三角形中的幾個巧合點

三角形中的幾個巧合點

三角形中有幾個有趣的巧合點，它們是三角形的

內(nèi)心、外心、重心、垂心和旁心等．讀者能夠按以下

各例的要求，用折紙的方式求出這五心，也能夠用規(guī)

尺作圖的方式作出五心．

例1 證明：三角形三內(nèi)角平分線交于一點，此點

稱為三角形的內(nèi)心．

已知：△ABC中，AX，BY，CZ別離是∠A，∠B，∠

C的平分線，求證：AX，BY，CZ交于一點(圖3－110)．

證 因為AX，BY是∠A，∠B的平分線，因此AX，

BY必相交于一點，設(shè)此點為I(不然的話，AX，BY必平

行，那么∠BAX+∠YBA=180°，這是不可能的)，因此I

與AB，AC邊等距，I與AB，BC邊等距，因此I與AC，BC

邊等距，因此I必在CZ上，因此AX，BY，CZ相交于一點．

說明 假設(shè)證明幾條直線共點，可先證其中兩條

直線相交，再證那個交點別離在其余各條直線上，那

么這幾條直線必共點于此交點．

由于三角形三內(nèi)角平分線的交點與三邊距離相

等，因此以此交點為圓心，以此點到各邊的距離為半

徑作圓，此圓必與三角形三邊內(nèi)切，因此稱此交點為

三角形內(nèi)切圓圓心，簡稱內(nèi)心．

例2 證明三角形三邊的垂直平分線相交于一點，

此點稱為三角形的外心．

已知：△ABC中，XX′，YY′，ZZ′別離是BC，AC，

AB邊的垂直平分線，求證：XX′，YY′，ZZ′相交于

一點(圖3－111)．

分析 仿照例1的試探方式，先證XX′，YY′交于

一點O，再證O點必在ZZ′上即可．

證 因為XX′，YY′別離是△ABC的BC邊與AC邊的

中垂線，因此XX′，YY′必相交于一點，設(shè)為O(不然，

XX′∥YY′，那么∠C必等于180°，這是不可能的)．因

為OB=OC，OC=OA，因此OB=OA，因此O點必在AB的垂直

平分線ZZ′上，因此XX′，YY′，ZZ′相交于一點．

說明 由于O點與△ABC的三個極點A，B，C距離相

等，因此以O點為圓心，以OA長為半徑作圓，此圓必過

A，B，C三點，因此稱此圓為三角形的外接圓，O點稱

為三角形的外心．

例3 證明：三角形的三條中線相交于一點，此點

稱為三角形的重心．重心到極點與到對邊中點的距離

之比為2∶1．

已知：△ABC中，AX，BY，CZ別離是BC，AC，AB

邊上的中線，求證：AX，BY，CZ相交于一點G，而且AG∶

GX=2∶1(圖3－112)．

證 設(shè)AX，BY交于一點G，作AG，BG中點D，E．由

于X，Y別離是BC，AC的中點，因此XYDE，因此，四邊

形DEXY為平行四邊形，因此

GD=DA=GX，GY=GE=EB，

因此

AG∶GX=2∶1，BG∶GY=2∶1．

同理，假設(shè)BY與CZ相交于一點G′，必有

BG′∶G′Y=2∶1，G′C∶G′Z′=2∶1，

因此G′與G重合．因此三角形三條中線相交于一點．

說明 什么緣故稱G點為△ABC的重心呢？這能夠

從力學(xué)取得說明．設(shè)△ABC為一個質(zhì)量均勻的三角形薄

片，并設(shè)其重量均勻集中于A，B，C三點，若是把B，C

兩點的重量集中于BC邊中點X時，那么△ABC的三極點

A，B，C的集中重量作了從頭分派．假設(shè)A點為1，那么

X點為2，因此在AX上的重心支撐點必在AG∶GX=2∶1

處的G點．如此一來，若是在G點支起三角形，那么△

ABC必維持平穩(wěn)，因此G點為三角形的重心(圖3－113)．

例4 證明：三角形三條高線交于一點，這點稱為

三角形的垂心．

已知：如圖3－114，△ABC中，三邊上的高線別離

是AX，BY，CZ，X，Y，Z為垂足，求證：AX，BY，CZ

交于一點．

分析 要證AX，BY，CZ相交于一點，能夠利用前

面的證明方式去證，也能夠轉(zhuǎn)化成前面幾例的條件利

