西北工業大學研究生課程考試答題紙
矩陣論(M2009A)2010-01-05
一、(18分)填空：
1．設
A
為3階實方陣，
x
1
,x
2
,x
3
為數域
R
上的線性空間
V
9
中的元素，線
性變換
T
滿足
(T(x
1
),T(x
2
),T(x
3
))?(x
1
,x
2
,x
3
)A
，在什么條件下，元素組
）
T(x
1
),T(x
2
),T(x
3
)
線性無關．（
x
1
,x
2
,x
3
線性無關，且
A可逆．
2．已知
P
是正交投影矩陣，且
P?O
（零矩陣），則P
2
．
?
（1）
?
1
?
1?3?
3.已知
A?
?
，問矩陣冪級數
?
kA
k
收斂還是發散？（收斂）
?
8
?
610
?
k?1
其原因是（
?
(A)?
7
?1?r
）．8
4．設
T
為Givens矩陣，創意制作
H
為Houholder矩陣，
O
為零矩陣，問?
?
T
?
O湯顯祖簡介
O
?
H
??
是否有可能是Houholder矩陣．（有可能）
1
?
3?2?3
?
0530?
5．矩陣
A?
?
0?6?40
?
002
?0
?
0?1
?
?1?1
1
??
?1?
??
0
?
2
???
?
．
0
?
的Jordan標準形為
J?
?2
???
0
?
21
??
?
1
?
2
?
???
?
?
O
?
O2A
?
?
6．設
A
m?n
的M-P逆為
A
?
，
O
為零矩陣，則
?
?
??
AO
??
?
(12)A
A
??
?
．
O?
二、(10分)設
?
a
是
C
n
上的已知向量范數，向量
z?(z
1
,?,z
n
)
T
?C
n
，對任意
向量
x?(x
1
,?,x
n
)
T
?C
n
，定義實值函數
x
其中
x
H
z
表示復數
x
H
z
的模，證明：
1．
x
b
是
C
n
上的向量范數；
2．若取x
a
b
?max{
x
H
zz
a
0?z?C
n
}
，
，則
x
b
?x
?
（向量的
?
-范數）．
?x
1
（向量的1-范數）
證1．任意
z?(z
1
,?,z
n
)
T
?C
n
．
①
x?0
：x
b
?max
0
H
zz
a
?max
x
H
xx
a
0
?0
z
a
?0
x?0
：x
b
?max
x
H
zz
a
?
②略．③設
y?C
n
，則有
x?y
b
?max
(x?y)
Hz
z
a
?max
x
H
zz
a
?max
y
H
zz
a
?x
b
?y
b
故
x
b
是
C
n
上的向量范數．
2．因為
xz?
x
H
zz
1
H
?
xz
i?1
n
ii
?
?
x
i
z
i
?(maxx
i
)
?
z
i
?x
i?1
i
i?1
nn
?
z
1
，則有
所以x
b
?max{
0?z?C
n
}?x
?
；設
x
k
?maxx
i
?x
i
?
x
H
e
k
?x
k
?x
?
e
k
1
?
x
b
?max{
x
H
zz
1
0?z?C
n
}?
x
H
e
k
ek
1
?x
?
故x
b
?x
?
．
1
??
?2?1
?
2
??
3?
?
，
b(t)?e
?t
?
2
?
，
x(0)?
?
2
?
．
21?2
三、(15分)已知
A?
?
??????
???
1?2
?
?
1
??
4
?
??
5
??
1.求
e
；
At
2.用矩陣函數方法求微分方程
d
x(t)?Ax(t)?b(t)
滿足初始條件
x(0)
的解.
dt
解1．
?
I?A?(
?
?1)
3四季青中藥
，
m(
?
)?(
?
?1)
2
f(
?
)?e
?
t
?m(
?
)?g(
?
)?(a?b
?
)
??
?
?
?t
f
?
(
?
)?te?[m(
?
)?g(
?
)]
?
?b
??
?t?t
??
?
a?b?e
?
a?(1?t)e
?
?
?
?t?t
??
?
b?te
?
b?te
e
At
1
??
1
??
?1?1
?
?te
?t
?
2
?
?e
?t
[I?t(A?I)]?e
?t
?
12?2
????
??
1
?
1?1
?
???
1?
?
?
3
??
2
?
?
?
2
?
?
3?2t?
?
，
x(t)?e
At
?
?
2
?
?t
?
2
?
?
?e
?t
?
2?2t
?
2
2．
e
?A
?
b(
?
)?
?
?
????
?
