吳家龍

薄壁圓柱殼的高階模態振動特性研究

王宇;羅忠;李昌;劉健

【摘要】采用解析法研究了不同邊界條件下薄壁圓柱殼的高階模態振動特性.首先

基于Love殼體理論,在簡支-簡支、固支-固支和固支-自由三種邊界條件下,通過伽

遼金法建立了動力學模型,對模態特性進行求解,得到了高階固有頻率和三維模態振

型,并通過文獻和有限元法進行了比較.算例結果表明,兩端簡支邊界條件下采用解析

法得到的固有頻率誤差值不超過2％,當周向波數較小時固有頻率先減小后增加,在

高階時的固有頻率逐漸升高,當軸向半波數增加時固有頻率明顯增大,通過解析法、

文獻和有限元法得到的三維模態振型相吻合.

【期刊名稱】《動力學與控制學報》

【年(卷),期】2016(014)002

【總頁數】7頁(P131-137)

【關鍵詞】薄壁圓柱殼;邊界條件;高階固有頻率;三維模態振型

【作者】王宇;羅忠;李昌;劉健

【作者單位】遼寧科技大學機械工程學院,鞍山114051;東北大學機械工程學院,沈

陽110819;遼寧科技大學機械工程學院,鞍山114051;遼寧科技大學機械工程學院,

鞍山114051

【正文語種】中文

2014-12-04收到第1稿，2014-12-27收到修改稿.

*國家自然科學基金資助項目（51105187）、遼寧科技大學青年基金資助項目

（2014QN13）

薄壁圓柱殼是指壁厚與其它最小特征尺寸之比在1/80和1/5之間的殼體［1］.薄

壁圓柱殼構件在航空航天和造船等領域中應用廣泛，例如航空發動機的機匣、鼓筒

和衛星外殼等，在外界復雜工況下的振動行為復雜，可能會產生高階共振、失穩和

損傷等故障，對薄壁圓柱殼構件的高階振動特性進行深入研究，具有重要的應用價

值.

目前，關于薄壁圓柱殼構件低階固有特性的研究較多，而許多薄壁殼體的振動疲勞

問題中，主要是高階模態所對應的共振引起的，國外學者的研究成果如下：

RongongJA和TomlinsonGR［2］針對帶阻尼層的薄壁圓環，對其高節徑

（即周向波數）的振動特性進行了研究.WangC和LaiJCS［3］采用波動方法

預測了有限長圓柱殼的固有頻率，但沒有考慮相應的模態振型.El-KaabaziN和

KennedyD［4］基于Donnell、Timoshenko和Flgge理論，采用Wittrick-

Williams方法研究了變厚度圓柱殼的固有特性，而對高階模態特性并不太清楚.

El-MouslyM［5］通過對三種殼體理論方程，僅對固有頻率進行了求解.我國學者

對圓柱殼類結構的低階固有特性進行了許多研究，但是對高階固有頻率和三維模態

振型的研究較少［6～9］.陳正翔和陳維衡［10］對圓柱殼中較高階周向模態振動

波的頻散特性進行了研究，得到了自由振動波隨頻率變化的規律.韓清凱、王宇和

李學軍［11］對圓柱殼的高階固有頻率進行了求解，但是沒有考慮模態振型的特

性［11］.李暉［12］等利用實驗方法對約束態圓柱殼的模態振型進行了測試，得

到了部分低階模態振型.陳麗華［13］等用哈密頓原理和Rayleigh-Ritz方法研究

了簡支、自由和固定邊界條件下三階剪切變形板的固有頻率和振型.

針對薄壁圓柱殼構件，基于Love薄殼理論，在簡支-簡支、固支-固支和固支-自

由三種邊界條件下，采用怎么識別假鈔 解析法對高階模態特性進行了求解，通過算例分析得到了

其高階固有頻率和三維模態振型，并通過相關文獻和有限元法對振動特性進行了比

較.

1.1力學模型

如圖1所示為薄壁圓柱殼模型.

在柱坐標系Oxz中，坐標原點O為端面圓心，縱向x軸與軸線重合，徑向z軸

在端面徑向上，切向為端面上偏離z軸初始位置的偏轉角，u、v和w表示中面

上任意一點在軸向、切向和徑向的位移，L、H和R分別表示薄壁圓柱殼的長度、

厚度與中面半徑.

1.2模態特性求解

薄殼理論假定應力與應變服從Hooke′s定律，各點的振動位移比厚度H小得多，

基于Love殼體理論［14］采用位移u（x，，t）、v（x，，t）和w（x，，t）

表示的動力學平衡方程為

式中，‘’表示位移對時間的求導，為材料密度，L算子的表達式為

式中，Lij（i，j=1，2，3）表示微分算子，具體表達式為

選取振動位移解的形式為

式中，m表示軸向半波數，n表示周向波數，Umn、Vmn和Wmn為振型幅值

系數，Tmn（t）為模態坐標，軸向振型函數km（x）（k=u，v，w）表示為

式中，1、1和i（i=1，豬和狗相配婚姻如何 2，3，4）的數值由邊界條件確定，具體表達式如下：

（1）簡支-簡支邊界條件

（2）固支-固支邊界條件

（3）固支-自由邊界條件

周向振型函數kn（）（k=借方發生額 u，v，w）表示為

將式（2）代入式（1），進行Galerkin離散得

對式（8）進行積分運算，得到固有頻率特征方程為

式中，cij（i，j=1，2，3）的具體表達式為

式中，

通過式（10）求解固有頻率，然后利用振型函數式（2）可得到三種邊界條件下對

應的三維模態振型.

