五年級奧數.行程 .多人多次相遇和追及問題 (C級 ).學生版

多人多次相遇與追及

知識框架

一、多人相遇追及問題

多人相遇追及問題，即在同一直線上，3個或3個以上的對象之間的相遇追及問題。

所有行程問題都是圍繞“”這一條基本關系式展開的，比如我們遇到的兩大典型行

路程?速度?時間

程題相遇問題和追及問題的本質也是這三個量之間的關系轉化．由此還可以得到如下兩條關系式：

路程和?速度和?相遇時間

；

；

路程差?速度差?追及時間

多人相遇與追及問題雖然較復雜，但只要抓住這兩條公式，逐步表征題目中所涉及的數量，問題即可

迎刃而解．

二、多次相遇追及問題

所有行程問題都是圍繞“”這一條基本關系式展開的，多人相遇與追及問題雖然較

路程?速度?時間

復雜，但只要抓住這個公式，逐步表征題目中所涉及的數量，問題即可迎刃而解．

多次相遇與全程的關系

1. 兩地相向出發：

第1次相遇，共走1個全程；

第2次相遇，共走3個全程；

第3次相遇，共走5個全程；

…………， ………………；

第N次相遇，共走2N-1個全程；

注意：除了第1次，剩下的次與次之間都是2個全程。即甲第1次如果走了N米，以后每次都走2N

米。

2. 同地同向出發：

第1次相遇，共走2個全程；

第2次相遇，共走4個全程；

第3次相遇，共走6個全程；

1

…………， ………………；

第N次相遇，共走2N個全程；

3、多人多次相遇追及的解題關鍵

多次相遇追及的解題關鍵 幾個全程

多人相遇追及的解題關鍵 路程差

三、解多次相遇問題的工具——柳卡

柳卡圖，不用基本公式解決，快速的解法是直接畫時間-距離圖，再畫上密密麻麻的交叉線，按要求

數交點個數即可完成。折線示意圖往往能夠清晰的體現運動過程中“相遇的次數”，“相遇的地點”，以

及“由相遇的地點求出全程”，使用折線示意圖法一般需要我們知道每個物體走完一個全程時所用的時間

是多少。如果不畫圖，單憑想象似乎對于像我這樣的一般人兒來說不容易。

例題精講

【例 1】、兩地相距米，甲、乙、丙的速度分別是米/分、米/分、米/分。如果甲、乙從，

AB4A

20365

丙從地同時出發相向而行，那么，在__________分鐘或________分鐘后，丙與乙的距離是丙與

B

甲的距離的倍。

2

【鞏固】 、兩地相距336千米，有甲、乙、丙3人，甲、乙從地，丙從地同時出發相向而行，已知

ABAB

甲每小時行36千米，乙每小時行30千米，丙每小時行24千米，問幾個小時后，丙正好處于甲、

乙之間的中點？

2

【例 2】一列長110米的火車以每小時30千米的速度向北緩緩駛去，鐵路旁一條小路上，一位工人也正

向北步行。14時10分時火車追上這位工人，15秒后離開。14時16分迎面遇到一個向南走的學

生，12秒后離開這個學生。問：工人與學生將在何時相遇？

【鞏固】 鐵路貨運調度站有、兩個信號燈，在燈旁?？恐?、乙、丙三列火車。它們的車長正好構成

AB

一個等差數列，其中乙車的的車長居中，最開始的時候，甲、丙兩車車尾對齊，且車尾正好位于

ABBA

信號燈處，而車頭則沖著信號燈的方向。乙車的車尾則位于信號燈處，車頭則沖著的方

向。現在，三列火車同時出發向前行駛，10秒之后三列火車的車頭恰好相遇。再過15秒，甲車

恰好超過丙車，而丙車也正好完全和乙車錯開，請問：甲乙兩車從車頭相遇直至完全錯開一共用

了幾秒鐘？

【例 3】甲、乙兩人從相距490米的、兩地同時步行出發，相向而行，丙與

AB

甲同時從出發，在甲、乙二人之間來回跑步(遇到乙立即返回，遇到甲也立即返回)．已知丙每

A

分鐘跑240米，甲每分鐘走40米，當丙第一次折返回來并與甲相遇時，甲、乙二人相距210米，

那么乙每分鐘走________米；甲下一次遇到丙時，甲、乙相距________米．

3

【鞏固】 如圖，,為的三等分點； 8點整時甲從出發勻速向行走，8點12分乙從出發勻速向

CDABABB

ABACD

行走，再過幾分鐘后丙也從出發勻速向行走；甲,乙在點相遇時丙恰好走到點，甲,丙

8:30相遇時乙恰好到．那么，丙出發時是8點________分．

A

4

【例 4】一條路上有東、西兩鎮．一天，甲、乙、丙三人同時出發，甲、乙從東鎮向西而行，丙從西鎮向

東而行，當甲與丙相遇時，乙距他們20千米，當乙與丙相遇時，甲距他們30千米．當甲到達西

鎮時，丙距東鎮還有20千米，那么當丙到達東鎮時，乙距西鎮 千米．

丙

甲

乙

AFB

CED

【鞏固】 甲、乙、丙三人沿湖邊一固定點出發，甲按順時針方向走，乙與丙按逆時針方向走．甲第一次遇

5

到乙后又走了1分15秒遇到丙，再過3分45秒第二次遇到乙．已知甲、乙的速度比是，湖

3:2

的周長是600米，求丙的速度．

【例 5】甲、乙、丙、丁4人在河中先后從同一個地方同速同向游泳，現在甲距起點78米，乙距起點27

米，丙距起點23米，丁距起點16米．那么當甲、乙、丙、丁各自繼續游泳 米時，甲距

起點的距離剛好為乙、丙、丁3人距起點的距離之和．

【鞏固】 ，兩地相距105千米，甲、乙兩人分別騎車從，兩地同時相向出發,甲速度為每小時40千

ABAB

米，出發后1小時45分鐘相遇，然后甲、乙兩人繼續沿各自方向往前騎．在他們相遇3分鐘后，

甲與迎面騎車而來的丙相遇，而丙在地追上乙．若甲以每小時20千米的速度，乙以每小時比

C

原速度快2千米的車速，兩人同時分別從，出發相向而行，則甲、乙二人在點相遇，問丙

ABC

的車速是多少?

