三角形定義

三角形的定義

三角形是多邊形中邊數最少的一種;它的定義是：由不在同一條直線上的三條線段

首尾順次相接組成的圖形叫做三角形;

三條線段不在同一條直線上的條件,如果三條線段在同一條直線上,我們認為三角

形就不存在;另外三條線段必須首尾順次相接,這說明三角形這個圖形一定是封閉

的;三角形中有三條邊,三個角,三個頂點;

三角形中的主要線段

三角形中的主要線段有：三角形的角平分線、中線和高線;

這三條線段必須在理解和掌握它的定義的基礎上,通過作圖加以熟練掌握;并且對

這三條線段必須明確三點：

1三角形的角平分線、中線、高線均是線段,不是直線,也不是射線;

2三角形的角平分線、中線、高線都有三條,角平分線、中線,都在三角形內部;而

三角形的高線在當△ABC是銳角三角形時,三條高都是在三角形內部,鈍角三角形

的高線中有兩個垂足落在邊的延長線上,這兩條高在三角形的外部,直角三角形中

有兩條高恰好是它的兩條直角邊;

3在畫三角形的三條角平分線、中線、高時可發現它們都交于一點;在以后我們可

以給出具體證明;今后我們把三角形三條角平分線的交點叫做三角形的內心,三條

中線的交點叫做三角形的重心,三條高的交點叫做三角形的垂心;

三角形的按邊分類

三角形的三條邊,有的各不相等,有的有兩條邊相等,有的三條邊都相等;所以三角

形按

的相等關系分類如下：

等邊三角形是等腰三角形的一種特例;

判定三條邊能否構成三角形的依據

△ABC的三邊長分別是a、b、c,根據公理“連接兩點的所有線中,線段最短”;可

知：

△③a+b＞c,①a+c＞b,②b+c＞a

△定理：三角形任意兩邊的和大于第三邊;

△由②、③得b―a＜c,且b―a＞―c

△故|a―b|＜c,同理可得|b―c|＜a,|a―c|＜b;

從而得到推論：

三角形任意兩邊的差小于第三邊;

上述定理和推論實際上是一個問題的兩種敘述方法,定理包含了推論,推論也可以

代替定理;另外,定理和推論是判定三條線段能否構成三角形的依據;如：三條線段

的長分別是5、4、3便能構成三角形,而三條線段的長度分別是5、3、1,就不能構

成三角形;

判定三條邊能否構成三角形

對于某一條邊來說,如一邊a,只要滿足|b-c|＜a＜b+c,則可構成三角形;這是因為

|b-c|＜a,即b-c＜a,且b-c＞-a.也就是a+c＞b且a+b＞c,再加上b+c＞a,便滿足

任意兩邊之和大于第三邊的條件;反過來,只要a、b、c三條線段滿足能構成三角

形的條件,則一定有|b-c|＜a＜b+c;

在日本仙臺 特殊情況下,如果已知線段a最大,只要滿足b+c>a就可判定a、b、c三條線段

能夠構成三角形;同時如果已知線段a最小,只要滿足|b-c|＜a,就能判定三條線段

a、b、c構成三角形;

證明三角形的內角和定理

除了課本上給出的證明方法外還有多種證法,這里再介紹兩種證法的思路：

方法1如圖,過頂點A作DE‖BC,

運用平行線的性質,可得∠B＝∠2,

∠C＝∠1,從而證得三角形的內角

和等于平角∠DAE;

方法2如圖,在△ABC的邊BC上任取

一點D,過D作DE‖AB,DF‖AC,

分別交AC、AB于E、F,再運用平行

線的性質可證得△ABC的內角和等于

平角∠BDC;

三角形按角分類

根據三角形的內角和定理可知,三角形的任一個內角都小于180,其內角可能都

是銳角,也可能有一個直角或一個鈍角;

三角形按角可分類如下：

根據三角形的內角和定理可有如下推論：

推論1直角三角形的兩個銳角互余;

推論2三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和;

推論3三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角;

