分式方程的增根及無解

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分式方程的增根與無解

甲：增根是什么？

乙：增根是解分式方程時， 把分式方程轉化為整式方程這一變形中， 由于去分母擴大了未知數的取值范圍而產生的 未知數的

值 比如

.

例 、解方程： 。①

1

為了去分母，方程兩邊乘以 ，得 ②

由② 解得 。

甲：原方程的解是 。

乙：可是當 時，原方程兩邊的值相等嗎？

甲：這我可沒注意，檢驗一下不就知道了。喲！當 時，原方程有的項的分母為 ，沒有意義，是不是方程變形 過程中搞錯啦？

0

乙：求解過程完全正確，沒有任何的差錯。

甲：那為什么會出現這種情況呢？

乙：因為原來方程 ①中未知數 的取值范圍是 且 ，而去分母化為整式方程②后，未知數 的取值范圍擴 大為全體實數。這

x x

樣，從方程②解出的未知數的值就有可能不是方程①的解。

甲：如此說來，從方程 ①變形為方程 ② ，這種變形并不能保證兩個方程的解相同，那么，如何知道從整式方程 ②解 出的未知

數的值是或不是原方程 ①的解呢？

乙：很簡單，兩個字：檢驗。可以把方程 ②解出的未知數的值一一代入去分母時方程兩邊所乘的那個公分母，看是 否使公分母等

于 ，如果公分母為 ，則說明這個值是增根，否則就是原方程的解。

00

甲：那么，這個題中 就是增根了，可原方程的解又是什么呢？ 乙：原方程無解。

甲：啊？！為什么會無解呢？ 乙：無解時，方程本身就是個矛盾等式，不論未知數取何值，都不能使方程兩邊的值相等 ，如上題

中，不論 取何 值，都不能使方程①兩邊的值相等，因此原方程無解，又如對于方程 ，不論 取何值也不能使它成立，因此，

x x

這個方程也無解。

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甲：是不是有增根的分式方程就是無解的，而無解的分式方程就一定有增根呢？

乙：不是！ 有增根的分式方程不一定無解，無解的分式方程也不一定有增根 ，你看：

例 、解方程 ，

2

去分母后化為 ，解得 或 ，此時， 是增根，但原方程并不是無解，而是有一個解 ，

而方程 ，去分母后化為 ，原方程雖然無解，但原方程也沒有增根。

乙：增根不是原分式方程的解， 但它是去分母后所得的整式方程的解， 利用這種關系可以解決分式方程的有關問題， 你看：

例 、已知關于 的方程 有增根，求 的值。

3 x k

首先把原方程去分母，化為 。③

因為原方程的最簡公分母是 ，所以方程的增根可能是 或

若增根為 ，代入方程 ③，得 ， ；

若增根為 ，代入方程 ③，得 ， 。

故當 或 時，原方程會有增根。

甲：雖然無解的分式方程不一定有增根， 有增根的分式方程不一定無解， 但我還覺得無解與增根之間似乎有種微妙 的關系，這

是怎么一回事？

乙：你說的沒錯， 增根與無解都是分式方程的 “常客 ”，它們雖然還沒有達到形影不離的程度，但兩者還是常常相伴

而行的 ，在有些分式方程問題中，討論無解的情形時應考慮增根，例如：

例 、已知關于 的方程 無解，求 的值 先把原方程化為 。 ④

4 x m

1

)若方程④無解，則原方程也無解，方程④化為 ，當 ，而 時，方程④無解，此時

()若方程④有解，而這個解又恰好是原方程的增根，這時原方程也無解，所以，當方程④的解為 時原方程

2

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無解， 代入方程④，得 ，故 。

綜合( )、( )，當 或 時，原方程無解。

12

妙用分式方程的增根解題

在解分式方程的過程中，我們還可以利用增根來求分式方程中的待定字母的值 請看下面幾例

例 若關于 x的方程

1

ax 1

1 0 有增根，則 a的值為 _____________________________

.

x1

..

