指數函數

指數函數

指數函數圖像例子

指數函數的一般形式為y=a^x(a>0且≠1) (x∈R). 它是初等函數中的一種。它

是定義在實數域上的單調、下凸、無上界的可微正值函數。

數學術語

指數函數是數學中重要的函數。應用到值 e 上的這個函數寫為 exp(x)。還可以

等價的寫為 e，這里的 e 是數學常數，就是自然對數的底數，近似等于 2.718281828，

還稱為歐拉數。

指數函數對于 x 的負數值非常平坦，對于 x 的正數值迅速攀升，在 x 等于 0

的時候等于 1。在x處的切線的斜率等于此處y的值乘上lna。即由導數知識：d（a^x）

/dx=a^x*ln(a)。

作為實數變量 x 的函數，y=ex 的圖像總是正的(在 x 軸之上)并遞增(從左向右

看)。它永不觸及 x 軸，盡管它可以任意程度的靠近它(所以，x 軸是這個圖像的水平

漸近線。它的反函數是自然對數 ln(x)，它定義在所有正數 x 上。

有時，尤其是在科學中，術語指數函數更一般性的用于形如 kax 的

指數函數

函數，這里的 a 叫做“底數”，是不等于 1 的任何正實數。本文最初集中于帶有底數

為歐拉數 e 的指數函數。

指數函數的一般形式為y=a^x(a>0且≠1) (x∈R)，從上面我們關于冪函數的討論

就可以知道，要想使得x能夠取整個實數集合為定義域，則只有使得

如圖所示為a的不同大小影響函數圖形的情況。

在函數y=a^x中可以看到：

（1） 指數函數的定義域為所有實數的集合，這里的前提是a大于0且不等于1，

對于a不大于0的情況，則必然使得函數的定義域不存在連續的區間，因此我們不予

考慮，

同時a等于0函數無意義一般也不考慮。

（2） 指數函數的值域為大于0的實數集合。

（3） 函數圖形都是下凸的。

（4） a大于1，則指數函數單調遞增；a小于1大于0，則為單調遞減的。

（5） 可以看到一個顯然的規律，就是當a從0趨向于無窮大的過

指數函數

程中（當然不能等于0），函數的曲線從分別接近于Y軸與X軸的正半軸的單調遞減

函數的位置，趨向分別接近于Y軸的正半軸與X軸的負半軸的單調遞增函數的位置。

其中水平直線y=1是從遞減到遞增的一個過渡位置。

（6） 函數總是在某一個方向上無限趨向于X軸,并且永不相交。

（7） 函數總是通過（0，1）這點,(若y=a^x+b,則函數定過點(0,1+b)

（8） 顯然指數函數無界。

（9） 指數函數既不是奇函數也不是偶函數。

（10）當兩個指數函數中的a互為倒數時，兩個函數關于y軸對稱，但這兩個函

數都不具有奇偶性。

（11）當指數函數中的自變量與因變量一一映射時，指數函數具有反函數。

底數的平移：

對于任何一個有意義的指數函數：

在指數上加上一個數，圖像會向左平移；減去一個數，圖像會向右平移。

在f(X)后加上一個數，圖像會向上平移；減去一個數，圖像會向下平移。

即“上加下減，左加右減”

數與指數函數圖像：

指數函數

（1）由指數函數y=a^x與直線x=1相交于點（1，a)可知：在y軸右側，圖像從下到

上相應的底數由小變大。

（2）由指數函數y=a^x與直線x=-1相交于點（-1，1/a）可知：在y軸左側，圖

像從下到上相應的底數由大變小。

（3）指數函數的底數與圖像間的關系可概括的記憶為：在y軸右邊“底大圖高”；

在y軸左邊“底大圖低”。（如右圖）》。

冪的大小比較：

比較大小常用方法：（1）比差（商）法：（2）函數單調性法；（3）中間值法：要

比較A與B的大小，先找一個中間值C，再比較A與C、B與C的大小，由不等式

的傳遞性得到A與B之間的大小。

比較兩個冪的大小時，除了上述一般方法之外，還應注意：

（1）對于底數相同，指數不同的兩個冪的大小比較，可以利用指數函數的單調

性來判斷。

例如：y1=3^4,y2=3^5，因為3大于1所以函數單調遞增（即x的值越大，對應

的y值越大），因為5大于4，所以y2大于y1.

（2）對于底數不同，指數相同的兩個冪的大小比較，可

指數函數

以利用指數函數圖像的變化規律來判斷。

例如：y1=1/2^4,y2=3^4,因為1/2小于1所以函數圖像在定義域上單調遞減；3大

于1，所以函數圖像在定義域上單調遞增，在x=0是兩個函數圖像都過（0，1）然后

隨著x的增大，y1圖像下降，而y2上升，在x等于4時，y2大于y1.

（3）對于底數不同，且指數也不同的冪的大小比較，則可以利用中間值來比較。

如：

<1> 對于三個（或三個以上）的數的大小比較，則應該先根據值的大小（特別是

與0、1的大小）進行分組，再比較各組數的大小即可。

<2> 在比較兩個冪的大小時，如果能充分利用“1”來搭“橋”（即比較它們與“1”的

大小），就可以快速的得到答案。那么如何判斷一個冪與“1”大小呢？由指數函數的圖

像和性質可知“同大異小”。即當底數a和1與指數x與0之間的不等號同向（例如：

a 〉1且x 〉0，或0〈 a〈 1且 x〈 0）時，a^x大于1，異向時a^x小于1.

〈3〉例：下列函數在R上是增函數還是減函數？說明理由.

⑴y=4^x

因為4>1，所以y=4^x在R上是增函數；

⑵y=(1/4)^x

因為0<1/4<1,所以y=(1/4)^x在R上是減函數

定義域：實數集

指代一切實數（-∞，+∞），就是R。

R 值域：（0，+∞）

對于一切指數函數y=a^x來講。他的a滿足a>0且a≠1，即說明y>0。所以值域

為（0,+∞)

分式化簡的方法與技巧

（1）把分子、分母分解因式，可約分的先約分

（2）利用公式的基本性質，化繁分式為簡分式，化異分母為同分母

（3）把其中適當的幾個分式先化簡，重點突破.

指數函數

（4）可考慮整體思想，用換元法使分式簡化

指數函數圖像與指數函數性質之間的對應關系

（1）曲線沿x軸方向向左無限延展〈=〉函數的定義域為（-∞，+∞）.

（2）曲線在x軸上方，而且向左或向右隨著x值的減小或增大無限靠

指數函數

近X軸（x軸是曲線的漸近線）〈=〉函數的值域為（0，+∞）

（3）曲線過定點（0，1）〈=〉x=0時，函數值y=a0（零次方）=1（a>0

且a≠1）

（4）a>1時，曲線由左向右逐漸上升即a>1時，函數在（-∞，+∞）

上是增函數；0是，曲線逐漸下降即0時，函數在（-∞，+∞）上

是減函數.