??
??
??
?
?
?
4
?
?
?
5
?
?
?
?
4
?
?
?
?
5?4t
?
?
??
?0
?0
四、(10分)用Houholder變換求矩陣
A??
?
0
?
?1
2
1
2
2
2
0
13
0
?
0
?
?
的
QR
分解．
6
?
?
4
?
0
1
0
0
0
0
1
0
1
?
0
?
?
0
?
?
0?
?
0
??
?1
??
0
?
0
??
0
??0
1
??
，
H
0
?I?2uu
T
?
?
解(1)
0
?
??
，
u?
?
0
??
0
2
?
0
?
?????
11
?????1
?1
?0
H
0
A??
?
0
?
?0
2
1
2
2
3
0
12
4?
?
100?
0
?
?
，
A
1
?
?
216
?
??
6?
?
?
?
220
??
0?
22
??
1
??
?1
??1
?
，
u?
1
?
1
?
，
H?I?2uu
T
?
1
?
2
?
21?2
(2)
1
?
?
1
???
3
?
3
??
???
1
?
?
2
?
??
1
?
??
2?2?
4
??
32
?
H
1
A
1
?
?
0?12
??
?
0?4
?
?
0?
?
1?
令
S?
?
H
0
，則有?
?
H
1
?
?
0?
?
1
?
1
?
0T
Q?S?H
0
?
??
?
H
1
?
3
?0
?
?3
2?21
?
34
??
12
?
32
?
122
?
4
?
，
R?
??
，
A?QR
?
21?2
?
?12?
???
000
?
?4
??
101?
906
?
?
（
i??1
）
0?7i1?
?
1020?
?
i
?9
五、(10分)用Gerschgorin定理隔離矩陣
A??
?
?i
?
?2
的特征值．（要求畫圖表示）
解①
A
的4個蓋爾圓為
G
1
:z?i?2
；
G
2
:z?9?15
；
G
3
:z?7i?2
；
G
4
:z?20?3
易見
G
2
包含著
G
1
,G
3
,G
4
．
G2
G1
G4
?
G1
?
G2
?
G4
G3
?
G3
301
?
902
?
?
0?7i1?
?
3020?
?
1
??
i
?
13
??3
?1
?
，
B?DAD?
?
②
D??
??
?i1
?
???
1
???2
?
?G
3
?
：中心距為8，半徑和為6
G1
?
?G
2
?
：中心距為
82
，半徑和為9
G1
??G
2
?
：中心距為
130
，半徑和為7
G寂寞的光棍 3
?
?G
2
?
：中心距為11，半徑和為10
G4
B
的4個孤立蓋爾圓為
?
:z?i?4
；
G
2
?
:z?9?5
；
G
3
?
:z?7i?2
；
G
4
?
:z?20?5
G1
其中各含
A
的一個特征值．
1
?
133
?
1
??
i1030
?
0.3
??
2.7
?
4.5901.8
?1
?
，
B?DAD?
??
注1：可取
D?
?
??
?i1
?
0?7i1
?
2
????
1
?
20
?
163
??
21030
?
1
??i
?
0.25
??
2.25
?1
?
，
B?DAD?
?
注2：可取
D??
??
?i1
?
???
1
???2
401
?
5
901.5
?
?
3.75
0?7i1
?2
?
4020
?6
?
0?
?
1?
?
0120?1
?
??
???
六、(15分)已知
A
的M-P逆為
A?
?
?1111?1
?
，
b?
?
2
?
．
??
?
?
?2102?1
?
?
?
0?
?
?
?1
??
1.求矩陣
A
；
2.用廣義逆矩陣方法判斷線性方程組
Ax?b
是否有解；
3.求線性方程組
Ax?b
的極小范數解，或者極小范數最小二乘解
x
0
.
（要求指出所求的是哪種解）
?
101?10?
?
（
c?1,c?2
）?
0120?1
A?FG
：解1.
A
?
?
?
，
12
??
?
00
?
?
000?
行
?
6?2?
?
?2
?
3
?
01
?
?
?
101?10
?
?
1
?
1
?
30?3
?
???
F?
?
?11
?
,
F?
?
4
?
；
G?
?
,
G?
?
2
??
14
6
?
52?1
?
??
?
0120?1
?
??
?21
62
??
??
?
?
2?3
??
?
8?4?16?
?
9
?
63
?
1
?
????
?
26
A?(A)?GF?
8?10
?
84
??
?8416
??
?
?
?9?6?3
??
?6
?
?
，
?
4
2-3．
x
0
?A
?
b?
