分組分解法

初中數(shù)學因式分解-分組分解法

3分組分解

整式axbybxay--+的四項沒有公因式可以提取，也無法直接應

用公式，這樣的式子需要分組分解.

3．1三步曲

我們用上面的整式來說明如何分組分解.

例1分解因式：axbybxay--+.

解axbybxay--+

=()()axbxayby-+-［分為兩組］

=()()xabyab-+-［“提”］

=()()xyab+-［再“提”］

一般地，分組分解大致分為三步：

1．將原式的項適當分組；

2．對每一組進行適當分組；

3．將經(jīng)過處理后的每一組當作一項，再采用“提”或“代”進行

分解.

一位高明的棋手，在下棋時，決不會只看一步，同樣，在進行分

組時，不僅要看到第二步，而且要看到三步.

一個整式的項有許多種分組的方法，初學者往往需要經(jīng)過嘗試才

能找到適當?shù)姆纸M方法，但是只要努力實踐，多加練習，就會成為有

經(jīng)驗，多加練習，就會成為有經(jīng)驗的“行家”.

3．2殊途同歸

分組的方法并不是唯一的，對于上面的整式axbybxay--+，也

可以采用下面的做法：axbybxay--+

=()()axayaxby+-+

=()()axybxy+-+

=()()xyab+-.

兩種做法的效果是一樣的，殊途同歸！可以說，一種是按照x與y

來分組（含x的項在一組，含y的項在另一組）；另一種是按a與b

來分組.

例2分解因式：221xaxxaxa+++--.

解法一按字母x的冪來分組.

221xaxxaxa+++--

=()()()221xaxxaxa+++-+

=()()()2111xaxaa+++-+

=()()211axx++-

解法二按字母a的冪來分組.

221xaxxaxa+++--

=()()221axaxaxx+-++-

=()()2211axxxx+-++-

=()()

211axx++-.

3．3平均分配

在例2中，原式的6項是平均分配的，或都要分成三組，每組兩

項；優(yōu)美詞句摘抄大全 或者分成兩組，每組三項.

如果分組的目的是使第二步與第三步都有公因式可提，那么就必

須平均分配.例3分解因式：3254222xxxxx--++-.

解6項可以分成三組，每組兩項.我們把冪次相近的項放在一起，

即

3254222xxxxx--++-

=()()()5432222xxxxx-+---

=()()()42222xxxxxx-+---

=()()

4221xxx-+-.

本例也可以將6項分為兩組，每組三項，即將系數(shù)為1的放在一

組，系數(shù)為－2的放在另一組，詳細過程請讀者自己完成.

例4分解因式：2222acbdadbc+--.

解2222acbdadbc+--

整式axbybxay--+的四項沒有公因式可以提取，也無法直接應

用公式，這樣的式子需要分組分解.

3.4瞄準公式

如果在第二步或第三步中需要應用乘法公式，那么各組中的項數(shù)

不一定相等，應當根據(jù)

公式的特點來確定。

例5分解因式：-1-2x-x2+y2.

解：-1-2x-x2+y2

=y2-（x2+2x+1）

=y2-（x+1）2[應用公式（4）]

=（y+x+1）（y+x-1）[應用公式（1）]

本例是瞄準公式（1）與（4）來分組的。

例6分解因式：ax3+x+a+1.

解根據(jù)a的冪來分組是可以行得通的，恰好能用上公式（2），并

為下一步提公因式奠好基礎。

ax3+x+a+1

=（ax3+a）+（x+1）

=a（x+1）（x2-x+1）+（x+1）[應用公式（2）]

=（x+1）（ax2-ax+a+1）[提公因式]

例7分解因式：x4+x3+2x2+x+1.

解x4+x3+2x2+x+1

=（x4+2x2+1）+（x3+x）

=（x2+1）2+x（x2+1）[公式（4）及提公因式]

=（x2+1）（x2+x+1）[提公因式]

這次是瞄準公式（4）來分組的。

3.5從零開始

如果分組分得不恰當，因式分解無法進行下去，那么就應當回到

分組前的狀況，從零開始，考慮新的分組。

例8分解因式：x3+x2-y3-y2.

