和一對銳角對應(yīng)相等的兩個直角三角形，可以根據(jù)“ASA”或

“AAS”判定它們?nèi)龋瑑蓪χ苯沁厡?yīng)相等的兩個直角三角形，可以根據(jù)“SAS”

判定它們?nèi)?

提問：如果兩個直角三角形的斜邊和一對直角邊相等(邊邊角)，這兩個三角形

是否能全等呢？

1．可作為預(yù)習(xí)內(nèi)容

如圖，在△ABC與△A＇B＇C＇中，若AB=A＇B＇，AC=△A＇C＇，∠C=∠C＇=Rt∠，

這時Rt△ABC與Rt△A＇B＇C＇是否全等？

研究這個問題，我們先做一個實驗：

把Rt△ABC與Rt△A＇B＇C＇拼合在一起(教具演示)如圖3-44，因為∠ACB=∠

A＇C＇B＇=Rt∠，所以B、C(C＇)、B＇三點在一條直線上，因此，△ABB＇是一個等

腰三角形，于是利用“SSS”可證三角形全等，從而得到∠B=∠B＇．根據(jù)“AAS”公

理可知，Rt△ABC≌Rt△A＇B＇C＇．

3．兩位同學(xué)比較一下，看看兩人剪下的Rt△是否可以完全重合，從而引出直

角三角形全等判定公理——“HL”公理．

(三)講解新課

斜邊、直角邊公理：有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等(可

以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”)．

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這是直角三角形全等的一個特殊的判定公理，其他判定公理同于任意三角形全

等的判定公理．

練習(xí)

1、具有下列條件的Rt△ABC與Rt△A＇B＇C＇(其中∠C=∠C＇=Rt∠)是否全等？

如果全等在()里填寫理由，如果不全等在()里打“”．

(1)AC=A＇C＇，∠A=∠A＇()

(2)AC=A＇C＇，BC=B＇C＇()

(3)∠A=∠A＇，∠B=∠B＇()

(4)AB=A＇B＇，∠B=∠B＇()

(5)AC=A＇C＇，AB=A＇B＇()

2、如圖，已知∠ACB=∠BDA=Rt∠，若要使△ACB≌△BDA，還需要什么條件？把它

們分別寫出來(有幾種不同的方法就寫幾種)．

理由：()()()()

例題講解

P20例題1如圖1-23，BD,CE分別是△ABC的高，且BE=CD.

求證：Rt△BEC≌Rt△CDB

練習(xí)

3、已知：如圖3-47，在△ABC和△A＇B＇C＇中，CD、C＇D＇分別是高，并且AC=A＇

C＇，CD=C＇D＇，∠ACB=∠A＇C＇B＇．

求證：△ABC≌△A＇B＇C＇．

分析：要證明△ABC≌△A＇B＇C＇，還缺條件，或證出∠A=∠A＇，或∠B=∠B＇，

或再證明邊BC=B＇C＇，觀察圖形，再看已知中還有哪些條件可以利用，容易發(fā)現(xiàn)高

CD和C＇D＇可以利用，利用它可以證明△ACD≌△A＇C＇D＇或△BCD≌△B＇C＇D＇

從而得到∠A=∠A＇或∠B=∠B＇，BC=B＇C＇．找出書寫順序．

證明：(略)．

P20例題2已知一直角邊和斜邊，求作直角三角形。

已知：

第12頁

求作：

作法：（1）

（2）

（3）

則△ABC為所求作的直角三角形。

小結(jié)：由于直角三角形是特殊三角形，因而不僅可以應(yīng)用判定一般三角形全等

的四種方法，還可以應(yīng)用“斜邊、直角邊”公理判定兩個直角三角形全等．“HL”

公理只能用于判定直角三角形全等，不能用于判定一般三角形全等，所以判定兩個

直角三角形的方法有五種：“SAS、ASA、AAS、SSS、LH”

(四)練習(xí)P20練習(xí)1、2．

(五)作業(yè)