同時我們還很容易得到如下幾條結論：

1一個三角形最多有一個直角或鈍角;

2一個三角形至少有兩個內角是銳角;

3一個三角形至少有一個角等于或小于60否則,若三個內角都大于60；則這個

三角形的內角和大于180,這與定理矛盾;

4三角形有六個外角,其中兩兩是對頂角相等,所以三角形的三個外角和等于

360;

全等三角形的性質

全等三角形的兩個基本性質

1全等三角形的對應邊相等;

2全等三角形的對應角相等;

確定兩個全等三角形的對應邊和對應角

怎樣根據已知條件準確迅速地找出兩個全等三角形的對應邊和對應角其方法主要

可歸結為：

1若兩個角相等,這兩個角就是對應角,對應角的對邊是對應邊;

2若兩條邊相等,這兩條邊就是對應邊,對應邊的對角是對應角;

3兩個對應角所夾的邊是對應邊;

4兩個對應邊所夾的角是對應角;

由全等三角形的定義判定三角形全等

由全等三角形的定義知,要判定兩個三角形全等,需要知道三條邊,三個角對應相

等,但在應用中,利用定義判定兩個三角形全等卻是十分麻煩的,因而需要找到能

完全確定一個三角形的條件,以便用較少的條件,簡便的方法來判定兩個三角形的

全等;

判定兩個三角形全等的邊、角、邊公理

內容：有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等即SAS;

這個判定方法是以公理形式給出的,我們可以通過實踐操作去驗證它,但驗證不等

于證明,這點要區分開來;

公理中的題設條件是三個元素：邊、角、邊,意指兩條邊和這兩條邊所夾的角對應

相等;不能理解成兩邊和其中一個角相等;否則,這兩個三角形就不一定全等;

例如在△ABC和△A′B′C′中,

如右圖,AB=A′B′,∠A=∠A′,

BC=A′C′,但是△ABC不全等于

△A′B′C′;

又如,右圖,在△ABC和△A′B′C′中,AB＝A′B′,∠B=∠B′,AC＝A′C′,但△

ABC和△A′B′C′不全等;

原因就在于兩邊和一角對應相等不是

公理中所要求的兩邊和這兩條邊的夾

角對應相等的條件;

說明：從以上兩例可以看出,SAS≠SSA;

判定兩個三角形全等的第二個公理

內容：有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等即ASA;

這個公理也應該通過畫圖和實驗去進一步理解它;

公理強調了兩角和這兩角的夾邊對應相等,這里實質上包含了一個順序關系;千萬

不能理解成為在其中一個三角形中是兩角和其夾邊,而在另一個三角形中卻是兩

角和其中一角的對邊;

如右圖,在△ABC和△A′B′C′中,

∠A=∠A′,∠B=∠B′,AB＝A′C′,

但這兩個三角形顯然不全等;原因就是

沒有注意公理中“對應”二字;

公理一中的邊、角、邊,其順序是不能改變的,即SAS不能改為SSA或ASS;而ASA

公理卻能改變其順序,可改變為AAS或SAA,但兩個三角形之間的“對應”二字不

能變;同時這個公理反映出有兩個角對應相等,實質上是在兩個三角形中有三個角

對應相等,故在應用過程中只須注意有一條對應邊相等就行了;

由公理二可知,有一個銳角與一條邊對應相等的兩個直角三角形全等

判定兩個三角形全等的邊、邊、邊公理

公理：三條邊對應相等的兩個三角形全等即邊、邊、邊公理;

邊、邊、邊公理在判定兩個三角形全等時,其對應邊就是相等的兩條邊;

這個公理告訴我們,只要一個三角形的三邊長度確定了,則這個三角形的形狀就完

全確定了;這就是三角形的穩定性;

判定兩個三角形全等

通過以上三個公理的學習,可以知道,在判定兩個三角形全等時,無需根據定義去

判定兩個三角形的三角和三邊對應相等,而只需要其中三對條件;

三個角和三條邊這六個條件中任取三個條件進行組合;無非有如下情況：

1三邊對應相等;