6

【例 6】甲、乙兩人分別從、兩地同時出發相向而行，乙的速度是甲的，二人相遇后繼續行進，甲

AB

7

2

3

到地、乙到地后立即返回．已知兩人第二次相遇的地點距第三次相遇的地點是100千米，那

BA

么，、兩地相距 千米．

AB

【鞏固】 小王、小李二人往返于甲、乙兩地，小王從甲地、小李從乙地同時出發，相向而行，兩人第一次

在距甲地3千米處相遇，第二次在距甲地6千米處相遇(追上也算作相遇)，則甲、乙兩地的距離

為 千米．

【例 7】A，B兩地相距540千米。甲、乙兩車往返行駛于A，B兩地之間，都是到達一地之后立即返回，

乙車較甲車快。設兩輛車同時從A地出發后第一次和第二次相遇都在途中P地。那么到兩車第三

次相遇為止，乙車共走了多少千米？

8

【鞏固】 小張與小王分別從甲、乙兩村同時出發，在兩村之間往返行走（到達另一村后就馬上返回），他

們在離甲村3.5千米處第一次相遇，在離乙村2千米處第二次相遇.問他們兩人第四次相遇的地

點離乙村多遠（相遇指迎面相遇）？

【例 8】A，B兩地間有條公路，甲從A地出發步行到B地，乙騎摩托車從B地出發不停頓地往返于A，B

兩地之間。他們同時出發，80分后兩人第一次相遇，100分后乙第一次超過甲。問：當甲到達B

地時，乙追上甲幾次？

9

【鞏固】 電子玩具車與在一條軌道的兩端同時出發相向而行，在軌道上往返行駛。已知比的速

ABAB

度快，根據推算，第次相遇點與第次相遇點相距厘米，軌道長 厘米。

50%58

20072008

20072008

【例 9】A、 B 兩地相距1000 米，甲從 A地、乙從 B 地同時出發，在 A、 B 兩地間往返鍛煉．乙跑步

每分鐘行150米，甲步行每分鐘行 60米．在 30分鐘內，甲、乙兩人第幾次相遇時距 B 地最近

(從后面追上也算作相遇)？最近距離是多少？

【鞏固】 A、 B 兩地相距 950 米．甲、乙兩人同時由 A地出發往返鍛煉半小時．甲步行，每分鐘走 40 米；

乙跑步，每分鐘行 150 米．則甲、乙二人第幾次迎面相遇時距 B 地最近？

10

【例 10】、兩地相距，甲、乙兩人同時從地出發，往返、兩地跑步分鐘．甲跑步的

ABAAB

950m90

速度是每分鐘；乙跑步的速度是每分鐘．在這段時間內他們面對面相遇了數次，請問

40m150m

在第幾次相遇時他們離點的距離最近？

B

【鞏固】 A、 B 兩地相距 2400 米，甲從 A地、乙從 B 地同時出發，在 A、 B 兩地間往返鍛煉．甲每

分鐘跑 300 米，乙每分鐘跑 240 米，在 30 分鐘后停止運動．甲、乙兩人第幾次相遇時距 A

地最近？最近距離是多少？

課堂檢測

【隨練1】小王的步行速度是4.8千米/小時，小張的步行速度是5.4千米/小時，他們兩人從甲地到乙地

去.小李騎自行車的速度是10.8千米/小時，從乙地到甲地去.他們3人同時出發，在小張與小