P21習(xí)題A組1、2、3、4

(六)板書設(shè)計

（七）課后反思

1.4角平分線的性質(zhì)（1）

（第8課時）

教學(xué)目標(biāo)

1、探索兩個直角三角形全等的條件

2、掌握兩個直角三角形全等的條件（HL）：斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個

直角三角形全等

3、了解并掌握角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點到角兩邊的距離相等；及其

逆定理：角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上；及其簡單應(yīng)用。

教學(xué)重點：直角三角形的判定方法“HL”，角平分線性質(zhì)

難點：直角三角形的判定方法“HL”的說理過程

教學(xué)方法：觀察、比較、合作、交流、探索.

教學(xué)過程

一、引課如圖，AD是△ABC的高，AD把△ABC分成兩個直角三角形，這兩個直

角三角全等嗎？

問題1：圖中的兩個直角三角形有可能全等嗎？什么情況下這兩個直角三角形全

等？

第13頁

由于學(xué)生對等腰三角形有初步的了解，因此教學(xué)中，學(xué)生根據(jù)圖形的直觀，認(rèn)

為這兩個直角三角形全等的條件可能情況有四個:BD＝CD,∠BAD＝∠CAD；∠B＝∠C；

AB＝AC。

問題2：你能說出上述四個可判定依據(jù)嗎？

說明：1．從問題2的討論中，可以使學(xué)生主動發(fā)現(xiàn)判定兩個直角三角形全等時，

直角相等是一個很重要的隱含條件，同時由于有一個直角相等的條件，所以判定兩

個直角三角形全等只要兩個條件。

2．當(dāng)“AB＝AC”時，從圖形的直觀可以估計這兩個直角三角形全等，這時兩個

直角三角形對應(yīng)相等的元素是“邊邊角”，從而有利于學(xué)生形成新的認(rèn)知的沖突

──在上學(xué)期中我們知道，已知兩邊及其一邊的對角，畫出了兩個形狀、大小都不

同的三角形，因此得到“有兩邊及其一邊的對角對應(yīng)相等，這兩個三角形不一定全

等什么是代溝 ”的結(jié)論，那么當(dāng)其中一邊的對角是特殊的直角時，這個結(jié)論能成立嗎？

二、新授

探究1

把兩個直角三角形按如圖擺放，

已知，在△OPD與△OPE中，PD⊥OB，PE⊥OE，

∠BOP=∠AOP，請說明PD=PE。

思路：證明Rt△PDO≌Rt△PEO,得到PD=PE。

歸納結(jié)論：角平分線上的點到角兩邊的距離相等

探究2

把兩個直角三角形按如圖擺放，

已知，在△OPD與△OPE中，PD⊥OB，PE⊥OE，

PD=PE，請說明∠BOP=∠AOP。

請學(xué)生自行思考解決證明過程。

歸納結(jié)論：角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上。（板書）

三、例題講解

P23例題1如圖1-28，∠BAD=∠BCD=900,∠1=∠2.

(1)求證：點B在∠ADC的平分線上

(2)求證：BD是∠ABC的平分線

四、鞏固練習(xí)：

P24練習(xí)1、2

第14頁

（到角兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上，角平分線上的點到兩邊的

距離相等，等腰三角形的判定的綜合應(yīng)用）

變式訓(xùn)練

變式一請學(xué)生根據(jù)圖形出一道證明題，然后不改變條件，讓學(xué)生探究還可以證

明什么？

五、小結(jié)

l．直角三角形是特殊的三角形，所以不僅可以應(yīng)用一般三角形判定全等的方法，還

有直角三角形特殊的判定方法____“HL”公理。

2．兩個直角三角形中，由于有直角相等的條件，所以判定兩個直角三角形全等只須

找兩個條件（兩個條件占至少有一個條件是一對邊相等）。

3、角平分線上的點到角兩邊的距離相等。

4、角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上。

六、布置作業(yè)

P26習(xí)題1.4A組1、2、3

七、課后反思

1.4角平分線的性質(zhì)（2）

（第9課時）

教學(xué)目標(biāo)

1、掌握角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點到角兩邊的距離相等。

2、掌握角平分線的判定：角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上。

3角平分線定理的簡單應(yīng)用

教學(xué)重點：角平分線定理的理解。

難點：角平分線定理的簡單應(yīng)用。

教學(xué)方法：觀察、比較、合作、交流、探索.

