抽屜原理

更新時間:2023-04-19 04:08:15 閱讀：評論：0

廬山三疊泉瀑布-夜晚的星星

2023年4月19日發(作者：客服總監) 《什么是抽屜原理》

學習總結一：

什么是抽屜原理？

（1）舉例

桌上有十個蘋果，要把這十個蘋果放到九個抽屜里，無論怎樣放，有的抽屜能夠放一個，
有的能夠放兩個，有的能夠放五個，但最終我們會發現至少我們能夠找到一個抽屜里面至少放
兩個蘋果。

（2）定義

一般狀況下，把n＋1或多于n＋1個蘋果放到n個抽屜里，其中必定至少有一個抽屜里
至少有兩個蘋果。我們稱這種現象為抽屜原理。

學習總結二：

抽屜原理是什么

桌上有十個蘋果，要把這十個蘋果放到九個抽屜里，無論怎樣放，我們會發現至少會有一
個抽屜里面至少放兩個蘋果。這一現象就是我們所說的抽屜原理。抽屜原理的一般含義為：如
果每個抽屜代表一個集合，每一個蘋果就能夠代表一個元素，假如有n+1個元素放到n個集
合中去，其中必定有一個集合里至少有兩個元素。抽屜原理有時也被稱為鴿巢原理。它是組合
數學中一個重要的原理。

第一抽屜原理

原理1：把多于n個的物體放到n個抽屜里，則至少有一個抽屜貓為什么吃老鼠里的東西不少于兩件。

證明（反證法）：如果每個抽屜至多只能放進一個物體，那么物體的總數至多是n1，而
不是題設的n+k（k1），故不可能。

原理2：把多于mn（m乘以n）（n不為0）個的物體放到n個抽屜里，則至少有一個抽
屜里有不少于（m+1）的物體。

證明（反證法）：若每個抽屜至多放進m個物體，那么n個抽屜至多放進mn個物體，與
題設不符，故不可能。

原理3：把無窮多件物體放入n個抽屜，則至少有一個抽屜里有無窮個物體。

原理1、2、3都是第一抽屜原理的表述。

第二抽屜原理

把（mn－1）個物體放入n個抽屜中，其中必有一個抽屜中至多有（m1）個物體（例如，
將35-1=14個物體放入5個抽屜中，則必定有一個抽屜中的物體數少于等于3-1=2）。

在上方的第一個結論中，由于一年最多有366天，因此在367人中至少有2人出生在同
月同日。這相當于把367個東西放入366個抽屜，至少有2個東西在同一抽屜里。在第二個
結論中，不妨想象將5雙手套分別編號，即號碼為1，2，。。。，5的手套各有芝士焗大蝦兩只，同號
的兩只是一雙。任取6只手套，它們的編號至多有5種，因此其中至少有兩只的號碼相同。
這相當于把6個東西放入5個抽屜，至少有2個東西在同一抽屜里。

抽屜原理的一種更一般的表述為：

把多于kn+1個東西任意分放進n個空抽屜（k是正整數），那么必須有一個抽屜中放進
了至少k+1個東西。

利用上述原理容易證明：任意7個整數中，至少有3個數的兩兩之差是3的倍數。正因
任一整數除以3時余數只有0、1、2三種可能，因此7個整數中至少有3個數除以3所得余
數相同，即它們兩兩之差是3的倍數。

如果問題所討論的對象有無限多個，抽屜原理還有另一種表述：

把無限多個東西任意分放進n個空抽屜（n是自然數），那么必須有一個抽屜中放進了無
限多個東西。

學習總結三：

抽屜原理

知識要點

抽屜原理又稱鴿巢原理，它是組合數學的一個基本原理，最先是由德國數學家狹利克雷明
確地提出來的，因此，也稱為狹利克雷原理。

把3個蘋果放進2個抽屜里，必須有一個抽屜里放了2個或2個以上的蘋果。這個人所
皆知的常識就是抽屜原理在日常生活中的體現。用它能夠解決一些相當復雜甚至無從下手的問
題。

