哥廷根學(xué)派

2．以哥廷根學(xué)派為中心的黃金時期

(1918一1933)

從第一次世界大戰(zhàn)結(jié)束，到1933年希特勒法西斯上臺，世界的數(shù)學(xué)中心在德國的哥廷根大學(xué)。

在哥廷根學(xué)派的帶動下，出現(xiàn)了20世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展的一段黃金時期。

哥廷根是德國的一座小城，以哥廷根大學(xué)而著名。大數(shù)學(xué)家高斯(Gauss，1777一1850)曾長

期在此工作。1886年，F．克萊因(K1ein，1849—1925)來哥廷根任教授并主持?jǐn)?shù)學(xué)系，遂延

請希爾伯特、閔可夫斯基來校執(zhí)教，不久就成世界數(shù)學(xué)中心。第一次世界大戰(zhàn)結(jié)束時，德國

雖是戰(zhàn)敗國，但數(shù)學(xué)的元氣未傷。法國在大戰(zhàn)中損失了一代大學(xué)生，巴黎高師的學(xué)生名冊上

布滿了黑框。在20世紀(jì)20年代，法國幾乎是函數(shù)論王國，很少有新學(xué)科產(chǎn)生。一個例外是E．嘉

當(dāng)(Canan，1869一 1951)，他在李群表示、外微分方法、活動標(biāo)架法、微分方程組的研究上

有獨到的見解，成為日后微分幾何的經(jīng)典性工作，可惜當(dāng)時末受到充分重視。英國繼續(xù)維持

哈代的分析學(xué)派，沒有新的突破。20世紀(jì)20年代的美國數(shù)學(xué)，還遠(yuǎn)遠(yuǎn)落后于西歐，蘇聯(lián)、東

歐諸國的數(shù)學(xué)剛剛起步。盡管優(yōu)秀數(shù)學(xué)家遍布?xì)W洲和世界各地。哥廷根卻是公認(rèn)的世界數(shù)學(xué)

中心。

在20世紀(jì)20年代，克萊因已經(jīng)退休，希爾伯特也已老了。閔可夫斯基則因病在1909年去世。

但是，新人不斷在成長。希爾伯特的繼承人是H．外爾(Weyl，1885一1955)。他是全才的數(shù)

學(xué)大家，他創(chuàng)立的學(xué)科數(shù)不勝數(shù)，例如，數(shù)論中的一致分布理論、黎曼曲面、微分流形、算

子譜論、偏微分方程、胞腔概念、規(guī)范理論、李群表示、數(shù)學(xué)物理等等，都在他的手中得到

改觀。

克萊因的繼承者是R．柯朗(Courant，1888一1971)。他專長分析，在數(shù)學(xué)物理方程、差分方

法、變分學(xué)等領(lǐng)域都有創(chuàng)造性的工作，尤其具有行政組織能力；1929年，柯朗任哥廷根數(shù)學(xué)

研究所所長。20世紀(jì)最偉大的女?dāng)?shù)學(xué)家E．諾特(Noether，1882—1935)在哥廷根完成一般理

想論，創(chuàng)立了抽象代數(shù)學(xué)科。

馮·諾依曼曾是希爾伯特在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究上的助手。

20世紀(jì)20年代，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)學(xué)派開始倔起，魯金(Lusin，1883一1950)和葉戈洛夫(Egorov，1869

—1931)領(lǐng)導(dǎo)的函數(shù)論群體，出現(xiàn)了像柯爾莫哥洛夫(Ko1mogorov，1903—1987)、亞歷山大

羅夫(AIexandrov，1896一1982)那樣著名的數(shù)學(xué)家。他們都和哥廷根有密切聯(lián)系。柯爾莫哥

洛夫常到哥廷根訪問，他的成名作《概率論的基本概念》[4]，用測度論和實變函數(shù)論方法，

把概率論建立在完全嚴(yán)格的基礎(chǔ)上。此書最初是用德文寫成并發(fā)表的。亞歷山大羅夫則E．諾

特聯(lián)系密切。諾特對亞歷山大羅夫建立代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)有關(guān)鍵性的建議。第一次世界大戰(zhàn)之后，

波蘭數(shù)學(xué)發(fā)展迅速。這一學(xué)派的中堅人物，如西爾賓斯基(Sierpinski,1882—1969)、斯坦

因豪斯(Stein— hauss，1887一1972)都深受哥廷根學(xué)派的影響。

在20世紀(jì)20年代，量子力學(xué)的誕生，是物理學(xué)的又一場革命。哥廷根及時為量子力學(xué)提供了

數(shù)學(xué)框架。馮·諾依曼的《量子力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》，外爾的《群論與量子力學(xué)》成為一個時

期的經(jīng)典著作。[5]

這一時期數(shù)學(xué)成就的特色是：無限維空間、抽象的代數(shù)方法、幾何上的大范圍整體性質(zhì)，顯

示出與19世紀(jì)的數(shù)學(xué)在研究對象和研究方法上有了根本的差別，而以三個數(shù)學(xué)新分支的形成

為重要標(biāo)志：

（1）泛函分析

它起源于希爾伯特的抽象積分方程理論，其中使用了由無限維正交系所生成的完備空間，現(xiàn)

在稱之為希爾伯特空間。馮·諾依曼正是利用這一理論為量子力學(xué)提供了數(shù)學(xué)框架(1929年)。

此外，波蘭的S．巴拿赫(Banach，1892—1945)提出了賦范空間，發(fā)展了其上的算子理論。

（2）抽象代數(shù)

以E．諾特于1926年發(fā)表的一般理想論為主要標(biāo)志。在漢堡大學(xué)的E．阿丁(Artin，1898—1962)

也做出了開創(chuàng)性的工作。范·德·瓦爾登(Van．der Waerden，1903一)于1932年出版的《代

數(shù)學(xué)》是抽象代數(shù)早期工作的總結(jié)。

（3）拓?fù)鋵W(xué)

其基本思想可導(dǎo)源于龐加萊于1896年所寫的《位置分析》。由于康托集合論的影響。研究數(shù)

列和函數(shù)各種收斂性的點集拓?fù)鋵W(xué)隨之產(chǎn)生，其代表作是德國數(shù)學(xué)家豪斯多夫(Haussdorf，

1868一1942)于1913年完成的《集論綱要》。但是，意義更為重大的幾何拓?fù)鋵W(xué)由蘇聯(lián)的亞歷

山大羅夫和瑞士的H．霍普夫(Hopf，1894一1971)合作完成。他們合寫的《拓?fù)鋵W(xué)》(1935

年)是拓?fù)鋵W(xué)最早的經(jīng)典著作。與此同時，美國的S．萊夫謝茲(Lefchetz，1884一1972)，J．W．亞

歷山大(Alexander，1888一1971)和H．M．莫爾斯(Mor，1892—1977)分別以拓?fù)洳粍狱c理

論，曲面同調(diào)論和臨界點理論為拓?fù)鋵W(xué)增色。在20世紀(jì)20年代的美國，拓?fù)鋵W(xué)的研究是在世

界上領(lǐng)先的少數(shù)學(xué)科之一。1930年，比利時的德·拉姆(De Rham，1903一1969)給出高維

微分流形上微分形式和上同調(diào)性質(zhì)的關(guān)系，是一項重要的成就。

1933年，柏林大學(xué)、哥廷根大學(xué)等德國一流大學(xué)的校園內(nèi)貼出告示，讓一切猶太人離開學(xué)校。

德國數(shù)學(xué)就此被斷送。