析解：去分母并整理，得 ，因為原方程有增根，增根只能是 ，將 代入去分母后的整式方 程，得

ax 1 x 1x 1x 1 a 1 .

例 若關于 x的方程

2

x 2 m

2無解，則 m 的值是 _____________________

.

x 3 x 3 析解：去分母并整理，得

x m 4 0 .

解之，得

x 4 m .

因為原方程無解，所以 為方程的增根 又由于原方程的增根為 所以 ， 例 已知方程

x 4 m .x 3 .4 m 3 m 1. 3.

1k

＋＝

2

有增根，則 ＝ _______________________________________________

k .

4 x x 2

2

析解：把原方程化成整式方程，得

1 2(4 x) k(x 2) 因為原方程有增根，所以增根只能是 或

2

. x 2x 2.

2

將代入1 2(4 x

x 2

2

) k(x 2)，得 k ；

1

4

4

1

將代入1 2(4 x) k(x 2) ，無解 故應填－

x 2..

2

練一練：

1. .

如果分式方程 無解，則 m 的值為( )

x m

x 1 x 1

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2

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（）（）（）－（）－

A1 B0 C1 D2

x 1 1 x

2

2. x 1k .

如果方程 2有增根 ，則 ＝ ____________________

xk x

2

答案： ； ；

1.C2.1

分式方程的增根及其應用

一、增根的原因 解分式方程時，有時會產生增根，這是因為我們把分式方程轉化為整式方程過程中，無形中取掉了原分式

方 程中分母不為零的限制條件，從而擴大了未知數的取值范圍，于是就產生了如下兩種情況： （ ）如果整式方程的

根都在分式方程未知數的取值范圍內，那么整式方程的根就是分式方程的根； （ ）如果整式方程的有些根不在分

1

2

式方程未知數的取值范圍內，那么這種根就不是分式方程的根，是分式方程的增根．因此，解分式方程時，驗根 是必不可少的步

驟．

二、利用增根解題 不可否認，增根的出現給我們的解題帶來了一定的麻煩，然而任何事物都有其兩面性，由增根的原因知道，

分式方程的增根一定是所化成的整式方程的根，同時還能使其最簡公分母的值為零，據此可以解決一些相關的問 題，常見的類型

有如下幾種：

1

．已知方程有增根，確定字母系數值

例 ：若方程

1

xm

2 有增根，則 的值為 （ ）

m

x 3 x 3

A3 B3 C0 D

． －．． ．以上都不對

析解：把分式方程兩邊同乘以公分母 － ，得整式方程 －（－）．若原方程有增根，必須使公分母 －等于

x3x2x3=mx 3

0x=33=6mm=3B

，即 ，代入整式方程得 － ，解得 ．故應選 ．

點評：方程有增根，一定是公分母等于 的未知數的值．解這類題的一般步驟①把分式方程化成的整式方程； ②令公分母

0

為 ，求出 的值；③再把 的值代入整式方程，求出字母系數的值．

0x x

2

．已知方程無解，確定字母系數值

例 ：若方程

2

3 2x 2 mx

1無解，則 的值為 （ ）

m

x 3 3 x

A1 B3 C1 3 D1

． －．．－或．－或

3

5 分析：把分式方程化為整式方程，若整式方程無解，則分式方程一定無解；若整式方程有解，但要使分式方 程無解，

則該解必為使公分母為 時對應的未知數的值，此時相應的字母系數值使分式方程無解．

0

解：去分母，得 －－－整理 得－．若 ，則 －，此時方程無解；若

（32x）（2+mx）=3x,,（m+1） x=2m+1=0m= 1

m+1

2 2 3 3

≠，則 ．所以 的值為－ 或 ，故應選 ．

0x= m1 D

2233

是增根．因為 ，所以

=3m=

m 1 m 1 5 5 點評：方程無解的條件，關鍵是看轉化后的整式方程解的情況．既要考慮整式方程無解的條件，又要考慮

整 式方程有解，但它是分式方程增根的可能性，考慮問題要全面、周到．

3

．已知方程無增根，確定字母系數值

例 ：若解關于 的方程

3x

xk x

不會產生增根，則 的值為 （ ）

2

k

A2 B1 C2 D

．．．不為± 的數 ．無法確定

x 1 x 1 x 1

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析解：去分母，把分式方程化為整式方程， －－，解關于 的方程 得 由題意分式方程無