2兩邊和一角對應相等;

3一邊和兩角對應相等;

4三原畫設計 角對應相等;

HL公理

我們知道,滿足邊、邊、角對應相等的兩個三角形不一定全等;

但是,對于兩個直角三角形來說,這個結論卻一定成立;

斜邊、直角邊公理：有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等簡寫為HL;

這個公理的題設實質上也是三個元素對應相等,其本身包含了一個直角相等;這種

邊、邊、角對應相等的兩個三角形全等成立的核心是有一個角是直角的條件;由

于直角三角形是一種特殊的三角形,所以過去學過的四種判定方法對于直角三角

形照常適用;

角平分線的性質定理和逆定理

性質定理：在角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等;

逆定理：到一個角的兩邊距離相等的點,在這個角的平分線上;

點在角平分線上點到這個角的兩邊距離相等;

用符號語言表示角平分線的性質定理和逆定理

性質定理：

∵P在∠AOB的平分線上

PD⊥OA,PE⊥OB

∴PD＝PE

逆定理：

∵PD＝PE,PD⊥OA,PE⊥OB

∴點P在∠AOB的平分線上;

角平分父親節圖片 線定義

如果一條射線把一個角分成兩個相等的角,那么這條射線叫做這個角的平分線;

角的平分線是到角兩邊距離相等的所有點的集合;

三角形角平分線性質

三角形三條平分線交于一點,并且交點到三邊距離相等;

互逆命題

在兩個命題中,如果第一個命題的題設是第二個命題的結論,而第一個命題的結論

是第二個命題的題設,那么這兩個命題叫做互逆命題,如果把其中一個叫做原命題,

那么另一個叫做它的逆命題;

原命題和逆命題的真假性

每個命題都有逆命題,但原命題是真命題,而它的逆命題不一定是真命題,原命題

和逆命題的真假性一般有四種情況：真、假；真、真；假、假；假、真;

互逆定理

如果一個定理的逆命題經過證明是真命題,那么它也是一個定理,這兩個定理叫做

互逆定理,其中一個叫做另一個的逆定理;

每個命題都有逆命題,但不是所有的定理都有逆定理

尺規作圖

限定用直尺沒有刻度和圓規的作圖方法叫尺規作圖;

基本作圖

最基本最常見的尺規作圖稱之為基本作圖,主要有以下幾種：

1作一個角等于已知角；

2平分已知角；

3過一點作已知直線的垂線；

4作已知線段的垂直平分線；

5過直線外一點作已知直線的平行線;

有關概念

有兩邊相等的三角形稱為等腰三角形;

三邊都相等的三角形稱為等邊三角形,又稱為正三角形;

有一個直角的等腰三角形稱為等腰直角三角形;

等邊三角形和等腰直角三角形都是等腰三角形的特例;

等腰三角形的有關概念

等腰三角形中,相等的兩邊稱為腰,另一邊稱為底邊,兩腰的夾角稱為頂角,底邊上

的兩個角稱為底角;

等腰三角形的主要性質

兩底角相等;

如圖,ABC中AB＝AC,取BC中點D,連結AD,

容易證明：ABD≌ACD,∴∠B＝∠C;

如圖,ABC中為等邊三角形,

那么,由AB＝AC,得∠B＝∠C,

由CA＝CB,得∠A＝∠B,

于是∠A＝∠B＝∠C,但∠A＋∠B＋∠C＝180,

∴∠A＝∠B＝∠C＝60

如圖,ABC中AB＝AC,且AD平分∠BAC,

那么由ABD≌ACD,

可得BD＝CD,∠ADB＝∠ADC,

但∠ADB＋∠ADC＝180,

∴∠ADB＝90,從而AD⊥BC,

由此又可得到另外兩個重要推論;

兩個重要推論

等腰三角形頂角的平分線垂直且平分底邊；

等邊三角形各內角相等,且都等于60;

等腰三角形性質及其推論的另一種論述方法

三角形中,相等的邊所對的角相等;