利用解析法、有限元法和文獻［15］，在簡支-簡支、固定-固定和固定-自由三種

邊界條件下，求解薄壁圓柱殼的m=1～3和n=1～25階固有頻率和三維模態

振型，其材料參數和幾何參數如表1所示.利用有限元程序ANSYS進行求解時，

取三維高階實體單元SOLID186，采用VROATA命令從截面繞軸旋轉生成圓柱殼

模型，通過從相鄰面掃掠體的方法生成網格，共計3420個單元，19530個節點.

（1）簡支-簡支邊界條件

在簡支-簡支邊界條件下，采用解析法、文獻和有限元法得到的各階固有頻率隨軸

向半波數和周向波數變化的關系如圖2所示.由圖2（a）可知，通過三種方法求得

的固有頻率隨著周向波數的變化趨勢相同，當周向波數較小時，固有頻率先減小后

增大，當m=1，n=7時的固有頻率達到最小值2404Hz，當周向波數繼續增大

時的固有頻率逐漸升高；同時，隨著軸向半波數的增加固有頻率也隨之增加，在高

階m=3，n=25時的固有頻率達到最大值.由圖2（b）可知，通過解析法與文獻

和有限元法的固有頻率誤差比較可知，在m=1～3，n=1～25范圍內，固有頻

率的最大誤差值均小于2%，通過文獻求得的固有頻率值稍大于解析法求得的結果，

而通過有限元法求得的固有頻率值略小于解析法的頻率值，這是因為有限元法是一

種近似方法，其模態分析只能針對線性結構，文獻得到的結果是基于經驗公式，而

解析法的位移解是基于梁函數的假設，導致了三種方法計算誤差的寬帶密碼怎么改 存在.

薄壁圓柱殼的三維模態振型如表2所示，由解析法和有限元法得到的三維模態振

型相互吻合，在圓周方向上表現為均勻的花瓣形狀，例如在固有頻率最低的第（1，

7）階三維模態振型表現為周向波數為7的花瓣形狀；由于兩端簡支的邊界條件對

上下兩側邊界上節點的限制作用相同，引起殼體中部的振動幅度最大；最低階模態

也是構件最容易發生共振的一階模態，并且在低階固有頻率的振動模態以周向振動

為主.

（2）固支-固支邊界條件

在固支-固支邊界條件下，薄壁圓柱殼的固有頻率變化曲線如圖3所示，三維模態

振型如表3所示.可以看出，低階固有頻率先減小后增加，當m=1，n=7時的固

有頻率最小值為3146Hz，高階固有頻率值隨著周向波數的增加而逐漸升高；另外，

隨著軸向半波數的增大，固有頻率值也隨之增大；薄壁圓柱殼構件的三維模態振型

在低階時以周向模態振動為主，在高階時出現軸向模態和周向模態的組合振型.這

是因為兩端固支的邊界條件對殼體的作用，限制了邊界上各節點的全部自由度，引

起中部出思想素質 現最大振動位移.

（3）固支-自由邊界條件

在固支-自由（即懸臂）邊界條件下固有頻率隨周向波數和軸向半波數的關系曲線

如圖4所示，三維模態振型圖如表4所示.可以看出，利用解析法求得的固有頻率

和簡支-簡支和固支-固支兩種邊界條件所求得的結果變化趨勢相似，在低階處的固

有頻率值先減小后增大，最小值出現在第（1，6）階，對應的固有頻率為

1668Hz，在高階時的固有頻率隨著周向波數的增加而逐漸升高；同時，隨著軸向

半波數的增大固有頻率明顯增加；如表4所示，固支-自由邊界條件下的三維模態

振型主要表現為自由端周向節點的振動，即懸臂端的振動位移最大，這是因為下端

是固定的，對于圓柱殼有較強的約束作用，而對于上部約束影響較小，引起固有頻

率和模態振型發生相應變化；同時，固有頻率最低的（1，6）階對應的三維模態

振型表現為周向波數為6的花瓣形狀，是構件在服役過程中容易發生共振和產生

故障的一階模態，應當采取減振措施對振動進行預防和控制.

在簡支-簡支、固支-固支和固支-自由三種邊界條件下，給出了求解薄壁圓柱殼高

階模態特性的解析法，利用文獻和有限元法對結果進行了比較，算例結果表明：求

得的固有頻率值和文獻與有限元法得到的結果變化趨勢相同，固有頻率的誤差絕對

值在2%以內；當周向波數較小時的固有頻率先減小后增加，在高階時的固有頻率

逐漸升高，當軸向半波數增加時固有頻率依次增大，在簡支-簡支和固支-固支邊界

條件下的最低階固有頻率發生在第（1，7）階，而固支-自由邊界條件下的最低階

固有頻率發生在（1，6）階，最低階模態也是構件在服役過程中最容易發生共振

的一階模態；同時，通過解析法和有限元法得到的三維模態振型吻合，主要表現為

周向節點的振動，并且在低階時以周向花瓣形狀的振動模態為主，在高階時出現軸

向模態和周向模態的組合振型.

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Received04December2014，revid27December2014.

*TheprojectsupportedbytheNationalNaturalScienceFoundationofChina（51105187）

andRearchFundforYoungTeachersofUniversityofScienceandTechnologyLiaoning

（2014QN13）