原理1：把n+1個元素分成n類，不管怎樣分，則必須有一類中有2個或2個以上的元
素。我很重要

原理2：把m個元素任意放入n（n＜m＝個集合，則必須有一個集合呈至少要有k個元
素。

其中k＝（當n能整除m時）

〔〕＋1（當n不能整除m時）

（〔〕表示不大于的最大整數，即的整數部分）

原理3：把無窮多個元素放入有限個集合里，則必須有一個集合里內含無窮多個元素。

應用抽屜原明白題的步驟

第一步：分析題意。分清什么是東西，什么是抽屜，也就是什么作東西，什么可作抽屜。

第二步：制造抽屜。這個是關鍵的一步，這一步就是如何設計抽屜。根據題目條件和結論，
結合有關的數學知識，抓住最基本的數量關聯，設計和確定解決問題所需的抽屜及其個數，為
使用抽屜鋪平道路。

第三步：運用抽屜原理。觀察題設條件，結合第二步，恰當應用各個原則或綜合運用幾個
原則，以求問題之解決。

例1、教室里有5名學生正在做作業托班班務計劃，這天只有數學、英語、語文、地理四科作業

求證：這5名學生中，至少有兩個人在做同一科作業。

證明：將5名學生看作5個蘋果

將數學、英語、語文、地理作業各看成一個抽屜，共4個抽屜

由抽屜原理1，必須存在一夢見開學個抽屜，在這個抽屜里至少有2個蘋果。

即至少有兩名學生在做同一科的作業。

例2、木箱里裝有紅色球3個、黃色球5個、藍色球7個，若蒙眼去摸，為保證取出的
球中有兩個球的顏色相同，則最少要取出多少個球？

解：把3種顏色看作3個抽屜

若要貼合題意，則小球的數目務必大于3

大于3的最小數字是4

故至少取出4個小球才能貼合要求

答：最少要取出4個球。

例3、班上有50名學生，將書分給大家，至少要拿多少本，才能保證至少有一個學生能
得到兩本或兩本以上的書。

解：把50名學生看作50個抽屜，把書看成蘋果

根據原理1，書的數目要比學生的人數多

即書至少需要50+1=51本

答：最少需要51本。

例4、在一條長100米的小路一旁植樹101棵，不管怎樣種，總有志愿者組織兩棵樹的距離不超過
1米。

解：把這條小路分成每段1米長，共100段

每段看作是一個抽屜，共100個抽屜，把101棵樹看作是101個蘋果

于是101個蘋果放入100個抽屜中，至少有一個抽屜中有兩個蘋果

即至少有一段有兩棵或兩棵以上的樹

例5、11名學生到老師家借書，老師是書房中有A、B、C、D四類書，每名學生最多可
借兩本不一樣類的書，最少借一本

試證明：必有兩個學生所借的書的類型相同

證明：若學生只借一本書，則不一樣的類型有A、B、C、D四種

若學生借兩本不一樣類型的書，則不一樣的類型有AB、AC、AD、BC、BD、CD六種

共有10種類型

把這10種類型看作10個抽屜

把11個學生看作11個蘋果

如果誰借哪種類型的書，就進入哪個抽屜

由抽屜原理，至少有兩個學生，他們所借的書的類型相同

例6、有50名戶外員進行某個項目的單循環賽，如果沒有平局，也沒有全勝

試證明：必須有兩個戶外員積分相同

證明：設每勝一局得一分

由于沒有平局，也沒有全勝，則得分狀況只有1、2、3。。。。。。49，只有49種可小貓圖片簡筆畫能

以這49種可能得分的狀況為49個抽屜

現有50名戶外員得分

則必須有兩名戶外員得分相同

例7、體育用品倉庫里有許多足球、排球和籃球，某班50名同學來倉庫拿球，規定每個
人至少拿1個球，至多拿2個球，問至少有幾名同學所拿的球種類是一致的？

解國防教育標語題關鍵：利用抽屜原理2。

解：根據規定，多有同學拿球的配組方式共有以下9種：

｛足｝｛排｝｛藍｝｛足足｝｛排排｝｛藍藍｝｛足排｝｛足藍｝｛排藍｝

以這9種配組方式制造9個抽屜

將這50個同學看作蘋果

＝5。5。。。。。。5

由抽屜原理2k＝〔〕＋1可得，至少有6人，他們所拿的球類是完全一致的

數學應用-高中化學教案

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