等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線和高三線合而為一;

等腰三角形的判定定理及其兩個推論的核心都可概括為等角對等邊;它們都是證

明兩條線段相等的重要方法;

推論3

在直角三角形中,如果一個銳角等于30,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半;

容易證明：這個推論的逆命題也是正確的;即：在直角三角形中,如果一條直角邊

等于斜邊的一半,那么這條直角邊所對的角等于30;

運用

利用等腰三角形的判定定理和性質定理容易證明結論：“在一個三角形內,如果兩

條邊不等,那么它們所對的角也不等,大邊所對的角也較大；反過來,在一個三角形

中,如果兩個角不等,那么它們所對的邊也不等,大角所對的邊較大;”

對稱軸及中心

線段的垂直平分線把線段分為相等的兩部分;

線段的中點就是它的中心,今后要學習“線段是關于中點對稱的中心圖形”;

線段是以它的中垂線為對稱軸的圖形;

三線合一的定理的逆定理

如圖所示,線段中垂線的性質定理的幾何語言為：,

于是可以用來判定等腰三角形,其定理實質上是

三線合一定理的逆定理;

“距離”不同,“心”也不同

“線段垂直平分線的性質定理與逆定理中的“距離”是指“兩點間的距離”,而

角平分線的性質定理與逆定理中的“距離”是指“點到直線的距離”;

三角形三條角平分線相交于一點,這點到三邊的距離相等這點稱為三角形的內心;

三角形三邊的垂直平分線相交于一點,這點到三個頂點的距離相等這點稱為三角

形的外心;

重要的軌跡

圖A所示;到角的兩邊OA、OB的距

離相等的點P1、P2,P3…組成一條射

線OP,即點的集合;

如圖B所示,到線段AB的兩端點的距離

相等的所有點P1、P2、P3…組成一條直

線P1P2,因此這條直線可以看成動點形

成的“軌跡”;

第十三節軸線稱和軸對稱圖形

軸對稱

把一個圖形沿著某一條直線折疊,如果它能夠與另一個圖形重合,那么這兩個圖形

叫做關于這條直線對稱,也稱軸對稱;

根據定義,兩個圖形和如果關于直線l軸對稱,則：

1和這兩個圖形的大小及形狀完全相同;

2把其中一個圖形沿l翻折后,和應完全重合,自然兩個圖形中的有關對應點也應

重合;

事實上,直線l是兩個軸對稱圖形中對應點連線的垂直平分線;所以容易得到如下

性質：

性質1關于某條直線對稱的兩個圖形是全等形;

性質2如果兩個圖形關于某條直線對稱,那么對稱軸是對應點連線的垂直平分線;

性質3兩個圖形關于某直線對稱,如果它們的對應線段或延長線相交,那么交點必

在對稱軸上;

不難看出,如果兩個圖形的對應點的連線被同一條直線垂直平分,那么這兩個圖形

關于這條直線對稱;

軸對稱圖形

如果一個圖形沿著一條直線翻折,直線兩旁的部分能夠互相重合,那么這個圖形就

叫做軸對稱圖形;

軸對稱和軸對稱圖形的區別和聯系

區別

①軸對稱是指兩個圖形關于某條直線對稱,而軸對稱圖形是一個圖形關于某條直

線對稱;

②軸對稱的對應點分別在兩個圖形上,而軸對稱圖形中的對應點都在這一個圖形

上;

③軸對稱中的對稱軸可能在兩個圖形的外邊,而軸對稱圖形中的對稱軸一定過這

個圖形;

聯系

①都是沿著某一條直線翻折后兩邊能夠完全重合;

②如果把軸對稱的兩個圖形看成是一個整體,那么這個整體反映出的圖形便是一

個

軸對稱圖形；反過來,如果把一個軸對稱圖形中關于對稱軸的兩邊部分看成是兩個

圖形,那么這兩部分對應的兩個圖形則關于這條對稱軸而成軸對稱;

