內接四邊形

圓的內接四邊形

1.知識結構

2.重點、難點分析

重點：圓內接四邊形的性質定理．它是圓中探求角相等或互補關系的常用定理，同時也是轉

移角的常用方法．

難點：定理的靈活運用葫蘆有什么用 ．使用性質定理時應注意觀察圖萬的詞語 形、分析圖形，不要弄錯四邊形的

外角和它的內對角的相互對應位置．

3.教法建議

本節內容需要一個課時．

（1）教師的重點是為學生創設一個探究問題的情境（參看教學設計示例），組織學生自主

觀察、分析和探究；

（2）在教學中以“發現——證明——應用”為主線，以“特殊——一般”的探究方法，引導學

生發現與證明的思想方法．

一、教學目標：

（一）知識目標

（1）了解圓內接多邊形和多邊形外接圓的概念；

（2）掌握圓內接四邊形的概念及其性質定理；

（3）熟練運用圓內接四邊形的性質進行計算和證明．

（二）能力目標

（1）通過圓的特殊內接愛情的語句 四邊形到圓的一般內接四邊形的性質的探究，培養學生觀察、分析、

概括的能力；

（2）通過定理的證明探討過程，促進學生的發散思維；

（3）通過定理的應用，進一步提高學生的應用能力和思維能力．

（三）情感目標

（1）充分發揮學生的主體作用，激發學生的探究的熱情；

（2）滲透教學內容中普遍存在的相互聯系、相互轉化的觀點．

二、教學重點和難點:

重點：圓內接四邊形的性質定理．

難點：定理的靈活運用．

三、教學過程設計

（一）基本概念

如果一個多邊形的所有頂點都在同一個圓上，這個多邊形叫做圓內接多邊形，這個圓叫做這

個多邊形的外接圓．如圖中的四邊形ABCD叫做⊙O的內接四邊形，而⊙O叫做四邊形

ABCD的外接圓．

（二）創設研究情境

問題：一般的圓內接四邊形具有什么性質？

研究：圓的特殊內接四邊形（矩形、正方形、等腰梯形）

教師組織、引導學生研究．

1、邊的性質：

（1）矩形：對邊相等，對邊平行．

（2）正方形：對邊相等，對邊平行，鄰邊相等．

（3）等腰梯形：兩腰相等，有一組對邊平行．

歸納：圓內接四邊形的邊之間太乙門 看不出存在什么公同的性質．

2、角的關系

猜想：圓內接四邊形的對角互補．

（三）證明猜想

教師引導學生證明．（參看思路）

思路1：在矩形中，外接圓心即為它的對角線的中點，∠A與∠B均為平角∠BOD的一半，

在一般的圓內接四邊形中，只要把圓心O與一組對頂點B、D分別相連，能得到什么結果

呢?

∠A=，∠C=

∴∠A+∠C=

思路2：在正方形中，外接圓心孟良崮旅游區 即為它的對角線的交點．把圓心與各頂點相南泥灣歌曲原唱 連，與各邊所成

的角均方45的角．在一般的圓內接四邊形中，把圓心與各頂點相連，能得到什么結果呢?

這時有2(+++)=360

所以+++=180

而+=∠A，+=∠C，

∴∠A+∠C=180，可得，圓內接四邊形的對角互補．

（四）性質及應用

定理：的對角互補，并且任意一個外角等于它的內對角．

（對A層學生應知，逆定理成立，4點共圓）

例已知：如圖，⊙O

1

與⊙O

2

相交于A、B兩點，經過A的直線與⊙O

1

交于點C，與⊙O

2

交于點D．過B的直線與⊙O

1

交于點E，與⊙O

2

交于點F．

求證：CE∥DF．

（分析與證明學生自主完成）

說明：①連結AB這是一種常見的引輔助線的方法．對于這道例題，連結AB以后，可以構

造出兩個圓內接四邊形，然后利用圓內接四邊形的關于角的性質解決．

②教師在課堂教學中，善于調動學生對例題、重點習題的剖析，多進行一點一題多變，一題

多解的訓練，培養學生發散思維，勇于創新．

鞏固練習：教材P98中1、2．

（五）小結

知識：圓內接多邊形——圓內接四邊形——圓內接四邊形的性質．

思想方法：①“特殊——一般”研究問題的方法；②構造圓內接四邊形；③一題多解，一題多

變．

（六）作業：教材P101中15、16、17題；教材P102中B組5題．

探究活動

問題：已知，點A在⊙O上，⊙A與⊙O相交于B、C兩點，點D是⊙A上（不與B、C

重合）一點，直線BD與⊙O相交于點E．試問：當點D在⊙A上運動時，能否判定△CED

的形狀？說明理由．

分析要判定△CED的形狀，當運動到BD經過⊙A的圓心A時，此時點E與點A重合，

可以發現△CED是等腰三角形，從而猜想對一般情況是否也能成立，進一步觀察可發現在

運動過程中∠D及∠CED的大小保持不變，△CED的形狀保持不變．

提示：分兩種情況

（1）當點D在⊙O外時．證明△CDE∽△CAD’即可

（2）當點D在⊙O內時1992年多大了 ．利用圓內接四邊形外角等于內對角可證明△CDE∽△CAD’即可

說明：（1）本題應用同弧所對的圓周角相等，及圓內接四邊形外角等于內對角，改變圓周

角頂點位置，進行角的轉換；

（2）本題為圖形形狀判定型的探索題，結論的探索同樣運用圖形運動思想，證明結論將一

般位置轉化成特殊位置，同時獲得添輔助線的方法，這也是添輔助線的常用的思想方法；

（3）一般地，有時對幾種不同位置圖形探索得到相同結論，但不同位置的證明方法不同時，

也要進行分類討論．本題中，如果將直線BD運動到使點E在BD的反向延長線上時，

△CDE仍然是等腰三角形．