平穩信號

傅里葉變換分析信號的缺點

基于傅里葉(Fourier)變換的信號頻域表示,揭示了時間函數和

頻譜函數之間的內在聯系,在傳統的平穩信號分析和處理中發揮了極

其重要的作用,很多理論研究和應用研究都把傅里葉變換當作最基本

的經典工具來使用.但是傅里葉變換存在著嚴重的缺點:用傅里葉變換

的方法提取信號頻譜時,需要利用信號的全部時域信息,這是一種整體

變換,缺少時域定位功能,因此必須對其加以改進.

傅里葉變換的特點及其局限性

設函數f(t)在(-∞,+∞)內有定義,且使廣義積分

F=?

+∞

?∞

(1)

ft=

1

2

+∞

?∞

(2)

都收斂,則稱(1)式定義的廣義積分為函數f(t)的傅里葉變換,記為

F{f(t)},(2)式定義的廣義積分為逆傅里葉變換,記為F?1{F()}。傅里葉變

換可以完成從時域到頻域的轉換(正變換),也可以完成從頻域到時域

的轉換(逆變換),但不能同時具有時域和頻域信息。其核函數是

,

由于三角函數具有填滿整個空間的特性,其在物理空間中是雙向無限

延伸的正弦波,在積分變換中體現為積分范圍從+∞到-∞。因此,傅里葉

變換是先天的非局限性,它對信號f(t)中體現任何局部信息處理都是相

同的。而事實上,工程技術中的許多畫火箭 信號,如:語音信號、地震信號、心

電圖和各種電脈沖,他們的信號值只出現在一個短暫的時間間隔?t內,

以后快速減為零,?t以外是未知的,可能為零,也可能是背景噪音,如果

用(1)式從信號中提取譜信號F(),就要取無限的時間量,使用過去的及

將來的信號只為計算單個頻譜,不能反映出隨時間變化的頻率,實際上

我們需要的是確定的某個時間間隔內的頻譜。這就使人們想到改進傅

里葉變換使其能用來處理某個確定時間范圍內的信號。Gabor提出的

窗口傅里葉變換就是一個有效的方法。

另外,傅里葉變換之所得到廣泛應用與透鏡能實現傅里葉變換是分不

開的。由公式

U

,

=

?

1?

0

2

+

2

0

(

0

,

0

)

?

2

(

0

+

0

)

0

0

其中物平面為(x

0

,y

0

),焦平面為(x

,y

),d0為物距,d1為象平面。要使

U

,

=F{t

0

(x

0

,y

0

)},即準確實現傅里葉光學變換,只有在,d

1

=,d

0

=f

時才能實現,否則將出現位相彎曲。并且,只有正透鏡才能實現傅里葉

變換,這些限制給工程技術中無疑增加了困難。這使得人們不得不尋

求新得的方法,分數傅立葉變換不要求嚴頻譜面,可根據需要在既包含

空域信息也包括空頻域信息的平面上進行處理,這使光學信息處理更

具靈活性。

1傅里葉變換缺乏時間和頻率的定位功能

傅里葉變換及其逆變換表示如下

S=fst=?

+∞

?∞

St=

1

2

?+∞

?∞

由以上兩式可知,傅里葉變換是一種整體變換,對信號的表征要么完全

在時域內,要么完全在頻域內,和t是互相排斥的兩個變量.用傅里葉

變換的方法得到某一個頻率0的頻譜分量S(0),必須從-∞~+∞的整

個時間軸上進行積分.如果要從頻譜得到信號在某一時刻t0的值s(t0),

則需要對S(X)在整個頻率軸上進行積分.因此,傅里葉變換得到的是信

號s(t)在整個時間范圍內的頻率特性,它不能告訴人們在某段時間里

信號發生了什么變化,也無法獲得某一頻率出現的狗晚上能看見嗎 時刻信息,因此,它

不具有時間和頻率的定位功能.