解如果把有x的項集在一起，有y的項集在一起，那么

x3+x2-y3-y2

=（x3+x2）-（y3+y2）

=x2（x+1）-y2（y+1）

雖然每一組都有公因式可提，但是兩組之間卻無公因式可提，也

沒有公式可以利用，分解無法進行下去。這時，必須從零開始，重新

分組。

這一次將次數(shù)相同的項放在一起，我們有

x3+x2-y3-y2

=（x3-y3）+（x2-y2）

=（x-y）（x2+xy+y2）+(x-yram什么意思 )(x+y)[應用公式（1）、（3）]

=（x-y）（x2+xy+y2+x+y）[提公因式]

例9分解因式：ab（c2-d2）-（a2-b2）cd.

解此式無法直接進行分解，必須先用乘法分配律將原式變?yōu)樗捻棧?/p>

再進行分組。

ab（c2-d2）-（a2-b2）cd

=abc2-abd2-a2cd+b2cd

=（愛國敬業(yè)誠信友善 abc2-a2cd）+（b2cd-abd2）

=ac（bc-ad）+bd（bc-ad）

習題3將以下各式分解因式：

-ay+bx+cy-cx-by

2.x4+x3+x2+1

3.a(1-b+b2)-1+b-b2

4.4x(a2+x2)-a2-x2

2+bxy-axy-y2

6.a2b3-abc2d+ab2cd-c3d2

7.32ac2+15cx2-48ax2-10c3

8.2(x2-3ab)+x(4a-3b)

9.x3-x+y3-y

10.x3+y3+x2+2xy+y2

1羽毛球如何扣殺 1.4a2-b2+c2-9d2+4ac+6bd

12.a(1-b)2-1+2b-b2

13.x(x+z)-y(y+z)

14.x3+bx2+ax+ab

3+bcx2+a禮儀手抄報 dx+bd

16.a4+a3b-ab3-b4

17.a4-a3b-ab3+b4

18.a2b2-a2-b2+1

19.x2y2-x2z2-y2z2+z4

20.x2y2z2-x2z-y2z扇子功 +1

21.x4+x3y+xz3+yz3

22.(a+b)2+(a+c)2-(c+d)2-(b+d)2

(y3+b3)+by(bx2+a2y)

24.(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3+a3+b3+c3

【答案】

1.(x-y)(a+b-c)

2.(x+1)(x3+x-1)

3.(1-b+b2)(a-1)

4.(a2+x2)(4x-1)

5.(bx-y)(ax+y)

6.(ab+cd)(ab2-c2d)

7.(2c2-3x2)(16a-5c)

8.(x+2a)(2x-3b)

9.(x+y)(x2-xy+y2-1)

10.(x+y)(x2-xy+y2+x+y)

11.(2a+c+b-3d)(2a+c-b+3d)

12.(1-b)2(a-1)

13.(x-y)(x+y+z)

14.(x+b)(x2+a)

15.(ax+b)(cx2+d)

16.(a+b)(a-b)(a2+ab+b2)

17.(a-b)2(a2+ab+b2)

18.(a+1)(a-1)(b+1)(b-1)

19.(x+z)(x-z)(y+z)(y-z)

20.(y2z-1)(x2z-1)

21.(x+y)(x+z)(x2-xz+z2)

22.2(a+b+c+d)(a-d)

23.(b2x+ay2)(xy+ab)

24.3(a+b+c)(a2+b2+c2)

重組分解法

將原來的式子展開，然后重新分組進行因式分解

【例1】分解因式：22()4ababc-+-

【鞏固】分解因式：()()xxsun什么意思 zyyz+-+

【鞏固】分解因式：(1)(2)6xxx---

【例2】(泰安中考題)因式分解：2(2)(3)4xxx+++-=．

【例3】分解因式：222(1)()abxxab+++

【鞏固】分解因式：222222()()axbyaybxcxcy++-++

【例4】分解因式：43221xxxx++++