條件概率

1．條件概率及其性質(zhì)

(1)條件概率的定義

設(shè)A、B為兩個事件，且P(A)>0，稱P(B|A)＝為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率．

(2)條件概率的求法

求條件概率除了可借助定義中的公式，還可以借助古典

概型概率公式，即P(B|A)＝.

(3)條件概率的性質(zhì)

①條件概率具有一般概率的性質(zhì)，即0≤P(B|A)≤1.

②如果B和C是兩個互斥事件，則P(B∪C|A)＝P(B|A滿分高考作文 )＋P(C|A))．

2．事件的相互獨立性

(1)設(shè)A、B為兩個事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，則稱事件A與事件B相互獨立．

(2)如果事件A與B相互獨立，那么與，與，與也都相互獨立．3．二項分布

在n次獨立重復(fù)試驗中，設(shè)事件A發(fā)生的次數(shù)為X，在每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p，那么在n次獨立重復(fù)試驗中，事件A恰好發(fā)生k

次的概率為P(X＝k)＝Ck

n

pk(1－p)n－k

(k＝0,1,2，…，n)．此時稱隨機變量X服從二項分布，記作X～B(n，p)，并稱_p_為成功概率．

若X～B(n，p)，則E(X)＝np.

1.區(qū)分條件概率P(B|A)與概率P(B)

它們都以樣本空間為總樣本，但它們?nèi)「怕实那疤崾遣幌嗤模怕蔖(B)是指在整個樣本空鐵觀音的功效 間的條件下事件B發(fā)生的可能性大小，

而條件概率P(B|A)是在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的可能性大小．

2．求法：(1)利用定義分別求P(A)，P(AB)，得P(B|A)＝

P?AB?

P?A?

；

(2)先求A含的基本事件數(shù)n(A)，再求在A發(fā)生的條件下B包含的事件數(shù)即n(AB)，得P(B|A)＝

n?AB?

n?A?

.

1.1號箱中有2個白球和4個紅球，2號箱中有5個白球和3個紅球，現(xiàn)隨機地從1號箱中取出一球放入2號箱，然后從2號箱隨機取出

一球，問

(1)從1號箱老虎的英語 中取出的是紅球的條件下，從2號箱取出紅球的概率是多少？

(2)從2號箱取出紅球的概率是多少？

【解】記事件A：最后從2號箱中取出的是紅球；事件B：從1號箱中取出的是紅球．

P(B)＝

4

2＋4

＝

2

3

，P(B)＝1－P(B)＝

1

3

，

(車厘子怎么種 1)P(A|B)＝

3＋1

8＋1

＝

4

9

.(2)∵P(A|B)＝

3

8＋1

＝

1

3

，

∴P(A)＝P(AB)＋P(AB)

＝P(A|B)P(B)＋P(A|B)P(B)

＝

4

9

2

3

＋

1

3

1

3

＝

11

27

.

2.(2011年湖南)如圖，EFGH是以O(shè)為圓心，半徑為1的圓的內(nèi)接正方形，將一顆豆子隨機地扔到該圓內(nèi)，用A表示事件“豆子落在正

方形EFGH內(nèi)”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(陰影部分內(nèi))，”則

(1)P(A)＝________；(2)P(B|A)＝_____

答案：(1)

2

(2)

1

4

1.相互獨立事件是指兩個試驗中，兩事件發(fā)生的概率互不影響；相互對立事件是指同一次試驗中，兩個事件不會同時發(fā)生．

2．在解題過程中，要明確事件中的“至少有一個發(fā)生”“至多有一個發(fā)生”“恰有一個發(fā)生”“都發(fā)生”“都不發(fā)生”“不都發(fā)生”等

詞語的意義．已知兩個事件A、B，它們的概率分別為P(A)、P(B)，則

A、B中至少有一個發(fā)生的事件為A∪B；

A、B都發(fā)生的事件為AB；

A、B都不發(fā)生的事件為AB；

A、B恰有一個發(fā)生的事件為AB∪AB；

A、B中至多有一個發(fā)生的事件為AB∪AB∪AB.