2傅里葉變換對于非平穩信號的局限性

信號的瞬時頻率,表示了信號的譜峰在時間-頻率平面上的位置及其隨

時間的變化情況,一般平穩信號的瞬時頻率為常數,而非平穩信號的瞬

時頻率是時間t的函數.從傅里葉變換變換的表達式可以看出,S(X)是

單變量X的函數,信號的傅里葉變換不隨時間的變化而變化,因此,傅里

葉變換僅僅適用于平穩信號.但是,在實際工作中,我們分析和處理的

往往是時變的或非平穩的信號,它們的頻率隨時間變化而變化,其相關

函數、功率譜等也是時變信號,用傅里葉變換進行分析,得到的信號頻

譜反映的是整體信號中包含的某一頻率分量的平均值.所以傅里葉變

換不能反映信號瞬時頻率隨時間的變化情況,僅僅適用于分析平穩信

號.對頻率隨時間變化的非平穩信號,傅里葉變換只能給出其總體效果,

不能完整地把握信號在某一時刻的本質特征.

3傅里葉變換在時間和頻率分辨率上的局限性

分辨率是信號處理的基本概念之一,包括頻率分辨率和時間

分辨率.在時域分析中,信號處理的目標是盡可能地同時獲得高的時間

分辨率和頻率分辨率.然而,可以證明時域窗和頻域窗乘積恒定且大于

等于1/2,也即不可能同時獲得高的時頻分辨率,這就是著名的不確定

性原理.傅里葉變換在這方面的表現尤其不盡如人意.傅里葉變換可以

改寫成內積的形式,即

S=?dt

+∞

?∞

=<,e>

由于傅里葉變換等效于s(t)和基函數e

做內積,而e

對不同的構

成一族正交基,因此S()精確地反映了s(t)在該頻率點的分量大小.基

函數e

在頻域是位于處的函數,因此,當用傅里葉變換來分析信號

的頻域特性時,具有最好的頻率分辨率.但是,e

在時域對應的是正弦

函數,其在時域的持續時間是-∞~+∞因此,其時域分辨率最差.對于傅

里葉逆變換,分辨率的情況正好相反.這一結果既體現了信號的時頻不

確定性原理,也反映了傅里葉變換在時域和頻域分辨率方面所固有的

矛盾.顯然,傅里葉變換本身不可能根據信號的特性來自動調節時域和

頻域的分辨率.