教學(xué)過程

一、知識回顧

1、角平分線的性質(zhì)：

2、角平分線的判定：

二、動腦筋

P24如圖1-29，已知EF⊥CD,EF⊥AB,MN⊥AC,M是EF的中點，需要添加

一個什么條件，就可使CN,AM分別為∠ACD和∠CAB的平分線呢？

第15頁

(可以添加條件MN=ME或MN=MF)

理由：∵NE⊥CD,MN⊥CA

∴M在∠ACD的平分線上，即CM是∠ACD的平分線

同理可得AM是∠CAB的平分線。

三、例題講解

P25例題2如圖1-30，在△ABC的外角∠DAC的平分線上任取一點P，作PE⊥DB,PF

⊥AC,垂足分別為點E、F.試探索BE+PF與PB的大小關(guān)系。

四、練習(xí)P25練習(xí)1、2

動腦筋P25

如圖1-31，你能在△ABC中找到一點P，使其到三邊的距離相等嗎？

五、小結(jié)

1、角平分線上的點到角兩邊的距離相等。

2、角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上。

六、布置作業(yè)

P26習(xí)題1.4B組4、5

七、課后反思

第16頁

二、例題講解

例1：已知，Rt△ABC中，∠ACB=90，AB=8cm，D為AB中點，DE⊥AC于E，

∠A=30，求BC，CD和DE的長

分析：由30的銳角所對的直角邊為斜邊的一半，BC可求，由直角三角形斜邊中線

的性質(zhì)可求CD.老子西出函谷關(guān)

在Rt△ADE中，有∠A=30，則DE可求.

解：在Rt△ABC中

∵∠ACB=90∠A=30∴

ABBC

2

1

?

∵AB=8∴BC=4

∵D為AB中點，CD為中線

∴

4

2

1

??ABCD

∵DE⊥AC，∴∠AED=90

第17頁

在Rt△ADE中，

ADDE

2

1

?

，

ABAD

2

1

?

∴

2

4

1

??ABDE

例2：已知：△ABC中，AB=AC=BC（△ABC為等邊三角形）D為BC邊上的中點，

DE⊥AC于E.求證：

ACCE

4

1

?

.

分析：CE在Rt△DEC中，可知是CD的一半，又D為中點，故CD為BC上的一半，

因此可證.

證明：∵DE⊥AC于E，∴∠DEC=90(垂直定義)

∵△ABC為等邊三角形，∴AC=BC∠C=60

∵在Rt△EDC中，∠C=60，∴∠EDC=90-60=30

∴

CDEC

2

1

?

∵D為BC中點，

∴

BCDC

2

1

?

∴

ACDC

2

1

?

∴

ACCE

4

1

?

.

例3：已知：如圖AD∥BC，且BD⊥CD，BD=CD，AC=BC.

求證：AB=BO.

分析：證AB=BD只需證明∠BAO=∠BOA

由已知中等腰直角三角形的性質(zhì)，可知

BCDF

2

1

?

。由此，建立起AE與AC之

間的關(guān)系，故可求題目中的角度，利用角度相等得證.

證明：作DF⊥BC于F，AE⊥BC于E

∵△BDC中，∠BDC=90，BD=CD

∴

BCDF

2

1

?

第18頁

A

B

C

D

E

P

A

B

C

D

E

1

2

3

O

∵BC=AC∴

ACDF

2

1

?

∵DF=AE∴

ACAE

2

1

?