3．互斥事件與相互獨立事件的區(qū)別：兩事件互斥是指同一次試驗中兩事件不能同時發(fā)生，兩事件相互獨立是指不同試驗下，二者互不影

響；兩個相互獨立事件不一定互斥，即可能同時發(fā)生，而互斥事件不可能同時發(fā)生．

3.(2012年山東)現(xiàn)有甲、乙兩個靶．某射手向甲靶射擊一次，命中的概率為

3

4

，命中得1分，沒有命中得0分；向乙靶射擊兩次，每次命

中的概率為

2

3

，每命中一次得2分，沒有命中得0分，該射手每次射擊的結(jié)果相互獨立．假設(shè)該射手完成以上三次青藏高寒區(qū) 射擊．

(1)求該射手恰好命中一次的概率；

(2)求該射手的總得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)．

【解】(1)記：“該射手恰好命中一次”為事件A，“該射手射擊甲靶命中”為事件B，“該射手第一次射擊乙靶命中”為事件C，“該射

手第二次射擊乙靶命中”為事件D，

由題意知P(B)＝

3

4

，P(C)＝P(D)＝

2

3

，

由于A＝BCD＋BCD＋BCD，

根據(jù)事件的獨立性和互斥性得

P(A)＝P(BCD＋BCD＋BCD)

＝P(BCD)＋P(BCD)＋P(BCD)

＝P(B)P(C)P(D)＋P(B)P(C)P(D?＋P(B)P(C)P(D)

＝

3

4

?

?

?

?

1－

2

3

?

?

?

?

1－

2

3

＋

?

?

?

?

1－

3

4

2

3

?

?

?

?

1－

2

3

＋

?

?

?

?

1－

3

4

?

?

?

?

1－

2

3

2

3

＝

7

36

.(2)根據(jù)題意，X的所有可能取值為0,1,2,3,4,5，

根據(jù)事件的獨立性和互斥性得

P(X＝0)＝P(BCD)＝[1－P(B)][1－P(C)][1－P(D)]＝

?

?

?

?

1－

3

4

?

?

?

?

1－

2

3

?

?

?

?

1－

2

3

＝

1

36

，

P(X＝1)＝P(BCD)＝P(B)P(C)P(D)＝

3

4

?

?

?

?

1－

2

3

?

?

?

?

1－

2

3

＝

1

12

，P(X＝2)＝P(BCD＋BCD)＝P(BCD)＋P(BCD)

＝

?

?

?

?

1－

3

4

2

3

?

?

?

?

1－

2

3

＋

?

?

?

?

1－

3

4

?

?

?

?

1－

2

3

2

3

＝

1

9

，

P(X＝3)＝P(BCD＋BCD)＝P(BCD)＋P(BCD)＝

3

4

2

3

?

?

?

?

1－

2

3

＋

3

4

?

?

?

?

1－

2

3

2

3

＝

1

3

，

P(X＝4)＝P(BCD)＝

?

?

?

?

1－

3

4

2

3

2

3

＝

1

9

，

P(X＝5)＝P(BCD)＝

3

4

2

3

2

3

＝

1

3

.

故X的分布列為

X012345

P

1

36

1

12

1

9

1

3

1

9

1

3

所以E(X)＝0

1

36

＋1

1

12

＋2

1

9

＋3

1

3

＋4

1

9

＋5

1

3

＝

41

12

.

(1)注意區(qū)分互斥事件和相互獨立事件，互斥事件是在同一試驗中不可能同時發(fā)生的情況，相互獨立事件是指幾個事件的發(fā)生與否互不影

響，當然可以同時發(fā)生．(2)求離散型隨機變量的分布列的關(guān)鍵是正確理解隨機變量取每一個值所表示的具體事件，然后綜合應(yīng)用各類求概率

的公式，求出概率．(3)求隨機變量的期望和方差的關(guān)鍵是正確求出隨機變量的分布列，若隨機變量服從二項分布，則可直接使用公式求解．

4.(2011年山東高考)紅隊隊員牛肉怎么炒好吃 甲、乙、丙與藍隊隊員A、B、C進行圍棋比賽，甲對A，乙對B，丙對C各一盤．已知甲勝A，乙勝B，

丙勝C的概率分別為0.6,0.5,0.5.假設(shè)各盤比賽結(jié)果相互獨立．

(1)求紅隊至少兩名隊員獲勝的概率；

(2)用表示紅隊隊員獲勝的總盤數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望E()．

解：(1)設(shè)甲勝A的事件為D，乙勝B的事件為E，丙勝C的事件為F.