時頻分析

時頻分析（JTFA）即時頻聯合域分析（JointTime-FrequencyAnalysis）

的簡稱，作為分析時變非平穩信號的有力工具，成為現代信號處理研

究的一個熱點，它作為一種新興的信號處理方法，近年來受到越來越

多的重視。時頻分析方法提供了時間域與頻率域的聯合分布信息，清

楚地描述了信號頻率隨時間變化的關系。

時頻分析的基本思想是：設計時間和頻率的聯合函數，用它同時描述

信號在不同時間和頻率的能量密度或強度。時間和頻率的這種聯合函

數簡稱為時頻分布。利用時頻分布來分析信號，能給出各個時刻的瞬

時頻率及其幅值，并且能夠進行時頻濾波和時變信號研究。信號時頻

分析具有重要的意義。我們很有必要對信號的時頻進行研究分析。

常用的時頻分析方法

時間和頻率是描述信號的兩個最重要的物理量，信號的時域和

頻域之間具有緊密的聯系。根據時間早餐麥片 和頻率之間的關系，信號的時頻

分析的主要方法有：窗口傅立葉變換（Gabor變換）；小波變換；希

爾伯特黃變（Hilbert-HuangTransform，HHT）。

窗口傅里葉變換

窗口傅里葉變換亦稱短時傅里葉變換，它是由Gabor首先系統地使用

的。其基本想法為：傅里葉變換是頻域分析的基本工具，為了達到時

間域上局部化，在傅里葉分析中的基本變換函數之前乘上一個時間上

有限的時限函數，即窗口函數)(tg，然后再用它們來作傅里葉分析，

這樣tje?起頻限作用，)(tg起到時限作用，合起來，就可起到時頻

雙限制作用。其七月份是什么星座 中)(tg是有緊支集（即窗口外數據為零）的函數。)(tx

為被分析的信號。隨著的位置變動，)(tg所確定的“時間窗”在t

軸上移動，使)(tx逐步進入被分析的狀態。窗口函數)(tg，一般為實的

偶函數，窗口外數據為零（緊支集）或很快趨于零。這時傅里葉變換

結果不再為)(X，而是)(*)(GX，這里),(xG大致反映了)(tx在時刻

時頻率為的“信號成分”的相對含量。時頻局部化就是希望找一

種信號的表示方法，它能同時提供時域和頻域的局部化信息。而這種

變換確實能反映函數在窗口內部（附近）的頻譜特征。窗口傅里葉

變換可使信號達到局部平穩,更好地研究局部范圍的特性。窗口函

數)(tg的傅里葉變換，它在有限區間之外數據恒等于零。用)(?tg乘)(tx，

即在附近開窗口，為窗口傅里葉變換。

Gabor只做了高斯窗的傅里葉變換，它是窗口傅里變換的一種。盡管

窗口傅里葉變換是一種時頻分析，是信號處理的重要工具，并得到廣

泛的應用，但是窗口傅里葉變換的一個主要缺點是時域和頻域的采樣

間隔都是常數，即這種窗口大小和形態與頻率無關，是固定不變的，

不能使變換窗口大小隨頻率而變化。但在處理實際問題，我們希望時

域的采樣間隔隨著頻率的增高而減小，同時窗口傅里葉變換不管如何

離散化均不能使它成為一組正交基。為此，等人對窗口傅里

葉變換進行了改造，引入了小波變換。

連續小波變換

小波變換時今年來在圖像處理中受到十分重視的新技術，面向圖像壓

縮、特征測以及紋理分析等許多方法在時頻分析中有重要的應用。線

性系統理論中的傅立葉變換是以在兩個方向上都分別的近義詞 無限伸展的正弦曲

線波作為正交基函數的。對于瞬態信號或高度局部化的信號（例如邊

緣），由于這些成分并不類似于任何一個傅立葉基函數，它們的變換

系數（頻譜）不是緊湊的，頻譜上呈現出一幅相當混亂的構成。這種

情況下，傅立葉變換是通過復雜的安排，以抵消一些正弦波的方式構

造出在大部分區間都為零的函數而實現的。為了克服上述缺陷，使用

有限寬度基函數的變換方法逐步發展起來了。這些基函數不僅在頻率

上而且在位置上是變化的，它們是有限寬度的波并被稱為小波

（wavelet）。基于它們的變換就是小波變換。所有小波是通過對基本

小波進行尺度伸縮和位補充條款 移得到的。基本小波是一具有特殊性質的實值

函數，它是震蕩衰減的，而且通常衰減得很快，在數學上滿足積分為

零的條件：

tdt=0

+∞

?∞

而且其頻譜滿足條件：

=

|()|2

+∞

?∞

<∞

即基本小波在頻域也具有好的衰減性質。有些基本小波實際上在某個

區間外是零，這是一類衰減最快的小波。一組小波基函數是通過尺度

因子和位移因子由本小波來產生。

連續小波變換定義為：

,

=1

(?