李相遇后5分鐘，小王又與小李相遇.問：小李騎車從乙地到甲地需要多少時間？

【隨練2】鐵路旁的一條與鐵路平行的小路上，有一行人與騎車人同時向南行進，行人速度為3.6千米/時，

騎車人速度為10.8千米/時，這時有一列火車從他們背后開過來，火車通過行人用22秒，通過

騎車人用26秒，這列火車的車身總長是多少？

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【隨練3】甲、乙二人進行游泳追逐賽，規定兩人分別從游泳池50米泳道的兩端同時開始游，直到一方追

上另一方為止，追上者為勝。已知甲、乙的速度分別為1.0米／秒和0.8米／秒。問：（1）比

賽開始后多長時間甲追上乙？（2）甲追上乙時兩人共迎面相遇了幾次？

【隨練4】甲、乙兩車同時從同一點出發，沿周長6千米的圓形跑道以相反的方向行駛．甲車每小時行

A

駛65千米，乙車每小時行駛55千米．一旦兩車迎面相遇，則乙車立刻調頭；一旦甲車從后面

追上乙車，則甲車立刻調頭，那么兩車出發后第11次相遇的地點距離點有多少米？(每一次

A

甲車追上乙車也看作一次相遇)

家庭作業

【作業1】公路上，汽車、、分別以，，的速度勻速行駛，若汽車從

ABA

C80km/h70km/h50km/h

甲站開往乙站的同時，汽車、從乙站開往甲站，并且在途中，汽車在與汽車相遇后的

BAB

C

兩小時又與汽車相遇，求甲、乙兩站相距多少千米？

C

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【作業2】甲、乙、丙在湖邊散步，三人同時從同一點出發，繞湖行走，甲速度是每小時5.4千米， 乙速

度是每小時4.2千米，她們二人同方向行走，丙與她們反方向行走，半個小時后甲和丙相遇，

在過5分鐘，乙與丙相遇。那么繞湖一周的行程是多少？

【作業3】兩地相距432千米，有甲、乙、丙三人，甲、乙從地，丙從地同時出發相向而行，已

A、B

AB

知甲每小時行36千米，乙每小時行30千米，丙每小時行24千米，問幾個小時之后，乙正好在

甲、丙兩人的中點？

【作業4】甲、乙兩車同時從、兩地相對亦開出，兩車第一次距地32千米處相遇，相遇后兩車繼續

ABA

行駛，各自達到、兩地后，立即沿原路返回，第二次在距地64千米處相遇，則、兩地

BAAAB

間的距離是__________千米。

13

【作業5】小明和小紅兩人在長100米的直線跑道上來回跑步，做體能訓練，小明的速度為6米/秒，小紅

的速度為4米/秒．他們同時從跑道兩端出發，連續跑了12分鐘．在這段時間內，他們迎面相

遇了多少次？

【作業6】每天中午有一條輪船從哈佛開往紐約，且每天同一時刻也有一艘輪船從紐約開往哈佛．輪船在

途中均要航行七天七夜．試問：某條從哈佛開出的輪船在到達紐約前（途中）能遇上幾艘從紐

約開來的輪船？

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