第十四節勾股定理

直角三角形

直角三角形中,兩銳角互余,夾直角的兩邊叫直角邊,直角的對邊叫斜邊,斜邊最

長;

等腰直角三角形

等腰直角三角形是直角三角形中的特例;也是等腰三角形中的特例;等腰直角西安全運會 三角

形的兩個底角都等于45,頂角等于90,相等的兩條直角邊是腰;

勾股定理

直角三角形中,兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即,這就是勾股定理;

判定直角三角形

如果ABC的三邊長為a、b、c,且滿足,那么ABC是直角三角形,其中∠C＝90;

第十五節勾股定理的逆定理

勾股定理的逆定理

勾股定理是直角三角形的性質定理,而勾股定理enjoy的名詞 的逆定理是直角三角形的判定定

理;即：在△ABC中,若a2＋b2＝c2,則△ABC為Rt△;

如何判定一個三角形是否是直角三角形

首先求出最大邊如c;

驗證c2與a2＋b2是否具有相等關系;

若c2＝a2＋b2,則△ABC是以∠C＝90的直角三角形;若c2≠a2＋b2,則△ABC不

是直角三角形;

攻關秘技

方法1：證明“文字敘述的

幾何命題”的方法

這類題目證明起來較一般幾何題要難,但還是有一定的思路和方法,一般先對題

目進行總體分析,分析內容大致分為以下四點,然后逐步解決;

1分析命題的題設和結論；

2結合題設和結論畫出圖形；

3綜合題設結論和圖形寫出已知、求證；

4進行證題分析;

方法電腦配置怎么看 2：等腰三角形的邊角求值法

在解等腰三角形的邊角求值題時,應考慮到各種可能的情況,還要排除不能構成

三角形的情形;特別在解決線段或角的和差倍半關系時,常利用合成法或分解法,

借助添加輔助線來完成;

方法3：判定一個三角形是

直角三角形的方法

判定一個直角三角形可利用勾股定理的逆定理、線段的垂直平分線性質或直角

三角形的定義等,這些方法都要求掌握并能靈活運用;

方法4：作圖題

幾何作圖題的每一步都必須有根有據,所以就要求我們掌握好已學過的公理、定

理等;要掌握好尺規作圖,還要多畫多練;

知識點：全等三角形的判定與性質

方法：分析法

能力怎樣做肉丸子好吃又松軟 ：分析與解決問題的能力

難度：中等

知識點：全等三角形；角平分線

方法：合成法；分解法

能力：分析與解決問題的能力；

邏輯推理能力

難度：中等偏難

知識點：等腰直角三角形的性質；

線段的垂直平分線性質；勾股定理

方法：綜合法

能力：分析與解決問題的能力

難度：中等偏難

知識點：線段的性質

方法：數形結合法

能力：空間想象能力；

分析與解決問題的能力

難度：中等偏難

專題1：一題多問、一題多圖和多題一解

提高分析問題和解決問題能力的方法是多種多樣的,而認真的設計課本中例題、

習題的變式,挖掘其潛能也是方法之一;課本中的例題、習題為中考命題提供了豐

富的源泉,它們具有豐富的內涵,在由知識轉化為能力上具有示范性和啟發性,在

解題思路和方法上具有典型性和代表性;如果我們不以得到解答為滿足,而是在解

完之后,深入其中作進一步的挖掘和多方位探索,不僅可得到一系列的新命題,也

可從“題海”中解脫出來,達到事半功倍的效果;而且通過不同角度、不同方位去

思考問題,探索不同的解答方案,從而拓寬了思路,培養了思維的靈活性和應變能

力;

專題2：利用擴、剖、串、改提高解題能力

學習幾何時,感到例題好學易懂,但對稍加變化拓寬引申的問題束手無策,原因

是把例題的學習看成是孤立的學一道題,學完就了事,致使解題時缺乏應變能力,

但如果平時能重視對題目的擴充、剖解、串聯和改編,就能較好地解決這一問題;

1．擴充：將原題條件拓展,使結論更加豐富充分;

