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期權定價理論介紹（1）
期權是一種獨特的衍生金融產品，它使買方能夠避免壞的結果，同時，又能從好的結果
中獲益。金融期權創立于20世紀70年代，并在80年代得到了廣泛的應用。今天，期權已
經成為所有金融工具中功能最多和最激動人心的工具。因此，了解期權的定價對于了解幾乎
所有證券的定價，具有極其重要的意義。而期權定價理論被認為是經濟學中唯一一個先于實
踐的理論。當布萊克（Black）和斯科爾斯（Scholes）于1971年完成其論文，并于1973
年發表時，世界上第一個期權交易所——芝加哥期權交易所（CBOE）才剛剛成立一個月（1973
年4月26日成立），定價模型馬上被期權投資者所采用。后來默頓對此進行了改進。布萊
克—斯科爾斯期權定價理論為金融衍生產品市場的快速發展奠定了基礎。
期權定價理論并不是起源于布萊克—斯科爾斯定價模型（以下記為B—S定價模型）。
在此之前，許多學者都研究過這一問題。最早的是法國數學家路易·巴舍利耶（Lowis
Bachelier）于1900年提出的模型。隨后，卡蘇夫(Kassouf，1969年)、斯普里克爾（Sprekle，
1961年）、博內斯（Boness，1964年）、薩繆爾森（Samuelson，1965年）等分別提出了
不同的期權定價模型。但他們都沒能完全解出具體的方程。本講主要討論以股票為基礎資產
的歐式期權的B—S定價理論。
一、預備知識
（一）連續復利
我們一般比較熟悉的是以年為單位計算的利率，但在期權以及其它復雜的衍生證券定價
中，連續復利得到廣泛的應用。因而，熟悉連續復利的計算是十分必要的。
假設數額為A的資金，以年利率r投資了n年，如果利率按一年計一次算，則該筆投資
的終值為。如果每年計m次利息，則終值為：。
A(1?r)
A(1?)
n
r
mn
m
當m趨于無窮大時，以這種結果計息的方式就稱為連續復利。在連續復利的情況下，金
額A以利率r投資n年后，將達到：。
Ae
對一筆以利率r連續復利n年的資金，其終值為現值乘以，而對一筆以利率r連續
e
復利貼現n年的資金，其現值為終值是乘上。
e
?rn
rn
rn
在股票投資中，我們一般都以連續復利計息。也就是說，現在金額為S投資股票，期望
以復利μ計息，經過T時期后（T一般以年為單位），股票的期望價格為：，
S?Se
T
從而可得：。也就是說，股票價格的期望收益率為股票價格比的對數。
?
?ln
?
T
1
S
T
TS
1 / 7
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（二）股票價格的行為過程
眾所周知，股價運動一般沒有規律可循，但我們可以用一種隨機過程來刻劃股價的運動。
隨機過程是指：如果某變量的價值以某種不確定的方式隨時間變化，則稱該變量遵循某種隨
機過程。特別地，當一個隨機過程變量的未來預測值只與該變量的當前值有關，而與該變量
的過去值無關時，我們稱該隨機過程為馬爾可夫過程。以下我們要介紹幾種特殊的馬爾可夫
過程。
1、基本的維納過程
要理解遵循維納過程的變量z的行為，可以考慮在短時間間隔上變量z值的變化。設一
個小的時間間隔長度為Δt，定義Δz為在Δt時間內z的變化。如果滿足：
（1）Δz （6.1）
??t
?
其中，是服從標準正態分布N（0，1）的一個隨機變量；
?
（2）對于任何兩個不同的時間間隔Δt，Δz的值相互獨立。
則稱變量z遵循基本維納過程。
由（1）知，Δz也服從正態分布，且其均值為0，方差為Δt，標準差為。
?t
由（2)知，z遵循馬爾科夫過程。
設z值在時間T后的增量為，這可以被看作在N個長度為Δt的小時間間
z(T)?z(0)
隔后z的變化的總量。其中，從而
N?
N
T
?t
z(T)?z(0)??t
?
?
i
(6.2)
i?1
其中是服從標準正態分布的隨機抽樣值，且相互獨立。從而
?
i
(i?1,2,???,N)
z(T)?z(0)T(?N??t)
也服從正態分布，其均值為0，方差為，標準差為。
T
另外，6.1式的極限形式可表示為： (6.3)
dz?dt
?
2、一般化的維納過程
變量x的一般化維納過程定義如下：
dx?adt?bdz
(6.4)
其中為常數，為同6.3式的基本維納過程。
a,b
dz
adt
項表示變量x在單位時間內的漂移量，其期望值為。
a
bdzb
項可被看作為增加到x軌跡上的波動率或噪聲，其值為維納過程的倍。
在缺省項的情況下，方程變為：
bdzdx?adt
對其積分可得：
x?x?at
0
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其中x為變量x在零時刻的值。經過t時間后，x增加的值為。
0
at
6.4式的離散形式為：
?x?a?t?b?z?a?t?b?t
?