x（x+1）k=x（x1）k ,k=2x.,

增根，則公分母 － ≠ ，即 ≠± 則 ≠± ．故應選 ．

x10x1,k 2C

2

點評：方程無增根，就意味著對應的整式方程的根使分式方程的公分母不等于 ，利用這一點可以確定字母系

數值或取值范圍．

妙用分式方程的增根求參數值 解分式方程時，常通過適當變形化去分母，轉化為

整式方程來解，若整式方程的根使分式方程中的至少一個 分母為零，則是增根，應舍去，由此定義可知：增根有兩個性質：

（ ）增根是去分母后所得整式方程的根； （） 增根是使原分式方程分母為零的未知數的值，靈活運用這兩個性質，可簡捷

12

地確定分式方程中的參數（字母）值， 請看下面例示：

一、 分式方程有增根，求參數值

x 4 x a

例為何值時，關于 的方程 有增根？

1 a x =0

x 3

分析：先將原分式方程轉化為整式方程，然后運用增根的兩個性質將增根代入整式方程可求 的值

解：原方程兩邊同乘以（ ）去分母整理，得

x-3

2

0

a

x-4x+a=0

（※）

因為分式方程有增根，增根為 ，把 代入（※）得，

x=3x=3 9-12+a=0 a=3

x 4 x a

所以 時， 有增根。

a=3 =0

x 3

點評：運用增根的性質將所求問題轉化為求值問題，簡捷地確定出分式方程中的參數（字母）值

2 m 2 1

例為何值時，關于 的方程 x 1

2 m x + =

x 2

x

2

有增根。

3x 2

分析：原分式方程有增根，應是使分母為 的 值。將這樣的 值代入去分母的整式方程可求出 的值。 解：原方程兩

0xxm

邊同乘以（ ）（ ）去分母整理，得

x-1x-2

（ ） （※）

1+mx=3m+4

3

因為分式方程有增根，

2

2

2

m

據性質（ ）知：增根為 或 。把 代入（※），解得

2x=1 x=2x=1 m=-

2

x=2 m=-2

；把 代入（※） 得

3

所以

m=-

2

-2

或 時，原分式方程有增根

k 2 2 點評：分式方程有增根，不一定分式方程無解（無實） ，如方程 x 1 （x 1）（ x 2） 有增根，可求得

+1= k=-

3 ，但分

8

式方程這時有一實根

x=

3

。

二、 分式方程是無實數解，求參數值

x 2 m

例 若關于 的方程 無實數根，求 的值。 分析：因原方程無實數根，將原方程去分母得到整式方程解出的

3 x = +2 m x

x 5 x 5

值為原方程的增根，又 是原方程的增根， 故可求出 的值

x=5 m

解：去分母，得 ，

x-2=m+2x-10x=-m+8

因為原方程無解，所以 為原方程的增根。

x=-m+8

又由于原方程的增根為 ，所以

x=5-m+8=5

所以 點評：這類型題可通過列增根等于增根的方程求出參數值。

m=3

分式方程的非常規解法

抓特點選方法

有些分式方程利用一般方法解非常麻煩， 若能根據題目的特點， 采用一些特殊的方法， 就可避免不必要的麻煩， 巧妙地

求得方程的解，獲得意外的驚喜，現結合幾道習題予以說明．

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、分組化簡法

1111

例 ．解方程：

1

1 1 1 1

0

x 2 x 3 x 4 x 5

分析：本題的最小公分母為 (x 2)(x 3)(x 4)(x 5) ，若采用一般解法，就會出現高次項數，計算相當繁瑣，

而且也極易出錯，我們注意到

1 1 11 1 1

， ，在此基礎上再通過比較上 x 2 x 3 ( x 2)( x 3) x 4 x 5 (x 4)( x 5)