?
AAb?Ax
0
?b
，
Ax?b
有解；
??
?
?
2
??
故
x
0
是
Ax?b
的極小范數解．
七、(15分)已知多項式空間
P
3
[t]
的子空間
W?span{f
1
(t),f
2
(t),f
3
(t),f
4
(t)}
，
其中
f
1
(t)?1?t
3
，
f
2
(t)?t?t
2
，
f
3
(t)?1?t
2
，
f
4
(t)?t?t
3
．
1．求子空間
W
的一個基；
2．對于
W
中的多項式
f(t)?a
0
?a
1
t?a
2
t
2
?a
3
t
3
，定義線性變換
T[f(t)]?(a
0
?a
1
?a
2
?a
3
)?a
1
t?(a
2
?a
3
)t
2
?(a
0
?2a
1
?2a
2
)t
3
求
W
的一個基，使
T
在該基下的矩陣為對角矩陣．
解1．子空間
W
的一個基為
f
1
(t)?1?t
3
，
f
2
(t)?t?t
2
，
f
3
(t)?1?t
2
．
2．計算基象組：
T(f
1
)??t
2
?t
3
?f
1
?f
3
，
T(f
2
)?t?t
2
?f
2
，
T(f
3
)?t
2
?t
3
??f
1
?f
3
?
10?1?
?
．
010
設
T(f
1
,f
2
,f
3
)?(f
1
,f
2
,f
3
)A
，則
A?
?
??
?
1
?
?
?10?
?
0
??
10?1
?
?
，
P?
?
010
?
1
求
P
使得
P
?1
AP?
?
：
?
?
?
????
??
2
?
1
?
???
10?
由
(g
1
,g
2
,g
3
)?(f
1
,f
2
,f
3
)P
可得
g
1
?f
1
?f
3
?2?t
2
?t
3
，
g
2
?f
2
?t?t
2
，
g
3
??f
1
?f
3
?t
2
?t
3
T
在基
g
1
,g
2
,g
3
下的矩陣為
?
．
注1：選取
W
的基為
f
1
(t),f
2
(t),f
4
(t)
時，有
0
??
00
?
0
??
200
?
?
，
?
?
?
1
?
，
P?
?
111
?
A?
?
?11?1
??????
???
2
?
2
?
?
10
????
?10?1
??
注2：選取
W
的基為
f
2
(t),f辨認的近義詞
3
(t),f
4
(t)
時，有
?
11?1
??
0
??
?111?
?
，
?
?
?
1
?
，
P?
?
200
?
A?
?
000
??????
???
2
?
?
0?12
?
????
10?1
??
注3：選取
W
的基為
f
1
(t),f
3
(t),f
4
(t)
時，有
1
??
1?1
?
0
??
1?1?1?
?
，
?
?
?
1
?
，
P?
?
111
?
A?
?
?11?1
??????
???
01
?
2
?
10
?
?
0
????
0?
八、(7分)設線性空間
V
4
的一個基為
x
1
,x
2
,x
3
,x
4
，線性變換
T
在該基下的矩陣
?
AB?
為
?
，其中
A,B,C
都是2階方陣，
O
是2階零矩陣，證明：
?
?
OC
?
1．子空間
V
1
?span{x
1
,x
2
}
是
T
的不變子空間；
2．若
B?O
，則子空間
V
2
?span{x
3
,x
4
}
不是
T
的不變子空間．
?a
證1．記
A?
?11
?
a
21
a
12
?
?
AB?
，由可得
T(x,x,x,x)?(x,x,x,x)
12341234
??
?
a
22
?
?
OC?
T(x
1
)?a
11
x
1
?a
21
x
2
?V
1
，
T(x
2
)?a
12
x
1
?a
22
x
2
?V
1
任意
x?V
1
，存在
k
1
,k
2
使得
x?k
1
x
1
?k
2
x
2
，于是有
T(x)?k
1
?T(x
1
)?k
2
?淘寶和天貓的區別 T(x
2
)?V
1
故
V
1
?span{x
1
,x
2
}
是
T
的不變子空間．
?b
2．記
B?
?11
?
b
21
b
12
??
c11
，
C?
?
cb
22
?
??
21
c
12?
，不妨設
b
11
?0
，因為
?
c
22?
x
3
?V
2
，
T(x
3
)?b
11
x
1
?b
21
x
2
?c
11
x
3
?c
21
x
4
?V
2
（反證法）
所以
V
2
?span{x
3
,x
4
}
不是
T
的不變子空間．
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