(6.5)
2
從而，具有正態分布，且的均值為，方差為，標準差為。
?x?xa?t
b?t
b?t
經過時間T后，值的變化具有正態分布，同樣，可以求得其均值為，方差為，
x
aT
bT
標準差為。
bT
方程6.4給出了一般性維納過程。其漂移率（單位時間的平均漂移）的期望值為，方
a
差率（即單位時間的方差）的期望值為。如圖6.1所示。
b
變量x
2
2
圖7.1 一般化的維納過程
時間t
3、ITO過程（ITO process）
ITO過程是一個更一般化的維納過程，其數學表達式為：
dx?a(x,t)dt?b(x,t)dz
ITO過程的期望漂移率和方差率都隨時間的變化而變化。
在B—S期權定價模型中，很重要的一點就是假定股價的變動遵循ITO過程。但如何定
義這一過程的期望漂移率和方差率是關鍵。一個合理的假設就是股價S的變動可用瞬時期望
漂移率為，瞬時方差率為的ITO過程來表達。表示為：
?
S
?
S
22
dS?Sdt?Sdz
??
(6.6)
(6.7)
dS
?dt?dz
??
S
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這是因為投資者要求來自股票的期望百分比收益與股票價格無關。當股價的方差率恒為
0時：，得： 。其中，這說明了當方差率為0 時，是零時刻的股價。
dS?Sdt
?
S?Se
0
?
?t
S
0
股價以單位時間為的連續復利方式增長。
?
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6.7式的離散形式為：
?S
??t??z??t??t
?????
(6.8)
S
例：考慮一種不付紅利的股票，波動率為每年30%，預期收益率以連續復利計每年15%，
即，則股票價格的行為過程為：
??
?0.15,?0.30
dS
?0.15dt?0.30dz
S
?S
?0.15?t?0.30?t
?
化為離散形式：
S
方程6.8的左邊是短時間后股票的收益比, 項是這一收益的期望值,項
?t
?
?t
??
?t
是收益的隨機部分,其方差(也是整個收益的方差)為,該方程表明服從均值為
?
?t
2
?S
S
?
?t
,方差為的正態分布。即：
?
2
?t
?S
~N(?t,?t)
??
S
4、ITO定理和股票價格的對數正態分布
由前面的討論知道，股價S的運動遵循ITO過程：
dS?Sdt?Sdz
??
如果變量G是股價S和時間t的函數，即G=G（S，t）
由泰勒展開式，有：
?G?G1?G?G1?G
222
22
?G??S??t??S??S?t??t????
22
?S?t2?S?t2
?S?t
(6.9)
由6.8式得，
?S?S?t?S?z?S?t?S?t
?????
因此，
?S?S?t?o(?t)
??
2222
22
由于服從標準正態分布，所以
?
E()?D()?E()?1?0?1
???
因此的期望值為，其方差的階數為。當趨于0時，變為非隨機項，
??
?t?t?t
?t?t
且等于該值對的期望值，所以就變成非隨機項，且當趨向于零時，其值等
?t?t
??
S?t
于。將上述結果代入6.9式，且令和趨向于零，得其微分形式：
?
S?t
?S?t
22
222
222
?G?G1?G?G
2
22
dG?(S??S)dt?Sdz
???
(6.10)
2
?S?t2?S
?S
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這就是ITO定理。它表明ITO過程S和時間t的函數G也遵循ITO過程。
由于G是S的函數，因此G與S都受到同一個基本的不確定性來源的影響。
上式中，令，得：
G?lnS
dG?(?)dt?dz
??
?
2
2
這表明G遵循恒定的漂移率為，方差率為的一般化維納過程。由前面的結
?
?
?
2
2
?
2
果知，在當前時刻t和將來某一時刻t之間G的變化是正態分布，
01
均值為：
(?)T
?
2
?
2
2
方差為：
?
T
其中T為時間間隔tt。
1－0
t時刻G的值為，t時刻G的值為。其中S是T時刻的股票價格，因此在T
01T
lnS
0
lnS
T
期間G的變化為：。從而有：
lnS?lnS
T0
??
?
2
lnS?lnS~N(?)T,T
T0
??
??
（6.11）
2
??
??
?
2
lnS~NlnS?(?)T,T
T0
??
??
2
??
S?Se
T0
E(S)?SeE[e]
T0
[(?/2)T?T]
????
2
t
這表明，當S給定時，S服從對數正態分布，且有：
T
(?/2)T
??
2
??
T
t
?See
0
?Se
0
(T?T/2)T/2
???
22
?
T
D(S)?E[Se?Se]
T00
[(?/2)T?T]
????
2
t
?
T2
?Se[e?1]
0
2TT
??
2
另外，由6.11式得：
??
S
T
?
2
ln~N(?)T,T
??
??
S2
??
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??
1
S
T
??
2
ln~N?,
??
??
?
2TS
T
??
而我們又知道，時刻t與t之間的連續復利年收益率為：
01
?
?ln
1
S
T
TS
??
??
2
從而有：
??
~N?,
??
??
2
T
??
也就是說，連續復利年收益率服從均值為：，標準差為：的正態分布。
?
?
?
2
2
?
T
說明：此處的為無限短時間的預期收益率，而是指預期連續復利收
?
??
(??)
益率。
?
2
2
（注：可編輯下載，若有不當之處，請指正，謝謝!）
本文發布于:2023-05-24 03:59:50，感謝您對本站的認可！
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