面兩式即可將本題求解．

解：原方程化為： (

1 11 11 1

) ( ) 0 ，∴上式可變為： 0 ．即

x 2 x 3 x 4 x 5 (x 2)(x 3) (x 4)(x 5)

11 ( x 2)( x 3) ( x 4)( x 5)

∴(x 2)(x 3) (x 4)(x 5) ，解這個整式方程得： ，當 時，該分式方程中各分式的分母的

x 3.5x 3.5

值均不為 ，所以 為原方程的解．

0 x 3.5

二、拆項變形法

4311

例 ．解方程

2

2

－

=

22

x 3x 2 x 2 x x x 2x

222

分析：本題求解時應首先將題目中的第 ，， 個分式的分母因式分解，再將這幾個分式分解成兩個分式差

134

的形式，目的是通過整理將其化繁為簡，使方程變得簡捷易解．

解：原方程變形為： (

x

3311122

2 x1x2x1xx2x

) ( ) ( )

化簡后整理得：

3 4

，∴ 3(x 1) 4 x ，解得： ，當 時，分式方程中的各分式的分母均不為 ，故 x x 1

x 3x 30

x 3

是原方程的解． 11 三、利用特殊分式方程 x a 求解． xa

11

1 1 1

分式方程 x 的解為 xax

111

a ，若一個方程等號兩邊的項分別互為倒數時，則此時便可套用上面 x a a

1 2

，

的方程的解法求解．

例 ．解方程：

3

2

x 1 3 x 2

分析：因本題中

3xx

與

3x x 1 1

2

與分別互為倒數，符合方程

1

2

x 1 3 x

11

x a

11

的特點，故可將該方程轉化為這種 xa

方程的形式求解．

解：原方程變形為

3x x 11x 11

2 ，設則 ，此時原方程變形為：

=

x 1 3 x 2 3x y

3x 3x

2或

x1

x1 2

x2

1

11

y 2 ，

11

y2

11

1

y 2或y ．即

1

2

x 2x ．經檢驗得： x 2x 都是原方程的解．∴原方程的解為

1212

， ，

5

11

5

，

x

2

與分式方程根有關的問題分類舉例 與分式方程的根有關的問題，在近年的中考試題

中時有出現，現結合近年的中考題分類舉例，介紹給讀者， 供學習、復習有關內容時參考。

1.

已知分式方程有增根，求字母系數的值

解答此類問題必須明確增根的意義：

(1) 增根是使所給分式方程分母為零的未知數的值。

5

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（）增根是將所給分式方程去分母后所得整式方程的根。 利用（ ）可以確定出分式方程的增根，利用（ ）可以求出分