則D，E，F(xiàn)分別表示甲不勝A、乙不勝B、丙不勝C的事件．因為P(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5，

由對立事件的概率公式知

P(D)＝0.4，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5.

紅隊至少兩人獲勝的事件有：DEF，DEF，DEF，DEF.

由于以上四個事件兩兩互斥且各盤比賽的結(jié)果相互獨立，因此紅隊至少兩人獲勝的概率為

P＝P(DEF)＋P(DEF)＋P(DEF)＋P(DEF)

＝0.60.50.5＋0.60.50.5＋0.40.50.5＋0.60.50.5＝0.55.(2)由題意知可能的取值為0,1,2,3.

又由(1)知DEF、DEF、DEF是兩兩互斥事件，且各盤比賽的結(jié)果相互獨立，

因此P(＝0)＝P(DEF)＝0.40.50.5＝0.1，

P(＝1)＝P(DEF)＋P(DEF)＋P(DEF)

＝0.40.50.5＋0.40.50.5＋0.60.50.5

＝0.35，

P(＝3)＝P(DEF)＝0.60.50.5＝0.15.

由對立事件的概率公式得

P(＝2)＝1－P(＝0)－P(＝1)－P(＝3)＝0.4.

所以的分布列為：

0123

P0.10.350.40.15

因此E()＝00.1＋10.35＋20.4＋30.15＝1.6.

1.判斷某事件發(fā)生是否是獨立重復(fù)試驗，關(guān)鍵有兩點：

(1)在同樣的條件下女扮男裝的現(xiàn)代小說 重復(fù)，相互獨立進行；

(2)試驗結(jié)果要么發(fā)生，要么不發(fā)生．

2．在利用n次獨立重復(fù)試驗中，恰好發(fā)生k次的概率P(x＝k)＝Ck

n

pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，….要注意n，k，p的取值．

3．遇到“至少”“至多”問題時，要考慮從對立事件入手計算．

4．二項分布模型

(1)判斷一個隨機變量是否服從二項分布，要看兩點：

①是否為n次獨立重復(fù)試驗．

②隨機變量是否為在這n次獨立重復(fù)試驗中某事件發(fā)生的次數(shù)．

(2)涉及產(chǎn)品數(shù)量很大，而且抽查次數(shù)又相對較少的產(chǎn)品抽查問題時，由于產(chǎn)品數(shù)量很大，因而抽查時，抽出次品與否對后面的抽樣的次

品率影響很小，所以可以認為各次抽查的結(jié)果是彼此獨立的．

(3)若隨機變量X～B(n，p)，則E(X)＝np.

5.(2012年天津)現(xiàn)有4個人去參加某娛樂活動，該活動有甲、乙兩個游戲可供參加者選擇．為增加趣味性，約定：每個人通過擲一枚質(zhì)

地均勻的骰子決定自己去參加哪個游戲，擲出點數(shù)為1或2的人去參加甲游戲，擲出點擊地傳球 數(shù)大于2的人去參加乙游戲．

(1)求這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率；

(2)求這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率；

(3)用X，Y分別表示這4個人中去參加甲、乙游戲的人數(shù)，記＝|X－Y|，求隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望E()【解】依題意，這4

個人中，每個人去參加甲游戲的概率為

1

3

，去參加乙游戲的概率為

2

3

.

設(shè)“這4個人中恰有i人去參加甲游戲”為事件Ai

(i＝0,1,2,3,4)，

則P(Ai

)＝Ci

4?

?

?

?

1

3

i?

?

?

?

2

3

4

－

i.(1)這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率P(A

2

)＝C2

4?

?

?

?