2．剖解：分析原題,將較復雜的圖形肢解為若干個基本圖形,使問題化隱為顯;

3．串聯：由例題的形式條件、結論等,聯想與它相似、相近、相反的問題;

4．改編：改變原題的條件形式,探索結論是否成立

專題3：分析、綜合、輔助線

我們研究不等式的有關問題時,會發現很多巧妙的方法,還會不斷學習掌握類比

的數學思想,形數結合的思想,從未知向已知轉化的化歸思想,通過研究這些不斷

變化的問題,全面把握不等式及不等式組的解法,從而提高我們分析問題、解決問

題的能力;

專題4：不等式的若干應用

在平面幾何里,證題思路主要有：1分析法,即從結論入手,逐步逆推,直至達到已知

事實后為止;2綜合法,先從已知條件入手,運用已學過的公式、定理、性質等推出

證明的結論;3兩頭湊,就是將綜合法和分析法有機地結合起來思考：一方面“從已

知推可知”,從已知看可以推出哪些結論；另一方面“由未知看需知”,從所求結

論逆推看需要什么條件,一旦可知與需知溝通,證題思路即有了;添加輔助線是證

明幾何題的重要手段,也是學習中的難點之一;

專題5：幾何證題的基本方法有兩種：

一種是從條件出發,通過一系列已確立的命題逐步向前推演,直到達到證題目的,

簡言之,這是由因導果的方法,我們稱之為直接證法或綜合法,綜合法證題的程序

如下：欲證AB,由于AC,CD,…,x,而xB,故AB.

另一種則反過來,先假定命題的結論成立,考慮達到目的需具備什么條件,通過一

系列的逆推直到回朔到已知條件為止;簡言之,這是執果索因的方法,我們稱之為

分析法,分析法證題的程序如下：欲證“AB”,也就是BA,若能分析出BC,CD,…,x,

而xA,則斷言BA,也就是AB;

在實際操作上,往往把這兩種方法結合起來,先分析探求鋪路,再綜合解題成功,簡

言之就是“倒著推,順著走”;

—平移、旋轉、對稱

在幾何證題中,常需要將一個圖形進行適當的變換,常見的幾何變換有全等有關花的詩句 變換,

等積變換和相似變換;

本章只講全等變換,也十二英語怎么說 就是不改變圖形的形狀和大小,只改變圖形位置的變換;

常見的全等變換的形式有三：

1．平移：將圖形中的某些線段乃至整個圖形平行移動到某一適當位置,作出輔助

圖形,使問題得

到解決;平移的基本特點是：任一線段在平移過

程中,其長度保持不變;

2．旋轉：將平面圖形繞平面內一定點M旋轉一個定角得到與原來形狀和大小

相同的圖形,這樣

的變換叫做旋轉變換,M叫旋轉中心,角叫旋

轉角;

旋轉變換的主要性質：1變換后的圖形與原圖形全等；2原圖中任一線段與旋轉后

的對應線段所成的角等于旋轉角;

3．對稱：將一個圖形或它的一部分繞著一條直線翻轉180,得一個與原來形狀、

大小完全相同的圖形,這種變換稱為軸對稱變換,軸對稱變換的主要特點是：對稱

軸是一切翻轉前后對應點連線的垂直平分線;

除軸對稱外,還有中心對稱,這一點我浪人情歌吉他譜 們將在下一章四邊形中講到;

方法總結：

復雜的圖形都是由較簡單的基本圖形組成,故可將復雜的圖形分解成幾個基本圖

形這樣使問題顯而易見;

當直接證題有困難時,常通過添加輔助線構造基本圖形以達到解題的目的;

綜合法是從已知條件出發探索解題途徑的方法;

分析法是從結論出發,用倒推來尋找證明思路的方法;

兩頭“湊”的方法,也就是綜合運用以上兩種方法才能找到證明思路;又叫分

析――綜合法;

轉化思想就是將復雜問題轉化、分解為簡單的問題；或將陌生的問題轉化為熟悉

的問題來處理的一種思想;