212

式方程有增根時的字母系數的值。 例 （ 年潛江市）

1. 2000

使關于 的方程 a

x

2 2x 4 2a

產生增根的 的值是（ ）

a

x 2 2 x

A. 2 B. 2 C. 2 D. a

a

2

x 4

0 1

2

2

－與 無關

解：去分母并整理，得：

因為原方程的增根為 ，把 代入，得

x=2x=2 <1>a

2

=4 a 2 C

所以 故應選 。

例 （ 年山東省）

2. 1997

產生增根，則 的值是（

m

若解分式方程

2

x1

x x x

A. 1 2 B. 12

－或－－或

C. 1 2 D. 1 2

或 或－

解：去分母并整理，

得：

2x

2

2

x 2x 2 m 0

m 1 x 1

）

1

又原方程的增根是 或 ，把 或 －分別代入 式，得： 或

x=0x 1x=0 x=1 <1>m=2 m=1

故應選 。

C

例 （ 年重慶市）

3. 2001

若關于 的方程

x

ax 1

1 0有增根，則 的值為 ____________________ 。

a

x1

解：原方程可化為： a 1 x 2 0 1 又原方程的增根是 ，把 代入 ，得：

x 1x 1<1>a1

故應填“ ”。

1

例 （ 年鄂州市）

4. 2001

關于 的方程

x

xk

2 會產生增根，求 的值。

k

x 3 x 3 解：原方程可化為： x 2 x 3 k 1 又原方程的增根為 ，把 代入 ，得：

x=3x=3 <1>k=3

例 當 為何值時，解關于 的方程： 只有增根

5. k xx=1

解：原方程可化為：

x 1 k 5 x 1 k 1 x 1

2

1k5k1x

x x

2

1 xx1x1

把 代入 ，得 所以當 時，解已知方程只有增根 。 評注：由以上幾例可知，解答此類問題的基本思

x=1 <1> k=3 k=3 x=1

路是：

（）將所給方程化為整式方程；

1

（）由所給方程確定增根（使分母為零的未知數的值或題目給出） ；

2

（）將增根代入變形后的整式方程，求出字母系數的值。

3

2.

已知分式方程根的情況，求字母系數的值或取值范圍

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例 （ 年荊門市）

6. 2002

當 的值為 _________ （填出一個值即可）時，方程

k

x k2x

只有一個實數根。

2

x 1 x x 解：原方程可化為： x 2 x k 0 1 要原方程只有一個實

22

數根，有下面兩種情況：

（）當方程 有兩個相等的實數根，且不為原方程的增根，所以由 得 －。當 －時，

1＜1＞4 4k 0 k=1k=1

方程 的根為 x x 1 ，符合題意。

＜1＞

12

（）方程 有兩個不相等的實數根且其中有一個是原方程的增根，所以由 ，得 －。又原

2＜1＞4 4k 0 k＞1

綜上所述：可填“－ 、、”中的任何一個即可。

103

例 （ 年孝感市）

7. 2002

當 為何值時，關于 的方程

m x

2 xm1

2

1 無實根？

x x x x 1 解：原方程可化為：

x x 2 m 0 1

要原方程無實根，有下面兩種情況：

2

2

方程的增根為 或 ，把 或 分別代入 得 ，或 ，均符合題意。

x=0 x=1x=0 x=1 ＜1＞k=0 k=3

7

（）方程 無實數根，由

1＜1＞1

27

，得 m ；

4 2 m 0

x=0 x=1x=0 x=1 2＜1＞

或 ，把 或 （）方程 的實數解均為原方程的增根時，原方程無實根，而原方程的增根為

4

分別代入 得 。

＜1＞m=2

綜上所述：當 m

7

或當 時，所給方程無實數解。

m=2

4

例 （ 年南昌市）

8. 2003

已知關于 的方程

x

1 m

m有實數根，求 的取值范圍。

m

x x 1

解：原方程化為： mx

2

x 1 0 1

要原方程有實數根，只要方程 有實數根且至少有一個根不是原方程的增根即可。

＜1＞

（）當 時，有 ，顯然 是原方程的增根，所以 應舍去。

1m=0 x=1x=1 m=0

1

（）當 時，由 ，得 m 。

2m 0 1 4m 0

4

又原方程的增根為 或 ，當 時，方程 不成立；當 x 1m 0。

x=0 x=1x=0 ＜1＞，

綜上所述：當 m

1

且 時，所給方程有實數根。

m 0

4 評注：由以上三例可知，由分式方程根的情況，求字母系數的值或取值范圍的基本思路是： （）將

1

所給方程化為整式方程；

（）根據根的情況，由整式方程利用根的判別式求出字母系數的值或取值范圍，注意排除使原方程有增根的 字母系數的

2

值。

3.