1

3

2?

?

?

?

2

3

2＝

8

27

.

(2)設(shè)“這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)”為事件B，則B＝A

3

∪A

4

.由于A

3

與A

4

互斥，故

P(B)＝P(A

3

)＋P(A

4

)＝C3

4?

?

?

?

1

3

3?

?

?

?

2

3

＋C4

4?

?

?

?

1

3

4＝

1

9

.

所以，這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率為

1

9

.(3)的所有可能取值為0,2,4.

由于A1

與A

3

互斥，A

0

與A

4

互斥，故

P(＝0)＝P(A

2

)＝

8

27

，

P(＝2)＝P(A

1

)＋P(A

3

)＝

40

81

，P(＝4)＝P(A0

)＋P(A

4

)＝

17

81

.

所以的分布列是

024

P

8

27

40

81

17

81

隨機變量的數(shù)學(xué)期望E()＝0

8

27

＋2

40

81

＋4

17

81

＝

148

81

.

6.張先生家住H小區(qū)，他工作在C科技園區(qū)，從家到公司上班的路上有L

1

，L

2

兩條路線(如圖所示)，L

1

路線上有A

1

，A

2

，A

3

三個路口，

各路口遇到紅燈的概率均為

1

2

；L

2

路線上有B

1

，B

2

兩個路口，各路口遇到紅燈的概率依次為

3

4

，

3

5

.

(1)若走L

1

路線，求最多遇到1次紅燈的概率；

(2)若走L

2

路線，求遇到紅燈的次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望；

(3)按照“遇到紅燈的平均次數(shù)最少”的要求，請你幫助張先生從上述兩條路線中選擇一條最好的上班路線，并說明理由．

解：(1)設(shè)“走L

1

路線最多遇到1次紅燈”為事件A，則P(A)＝C0

3

?

?

?

?

1

2

3＋C1

3

1

2

?

?

?

?

1

2

2＝

1

2

.所以走L

1

路線，最多遇到1次紅燈的概率為

1

2

.

(2)依題意，X的可能取值為0,1,2.，P(X＝0)＝

?

?

?

?

1－

3

4

?

?

?

?

1－

3

5

＝

1

10

，P(X＝1)＝

3

4

?

?

?

?

1－

3

5

＋

?

?

?

?

1－

3

4

3

5

＝

9

20

，

P(X＝2)＝

3

4

3

5

＝

9

20ps畫布大小

.故隨機變量X的分布列為

X012

P

1

10

9

20

9

20

6.(1)設(shè)某種燈管使用了500h還能繼續(xù)使用的概率是0.94，使用到700h后還能繼續(xù)使用的概率是0.87，問已經(jīng)使用了500h的燈管還能

繼續(xù)使用到700h的概率是多少？

(2)有一批種子的發(fā)芽率為0.9，出芽后的幼苗成活率為0.8，在這批種子中，隨機抽取1粒，求這粒種子能成長為幼苗的概率．

【正確解答】(1)設(shè)A＝“能使用到500h”，B＝“能使用到700h”，則P(A)＝0.94，P(B)＝0.87.而所求的概率為P(B|A)，由于B?A，

故P(B|A)＝

P?A∩B?

P?A?

＝

P?B?

P?A?

＝

0.87

0.94

＝

87

94

.

(2)據(jù)題意知P(A)＝0.9，P(B|A)＝0.8，故由P(B|A)＝

P?A∩B?

P?A?

知P(A∩B)＝P(A)P(B|A)＝0.72，又由于B?A，故P(A∩B)＝P(B)＝0.72即為

這粒種子能成長為幼苗的概率．

假定生男生女是等可能的，某家庭有3個孩子，其中有1名女孩，求其至少有1個男孩的概率．

解：法一：此家庭共有3個孩子，包含基本事件有(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，

女)，(女，女，男)，(女，女，女)其中至少有1個女孩共有7種可能，其中至少有1個男孩有6種可能，故其概率為

6

7

法二：記事件A表示“其中有1名女孩”，B表示“至少有1個男孩”，P(B|A)＝

6

8

7

8

＝

6

7

.