∴∠ACB=30

∵∠CAB=∠ABC，∴∠CAB=∠ABC=75

∴∠OBA=30

∴∠AOB=75

∴∠BAO=∠BOA∴AB=BO

習(xí)題課

1、已知，Rt△ABC中，∠C=90，∠A=50，則∠B=；

2、在Rt△ABC中，∠C=90，則∠A與∠B；

3、在△ABC中，若∠B與∠C互余，則△ABC是三角形。

4、在直角三角形中，斜邊上的中線等于的一半；

5、若△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，則△ABC是三角形；

6、如圖，在△ABC中，∠ACB=90，CD⊥AB，∠A=40，則∠DCB=，∠B=；

7、如圖，直線AB上有一點O，過O點作射線OD、OC、OE，且OC、OE分別是

∠BOD和∠AOD的平分線，則∠1與∠2的大小關(guān)系是，∠1+∠3=

度，OC與OE的位置關(guān)系是。

8、如圖，ABC中，AB=AC=4，P是BC上任意一點，過P作PD⊥AC于D，PE

⊥AB于E，若S

ABC=

6，則PE+PD=。

第19頁

A

B

C

D

E

A

B

C

O

(9)(10)（11）

9、如圖，已知∠ACB=∠BDA=90，要使△ACB≌△BDA，至少還需加上條

件：。

10、如圖，已知AD∥BC，AE平分∠DAB，BE平分∠ABC，則∠E（）

A.大于90B.等于90C.小于90D.無法確定

11、如圖，ABC中，∠A=50，BO、CO分別是∠ABC、∠ACB的平分線，則∠

BOC的度數(shù)是（）

A.115B.110C.105D.130

12、如圖，已知AC⊥BD于C，CF=CD，BF的延長線交AD于點E，且AC=BC。

求證：（1）

D???1

；（2）BE⊥AD。

13、如圖，在Rt△ABC中，∠A=90，∠B=45，

AD為斜邊BC上的高，且AD+BC=12cm，

求BC的長熊貓用英語怎么說 。C

D

AB

14、如圖，AB∥CD，∠BAC和∠ACD的平分線相較于點H，E為AC的中點，EH=2cm，

求AC的長。

AB

EH

CD

15、如圖，在△ABC中，∠B=90，AB=AD，DE⊥AC，垂足為D，∠C=28，

求∠AED的度數(shù)。A

D

A

B

C

D

E

F

1

第20頁儒學(xué)發(fā)展歷程

BEC

16、△ABC中，∠BAC=2∠B，AB=2AC，AE平分∠CAB。求證：AE=2CE。

17、已知，Rt△ABC中麥冬的副作用 ，∠ACB=90，CD⊥AB，CE為AB邊上的中線，

且∠BCD=3∠DCA。

求證：DE=DC。

18、如圖：AB=AC，AD⊥BC于D，AF=FD，AE∥BC且交BF的延長線于E，若AD=9，BC=12，

求BE的長。

19、在△ABC中，∠ACB=90，D是AB邊的中點，點F在AC邊上，DE與CF平行且

相等。

求證：AE=DF。

20、已知，如圖，在△ABC中，∠B=∠C，AD⊥BC于D，E為AC的中點，AB=6，求DE

的長。

第21頁

21、已知:△ABC中,∠ACB=90,CD是高,∠A=30.求證:BD=

1

4

AB.

22、(2008,湖北)已知:如圖,△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于D點,BD=

1

2

AC.

則∠A=_____.

23、已知:如圖,AD為△ABC的高,E為AC上的一點,BE交AD于F,且有BF=AC,FD=CD,

求證:BE⊥AC.

24、如圖3，AD是ABC的中線，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BE=CF，

求證：（1）AD是∠BAC的平分線

（2）AB=AC

A

D

C

B

A

E

D

C

B

F

1

2

A

B

C

1

2

E

F

圖3

D

第22頁

25、已知如圖，AE⊥ED，AF⊥FD，AF=DE，EB⊥AD，F(xiàn)C⊥AD，垂足分別

為B、C.試說明EB=FC.

26、如圖，已知BE⊥AD，CF⊥AD，且BE＝CF．請你判斷AD是△ABC的中線還是角平

分線？請說明你判斷的理由．

A

B

C

D

F

E