用已證的結(jié)論來證明．為此，能夠考慮利用三角形三

邊垂直平分線交于一點的現(xiàn)有命題來證，只須構(gòu)造出

一個新三角形A′B′C′，使AX，BY，CZ恰好是△A′B′

C′的三邊上的垂直平分線，那么AX，BY，CZ必然相交

于一點．

證 別離過A，B，C作對邊的平行線，那么取得△

A′B′C′(圖3－114)．由于四邊形A′BAC、四邊形

AC′BC、四邊形ABCB′均為平行四邊形，因此AC′

=BC=AB′．由于AX⊥BC于X，且BC∥B′C′，因此AX

⊥B′C′于A，那么AX即為B′C′之垂直平分線．同理，

BY，CZ別離為A′C′，A′B′的垂直平分線，因此AX，

BY，CZ相交于一點H(例2)．

說明 此題的證法是把此題轉(zhuǎn)化為已知命題(例2)

來論證的，可見轉(zhuǎn)化思想在解題中的重要性．

例5 證明：三角形兩外角平分線和另一內(nèi)角平分

線交于一點，此點稱為三角形的旁心．

已知：BX，CY別離是△ABC的外角∠DBC和∠ECB

的平分線，AZ為∠BAC的平分線(圖3－115)，求證：AZ，

BX，CY相交于一點．

分析 可仿照例1的試探方式，先證明BX，CY必交

于一點M，然后證明M點在AZ上，那么AZ，BX，CY必交

于一點．

以下請讀者寫出證明，并試探，什么緣故把點M

叫作旁心，一個三角形有幾個旁心？

上面講的是三角形中的五個巧合點，即為五心．下

面舉兩個與五心有關(guān)的例題，以擴(kuò)展知識，并提快樂

趣．

例6 如圖3－116．已知H是△ABC的垂心，O是外

心，OL⊥BC于L．求證：AH=2OL．

明MK=OL即可．由于OL∥AH，MK∥AH，因此OL∥MK，因

此，只需證明LK∥OM即可．由已知，這是顯然的．

證法1 作OM⊥AC于M，取CH的中點K，連結(jié)MK，LK，

那么有

MK∥AH∥OL，LK∥BH∥OM，

AH=2OL．

分析2 因為O為△ABC的外心，故可作其外接圓，

為了證明AH=2OL，可證AH等于另一線段a，而a=2OL，

那么AH=2OL．為此，需添加一些輔助線，見證明2(圖3

－117)．

證法2 連接BO并延長交⊙O于D，連結(jié)CD，AD，那

么CD=2OL．又CD⊥BC，AH⊥BC，因此AH∥CD．同理，

AD∥HC，因此四邊形AHCD為平行四邊形，因此AH=CD，

因此AH=2OL．

例7 如圖3－118．設(shè)G為△ABC的重心，從各極點

及G向形外一直線l引垂線AA′，BB′，CC′，GG′(其

中A′，B′，C′，G′為垂足)．求證：AA′+BB′+CC′

=3GG′．

分析 由于圖中有許多能夠利用的梯形，故可考

慮利用梯形中位線定理來證明．

證 設(shè)M為AC的中點，N為BG的中點，作MM′⊥l

于M′，NN′⊥l于N′，那么由已知條件可知，MM′是

梯形AA′C′C的中位線，NN′是梯形BB′G′G的中位

線，因此

又MM′+NN′=2GG′，因此

因此AA′+BB′+CC′+GG′=4GG′，

因此AA′+BB′+CC′=3GG′．

說明 當(dāng)此題中AA′，BB′，CC′，GG′不垂直

于l，但仍維持相互平行時，此題結(jié)論是不是還成立？

試作出你的猜想，并加以證明．

練習(xí)二十

1．證明本講例5．

2．如圖3－119．在△ABC中，O為外心，I為內(nèi)心，

且AB＞BC＞CA．求證：

(1)∠OAI＞∠OBI；

(2)∠OAI＞∠OCI．

3．△ABC中，I是內(nèi)心，過I作DE直線交AB于D，交

AC于E．求證：DE=DB+EC．

4．設(shè)G為△ABC的垂心，D，E別離為AB，AC邊的中

點，若是S=1，那么S=？

△ABC△GDE

5．在△ABC中，∠A=60°，O是外心，H是垂心．求

證：

AO＝AH．