)

小波分析的應用是與小波分析的理論研究緊密地結合在一起地。

現在，它已經在科技資訊產業領域取得了令人矚目的成就。電子資訊

技術是六大高新技術中重要的一個領域，它的重要方面是影像和信號

處理。現今，信號處理已經成為當代科學技術工作的重要部分，信號

處理的目的就是：準確的分析、診斷、編碼壓縮和量化、快速傳遞或

存儲、精確地重構（或恢復）。從數學的角度來看，信號與影像處理

可以統一看作是信號處理（影像可以看作是二維信號），在小波分析

地許多分析的許多應用中，都可以歸結為信號處理問題。現在，對于

其性質隨實踐是穩定不變的信號，處理的理想工具仍然是傅立葉分析。

但是在實際應用中的絕大多數信號是非穩定的，而特別適用于非穩定

信號的工具就是小波分析。

希爾伯特黃變換

希爾伯特特換變換的方法主要由2個部分組成：:經驗模態分解

（empiricalmodedecomposition，簡稱EMD）和Hilbert譜分析。經驗吃豬油好嗎

模態分解方法是一種自適應的、高效的數據分解方法。由于這種分解

是以局部時間尺度為基礎，因此，它適應于非線性、非平穩過程。通

過經驗模型分解，任何復雜的數據集都可以被分解為個數有限的、而

且常常是為數不多的幾個固有模函數(intrinsicmodefunctions，簡稱

IMF)的線性疊加。一個固有模態函數是滿足以下兩個條件的函數[1]：

（1）在整個數據區間內，極值點的數目與過零點的數目相等或至家庭教育經驗 多

相差1個；（2）在任意一點處，由局部極大值點定義的包絡以及由局

部極小值點定義的包絡的均值為零。

EMD方法通過不斷的剔出極大值和極小值連接上下包絡的均值

將原信號分解為

xt=

+

()

=1

(1)

其中

為一個IMF分量，

()為殘余分量，一般為信號的

平均趨勢，為常數序列或單調序列。從基函數理論的角度來看，EMD

對不同信號分解出的基函數

是不同的，它不同傅里葉分解的基

(一系列恒定幅度與頻率的正余弦函數)，也不同于小波分解的基函數

(預先給定基函數的形式)。因此，EMD分解不僅改進了信號分解的效

率，而且使這種分解方法更有利于非平穩數據處理。通過分解得到

IMF后，就可以對每一個分量做希爾伯特變換，得到其瞬時頻率和幅

度。設IMF分量為，則它的復解析信號為

Hct=ct+jt=ate()

其中a(t)為幅值函數，表達式為

(t)為相位函數，表達式為

t=tan?1(()/())

其中幅值函數表示信號每個采樣點的瞬時幅度能量；相位函數表

示信號每個采樣點的瞬時相位，對其求導就得到瞬時頻率。對每個

IMF分量做Hilbert變換并忽略分解余項，數據可以表示為:

Xt=()exp?()

=1

根據式（1）可以將幅度和瞬時相位作為時間的函數表示在三維

平面中，幅度的這種時一頻分布被稱為希爾伯特幅度譜，簡稱為希爾

伯特譜。習慣上用幅度的平方來表示能量密度，這里如果用幅度平方

代替希爾伯特幅度譜中的幅度，將得到希爾伯特能量譜。對于希爾伯

特能量譜，如果EMD分解得到的IMF分量彼此完全正交，那么信號

的平方:

式中的第二項為0，這對于時頻能量表示是十分有利的。雖然對

于某些特殊的數據，相鄰的分量在不同的時間段內可能含有相同的頻

率成分，但從局部意義上說，任何兩個分量都是正交的。泄漏的大小

通常與數據長度以及分解結果有著直接的關系，對于有限的數據長度，

即使用頻率不同的純正弦波形分解也會有嚴重泄漏。黃已經例證了的

泄漏一般小于1%，對于極短的數據為5%，與正弦型傅立葉分解在同

一數量級上。在二次型時頻表示中，WVD的時頻分辨率乘積達到了

Heinberg不確定性原理的下界，具有很好的時頻聚焦性。但是當對

多分量信號進行分析時，Wigner-Ville分布會產生交叉項問題，而且

從數學角度去克服交叉項已經被論證為行不通的。