已知分式方程無增根，求字母系數的取值范圍

2

例 當 取何值時，解關于 的方程：

9. a x

解：原方程可化為：

2

2x ax 3 0 1

2

x 1 x 2 2 x ax

無增根？

x 2 x 1 x 2 x 1

又原方程的增根為 或 ，把 或 分別代入 得：

x=2 x 1 x=2 x 1＜1＞

5

a

或

a 1

2

又由

a

2

知，可以取任何實數。

24 0a

5

所以，當 a

且 時，解所給方程無增根。

a 1

2

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評注：解答此類問題的基本思路是：

（）將已知方程化為整式方程； （）由所得整式方程求出有增根的字母系數的值和使整式方程有實數根的字母系數的取

12

值范圍；

（）從有實數根的范圍里排除有增根的值，即得無增根的取值范圍。

3

4. 9. x 0a

已知分式方程根的符號，求字母系數的取值范圍 例 已知關于 的方程 1的根大于 ，求 的取值范圍。

x a

x2 解：原方程可化為： 所以 x 1

2x 2 a

a

2

由題意，得：

aa

102

且 1

22 所以 且例 已知關于 的方程 2 的根小于 ，求 的取值范圍。

a 2 a 2 10. x 0k

x k

x2

解：原方程可化為：

x k 2x 4

所以 由題意，得： 所以 評注：解答此類題的基本思路是： （）求出已知方程的根； （）由已知建立

x k 4 k 4 0 k 4 12

關于字母系數的不等式，求出字母系數的取值范圍，注意排除使原方程有增根的字母系數的 值。

說明：注意例 與例 的區別，例 有1

9109

a

2，而例 無這一不等式？請讀者思考。

10k 4 2

2

增根在分式方程中的靈活運用

增根是指適合所化的整式方程，但不適合原分式方程的根。由此可見，增根必須同時滿足兩個條件： （ ）是

1

由分式方程轉化成整式方程的的根。 （ ）使最簡公分母為零。在解分式方程時，由于可能出現增根，因此我們在 解分式方程

2

時要驗根，這是增根的基本用途。在近幾年中考中出現了一類關于分式方程增根靈活運用的題。下面 我們來看兩種類型的應用：

（一）由增根求參數的值

這類題的解題思路為：

① 將原方程化為整式方程（兩邊同乘以最簡公分母） ；

② 確定增根（題目已知或使分母為零的未知數的值） ； ③將增根代入變形后的整式方程，求出參數的值。

例：（揚州中考題）

2005

若方程

6

(x 1)(x 1)

m

=1

有增根，則它的增根是（

x1

A0 B 1 C -1 D 1 -1 （x+1）（x-1）=0 x=-1 x=1,

、、、、或分析：使方程的最簡公分母 則或 但不能忽略增根除滿足最簡公

分母為零 還必須是所化 整式方程的根。

,

原方程易化成整式方程：

6-m（x+1）= x -1

整理得：

2

m(x+1)=7-x

當 時 此時 無解；

x= -1 ,m

當 時解得 。 由此可得答案為 。

x=1 , m=3B

（二）由分式方程根的情況，求參數的取值范圍

這類題的解題思路為

①將原方程化為整式方程。

②把參數看成常數求解。

③ 根據根的情況，確定參數的取值范圍。 （注意要排除增根時參數的值） 例：關于 的方程

x

xm

有一個正數解，求

-2=

m

的取值范圍。

x 3 x 3

分析：把 看成常數求解，由方程的解是正數，確定 的取值范圍，但不能忽略產生增根時 的值。 原方程易化為整式方

m m m

2

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程：

x-2 （x-3）=m

整理得：

x=6-m

∵原方程有解，故 不是增根。

6-m

∴ ≠即 ≠

6-m3 m3

∵>

x0

∴<由此可得答案為 的取值范圍是 < 且 ≠ 。

m6 m m6 m3

綜上所述關于增根的問題，一定要弄清楚增根的定義，及增根必須滿足的條件，和解這類題的思路，相信同學們就不會覺

得困難了。

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